课后作业(三十九) 球的切、接与截面问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共73分
一、单项选择题
1．(2020·天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．24π C．36π D．144π
2．(2025·山东枣庄模拟)已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )
A．4π B．6π
C．8π D．10π
3．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示．该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是( )
A．2 B．4
C．2 D．4
4．(2024·湖南张家界二模)如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球的表面积为( )
A．3π B．9π
C．36π D．48π
5．(2025·山东济宁模拟)已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A．12π B．16π
C．48π D．96π
6．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )
A．12 B．18
C．24 D．54
二、多项选择题
7．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是( )
A．球O的表面积为6π
B．球O的内接正方体的棱长为1
C．球O的外切正方体的棱长为
D．球O的内接正四面体的棱长为2
8．(2025·河南郑州期中)已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则( )
A．圆台的母线长为4
B．圆台的高为4
C．圆台的表面积为26π
D．球O的表面积为12π
三、填空题
9．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积是________．
10．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．
11．已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°， 则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D．π
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为( )
A．π B．π
C．π D．π
13．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
A．直径为0.99 m的球体
B．所有棱长均为1.4 m的四面体
C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体
D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体
14．已知圆锥SO1的轴截面SAB为正三角形，球O2与圆锥SO1的底面和侧面都相切．设圆锥SO1的体积、表面积分别为V1，S1，球O2的体积、表面积分别为V2，S2，则＝________．
1 / 3课后作业(三十九)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [设外接球的半径为R，由题意知，正方体的体对角线就是球的直径，
∴2R＝＝6，
∴R＝3，
∴S球＝4πR2＝36π．
故选C．]
2．C [由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球的半径为r，则r＝＝，故该球的表面积为4πr2＝8π．故选C．]
3．B [设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即2，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(2)2，即R2＝22＋(2)2＝16，所以R＝4，故选B．]
4．B [将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2，1，2，
四面体P-ABC的外接球即为长方体的外接球，
而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R，故2R＝＝3，R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝9π．故选B．]
5．C [依题意圆锥的高h＝3，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，球O的半径为R，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则解得l＝2r＝2，
可知R＝l＝2，所以球O的表面积S＝4πR2＝48π．故选C．]
6．B [由等边△ABC的面积为9，
可得AB2＝9，所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径r＝AB＝2．
设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为d，则d＝＝＝2．
所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6＝18．故选B．]
7．AD [设球O的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为r，易得r＝．因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的，所以R2－R2＝，得R2＝，即R＝．所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足a＝2R，得a＝，B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2R＝，C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝R＝＝2，D正确．故选AD．]
8．ACD [设梯形ABCD为圆台的轴截面，如图，设圆台上、下底面的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，
连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，
故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，
由题意可知，∠OAD＋∠ODA＝，即∠DOA＝，所以△AOE∽△ODE，
故＝，即OE2＝DE·AE，
即R2＝r1r2＝3，解得R＝，
母线长为r1＋r2＝4，A正确；
圆台的高为2R＝2，B错误；
圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确，
球O的表面积为4×π×()2＝12π，D正确．
故选ACD．]
9．π [将该堑堵补成为一个长方体，如图，
则该堑堵的外接球即为长方体的外接球，
设长方体的体对角线长为d，则d2＝32＋42＋52＝50，
所以d＝5，所以外接球的体积为πR3＝π＝π．]
10．12 [如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即为该正方体的中心，球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，所以以EF为直径的球的球面与每一条棱均相切，所以共有12个公共点．
]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．D [因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB．
因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE．
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE 平面PAC，所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R＝，所以球O的体积V＝＝π×＝π，故选D．]
12．A [在三棱锥P-ABC中，如图，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理PA⊥AC，而AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，因此PA⊥平面ABC，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cos ∠ABC＝＝，
sin ∠ABC＝＝，
设△ABC的外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，O1A＝＝ ，
又OO1∥PA，取PA的中点D，连接OD，则有OD⊥PA，从而O1A∥OD，则四边形ODAO1为矩形，OO1＝AD＝1，OO1⊥O1A，设球O的半径为R，因此R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝＋12＝，
所以球O的表面积S＝4πR2＝π．
故选A．]
13．ABD [由于棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以选项A正确；由于棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2 m的圆柱体，其高0.01 m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD．]
14．1 [依题意，设正三角形SAB的边长为2，则圆锥SO1的底面圆半径为1，高为，母线长为2，
因此V1＝π×12×＝π，S1＝π×12＋π×1×2＝3π，球O2的半径即为正三角形SAB的边心距，因此V2＝π×＝π，S2＝4π×＝π，所以＝＝1．]
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