课后作业(四十一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [对于A，如果α∩β＝l，则在α内与l平行的直线有无数条，这无数条直线都与平面β平行，但此时α不平行于β，故A错误；
对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l α，l β，且l与m平行，此时l也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0°，故B错误；
对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β，则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，”故C正确；
对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α∩β＝m时，同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等，故D错误，故选C．]
2．A [∵AF∥C1E，∴A，F，C1，E四点共面．
∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
平面ABB1A1∩平面AEC1F＝AE，
平面CDD1C1∩平面AEC1F＝C1F，
∴AE∥C1F，
∴四边形AEC1F为平行四边形．故选A．]
3．D [连接AC交BE于点G，连接FG．因为PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝．又AD∥BC，E为AD的中点，所以△AEG∽△CBG，即＝＝，所以＝．
故选D．]
4．C [由AB∥α∥β，易得＝，
即＝，所以BD＝＝＝．故选C．]
5．D [对于A，如图1，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，MN 平面ABC，AC 平面ABC，
所以直线MN∥平面ABC；
对于B，如图2，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN∥AD，MN 平面ABC，AD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
对于C，如图3，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，MN 平面ABC，BD 平面ABC，所以直线MN∥平面ABC；
对于D，如图4，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不满足直线MN∥平面ABC．
故选D．]
6．B [如图，
取B1C1的中点D，BB1的中点E，连接MD，DE，ME，
由MD∥A1B1∥AB，DE∥BC1，
又MD 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，
同理可得DE∥平面ABC1，又MD∩DE＝D，MD，DE 平面 MDE，
所以平面MDE∥平面ABC1．又MN∥平面ABC1，
故点N的轨迹为线段DE，又由DE＝BC1＝2，可得BC1＝4．故选B．]
7．BC [由题意知，OM是△BPD的中位线，
所以OM∥PD，又PD∩PA＝P，故A不正确；
因为PD 平面PCD，OM 平面PCD，
所以OM∥平面PCD，故B正确；
同理，可得OM∥平面PDA，故C正确；
OM与平面PBA相交于点M，故D不正确．故选BC．]
8．ABC [对于A，因为AA1∥CC1且AA1＝CC1，
所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1．
又A1C1 平面BA1C1，AC 平面BA1C1，
所以AC∥平面BA1C1，故A正确；
对于B，连接B1D1交A1C1于点O1，连接BO1，
由正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为BD，B1D1的中点，
因为BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，
则OB∥O1D1且OB＝O1D1，
所以四边形OBO1D1为平行四边形，所以OD1∥BO1，
又OD1 平面BA1C1，BO1 平面BA1C1，
所以D1O∥平面BA1C1，故B正确；
对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，
又BC1 平面BA1C1，AD1 平面BA1C1，
所以AD1∥平面BA1C1，
又由A项知AC∥平面BA1C1，且AC∩AD1＝A，AC，AD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BA1C1，故C正确；
对于D，平面ODD1即为平面BDD1B1，
而平面BDD1B1与平面BA1C1相交，
所以平面ODD1与平面BA1C1相交，故D错误．
故选ABC．]
9．①或③ [由面面平行的性质定理可知，①正确；通过画图(图略)知②错误；当n∥β，m γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以n∥m，③正确．]
10．Q为CC1的中点 [如图所示，设Q为CC1的中点，
因为P为DD1的中点，所以QB∥PA．
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO．
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO 平面PAO，PA 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO．
又D1B∩QB＝B，D1B，QB 平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO．
故Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．]
11．证明：(1)取PB的中点G，连接FG，EG，
因为E，F分别为AD，PC的中点，
所以FG∥CB，FG＝BC．
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，
所以DE∥FG，DE＝FG，
所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE．
因为DF 平面PBE，GE 平面PBE，所以DF∥平面PBE．
(2)由(1)知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l．
12．解：(1)证明：由题意得，EF∥MC，且EF＝MC，所以四边形EFCM是平行四边形，所以EM∥FC．
又CF 平面BCF，EM 平面BCF，所以EM∥平面BCF．
(2)取DM的中点O，连接OA，OE(图略)，因为AB∥MC，且AB＝MC，所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM＝BC＝，
又AD＝，故△ADM是等腰三角形，由(1)知四边形EFCM为平行四边形，则EM＝FC＝2，由题意知，DM＝DE＝2，所以△EDM是等边三角形，可得OA⊥DM，OE⊥DM，OA＝＝3，OE＝＝，又AE＝2，所以OA2＋OE2＝AE2，故OA⊥OE．
又OA⊥DM，OE∩DM＝O，OE，DM 平面EDM，
所以OA⊥平面EDM．
易知S△EDM＝×2×＝．
在△ADE中，cos ∠DEA＝＝，
所以sin ∠DEA＝，S△ADE＝×2×2＝．
设点M到平面ADE的距离为d，由VM-ADE＝VA-EDM，得S△ADE·d＝S△EDM·OA，得d＝，
故点M到平面ADE的距离为．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．B [取B1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E，A1F，EF，取EF的中点O，连接A1O，如图所示．
因为点M，N分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，
所以AM∥A1E，MN∥EF，
又AM 平面A1EF，A1E 平面A1EF，
所以AM∥平面A1EF，
同理MN∥平面A1EF，
又AM∩MN＝M，AM，MN 平面AMN，
所以平面AMN∥平面A1EF．
因为动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，
且PA1∥平面AMN，所以点P的轨迹是线段EF．
因为A1E＝A1F＝＝，EF＝＝，所以A1O⊥EF，
所以当点P与点O重合时，PA1的长度取得最小值A1O，
A1O＝＝，
当点P与点E(或点F)重合时，PA1的长度取得最大值A1E或A1F，A1E＝A1F＝．
所以PA1的长度范围为 ．故选B．]
14．8 [如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×(2＋2)＝8．
]
5 / 7课后作业(四十一) 空间直线、平面的平行
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共88分
一、单项选择题
1．(2024·浙江杭州质检)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是( )
A．平面α内存在无数条直线与β平行
B．存在直线l与α，β所成的角相等
C．存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β
D．平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等
2．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥C1E，则四边形AEC1F的形状是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
3．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝( )
A． B． C． D．
4．如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为( )
A． B．
C． D．
5．如图，A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是( )
A B
C D
6．(2024·河南周口期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，N为侧面BCC1B1上的一点，且MN∥平面ABC1，若点N的轨迹长度为2，则( )
A．AC1＝4 B．BC1＝4
C．AB1＝6 D．B1C＝6
二、多项选择题
7．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则( )
A．OM∥PA B．OM∥平面PCD
C．OM∥平面PDA D．OM∥平面PBA
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则( )
A．AC∥平面BA1C1
B．D1O∥平面BA1C1
C．平面ACD1∥平面BA1C1
D．平面ODD1∥平面BA1C1
三、填空题
9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m γ．
可以填入的条件有________．(填序号)
10．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，平面D1BQ∥平面PAO．
四、解答题
11．如图，四边形ABCD为长方形，E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l．
证明：(1)DF∥平面PBE；
(2)DF∥l ．
12．(2024·全国甲卷)如图，已知AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，AD＝BC＝，AE＝2，M为CD的中点．
(1)证明：EM∥平面BCF；
(2)求点M到平面ADE的距离．
13．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，且PA1∥平面AMN，则PA1的长度范围为( )
A． B．
C． D．
14．在三棱锥P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
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