课后作业(三十七) 数列的综合应用
1．(2025·福建福州期中)记数列的前n项和为Sn，Sn＝(n＋1)an－n(n＋1)．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，证明：≤Tn<．
2．(2021·新高考Ⅱ卷)记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．求：
(1)数列{an}的通项公式；
(2)使得Sn>an成立的n的最小值．
3．容器A内装有6 L质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4 L质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1 L进入B内，再将B内的盐水倒1 L进入A内，称为一次操作．这样反复操作n次，A，B容器内的盐水的质量分数分别为an，bn．
(1)求a1，b1，并证明{an－bn}是等比数列；
(2)至少操作多少次，A，B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
(3)求an，bn的表达式．
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且2bn＝(n－2)·(an－1)，若Tn≥λbn对于n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
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[A组 在基础中考查学科功底]
1．解：(1)因为Sn＝(n＋1)an－n(n＋1)，
当n≥2时，Sn－1＝nan－1－n(n－1)，
则an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)an－n(n＋1)－nan－1＋n(n－1)＝(n＋1)an－nan－1－2n，
故nan＝nan－1＋2n，即an－an－1＝2，
当n＝1时，有a1＝S1＝a1－1×2，即a1＝2，
故{an}是首项、公差均为2的等差数列，故an＝2＋2(n－1)＝2n．
(2)证明：由(1)得an＝2n，
故＝＝，
则Tn＝＝．
因为Tn＝，故Tn<，
又y＝在[1，＋∞)上单调递减，
故Tn＝随n的增大而增大，
故Tn≥T1＝＝，
综上，≤Tn<．
2．解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∴
由①得a1＋2d＝0 a1＝－2d，代入②得(－d)·d＝－8d＋6d d2－2d＝0，
∵d≠0，∴d＝2，∴a1＝－4，∴an＝－4＋2(n－1)＝2n－6．
(2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n，
由Sn＞an n2－5n＞2n－6，∴n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0，
∴n＞6，∵n∈N*，故n的最小值为7．
[B组 在综合中考查关键能力]
3．解：(1)由题意，b1＝＝，
a1＝＝．
∵bn＋1＝，an＋1＝(5an＋bn＋1)＝，
∴an＋1－bn＋1＝(an－bn)，又a1－b1＝，∴{an－bn}是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－bn＝，
∴＜1%，
∴n－1＞≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次．
(3)∵bn＋1＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝
＝－＋．
∴an＝bn＋＝＋．
4．解：(1)∵Sn＝n－an，
∴Sn－1＝(n－1)－an－1(n≥2)，
两式作差得2an＝an－1＋1(n≥2)，
∴an－1＝(an－1－1)(n≥2)，
当n＝1时，S1＝1－a1，
∴a1－1＝－，
∴{an－1}是首项为－，公比为的等比数列，故an＝1－．
(2)∵2bn＝(n－2)(an－1)，
∴bn＝(2－n)，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1×＋0×＋(－1)×＋…＋(2－n)，①
Tn＝1×＋0×＋(－1)×＋…＋(2－n)， ②
两式作差得Tn＝1×－ －(2－n)，
化简得Tn＝，
∵Tn≥λbn恒成立，
∴≥λ(2－n)，n≥λ(2－n)，
当n＝1时，λ≤1；
当n＝2时，λ∈R；
当n≥3时，λ≥＝－＝－，
而－＜－1，∴λ≥－1，
综上所述，－1≤λ≤1．
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