课后作业(四十二) 空间直线、平面的垂直(一)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．(2024·天津高考)若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( )
A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PAB
3．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列说法错误的是( )
A．BC⊥平面PAC
B．AE⊥EF
C．AC⊥PB
D．平面AEF⊥平面PBC
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B．1
C．2 D．3
6．(2024·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝PB＝4，PC＝PD＝2，该棱锥的高为( )
A．1 B．2
C． D．
二、多项选择题
7．已知平面α∩平面β＝l，B，D是l上两点，直线AB α且AB∩l＝B，直线CD β且CD∩l＝D．下列结论中，错误的是( )
A．若AB⊥l，CD⊥l，且AB＝CD，则四边形ABCD是平行四边形
B．若M是AB的中点，N是CD的中点，则MN∥AC
C．若α⊥β，AB⊥l，AC⊥l，则CD在α上的射影是BD
D．直线AB，CD所成角的大小与二面角α-l-β的大小相等
8．(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD -A1B1C1D1，则( )
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
三、填空题
9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)
10．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角 A-BD-C的余弦值为__________．
11．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么点P到平面ABC的距离为________．
12．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB分别为1，3，正广AD为2，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________，邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________．
四、解答题
13．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
14．在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P-BCDE．
(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P-BCDE的体积；
(2)若PB＝PC，证明：平面PDE⊥平面BCDE．
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1．C [对于A，B，若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，故A，B错误．
对于C，D，若m∥α，n⊥α，则m⊥n，且m与n可能相交或异面，故D错误．故选C．]
2．C [因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，
因为PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．
又CD 平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD．
故选C．]
3．A [连接AC1(图略)．由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，得AC⊥平面ABC1．
因为AC 平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC．
所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A．]
4．C [对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，BC 底面圆面，则PA⊥BC，
又由圆的性质可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；
对于B，由A选项可知BC⊥AE，
由题意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC 平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF 平面PCB，
所以AE⊥EF，所以B正确；
对于C，由B选项可知AE⊥平面PCB，所以AC与平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；
对于D，由B选项可知AE⊥平面PCB，AE 平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确．故选C．]
5．B [法一：分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD＝3，A1D1＝，
可知S△ABC＝×6×3＝＝×2×＝，
设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h，
则＝h＝，解得h＝．
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，设AM＝x，
则AA1＝＝，DN＝AD－AM－MN＝2－x，
可得DD1＝＝，
结合BCC1B1为等腰梯形可得＝，
即x2＋＝(2－x)2＋＋4，解得x＝，
所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan ∠A1AM＝＝1．
法二：如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，
则A1A与平面ABC所成的角即为PA与平面ABC所成的角，
因为＝＝，则＝，
可知＝VP-ABC＝，则VP-ABC＝18．
设正三棱锥P-ABC的高为d，则VP-ABC＝d××6×6×＝18，解得d＝2，
取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO＝2，
所以PA与平面ABC所成角的正切值tan ∠PAO＝＝1．故选B．]
6．D [由题意知△PAB为正三角形，因为PC2＋PD2＝CD2，所以PC⊥PD．
如图，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE＝2，PF＝2，EF＝4，于是PE2＋PF2＝EF2，所以PE⊥PF．过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF 平面PEF，且EF∩PF＝F，所以CD⊥平面PEF．又PG 平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF 平面ABCD，CD∩EF＝F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高．由PE·PF＝EF·PG，得PG＝＝＝．故选D．]
7．ABD [由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，A错误；
取BC的中点H，连接HM，则HM是△ABC的中位线，所以HM∥AC，
因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误；
若AB⊥l，AC⊥l，所以由线面垂直的判定定理可得l⊥平面ABC，所以l⊥BC，
由α⊥β结合面面垂直的性质定理可得BC⊥α，所以点C在平面α内的射影为点B，
所以CD在平面α内的射影为BD，C正确；
由二面角的定义可得当且仅当AB⊥l，CD⊥l时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，D错误．故选ABD．]
8．ABD [如图，连接B1C，BC1，因为DA1∥B1C，所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角．
因为四边形BB1C1C为正方形，则B1C⊥BC1，故直线BC1与DA1所成的角为90°，A正确；
连接A1C，因为A1B1⊥平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，则A1B1⊥BC1，
因为B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1C，又A1C 平面A1B1C，所以BC1⊥CA1，B正确；
连接A1C1，B1D1，设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O 平面A1B1C1D1，则C1O⊥B1B，因为C1O⊥B1D1, B1D1∩B1B＝B1，所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，则C1O＝，BC1＝，
sin∠C1BO＝＝，
所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，C错误；
因为C1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠C1BC＝45°，D正确．故选ABD．]
9．DM⊥PC(或BM⊥PC等) [∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC(图略)，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]
10．－ [过A作AE⊥CB，交CB的延长线于点E, 连接DE，
∵平面ABC⊥平面BCD，AE 平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AE⊥平面BCD，
∴点E即为点A在平面BCD内的射影，
∴△EBD为△ABD在平面BCD内的射影．
设AB ＝a，则AE＝DE ＝ABsin 60°＝a，
∴AD＝a，cos ∠ABD＝，∴sin ∠ABD＝，
∴S△ABD＝a2×＝a2,
又BE＝a，
∴S△BDE＝a×a＝a2，
设θ为射影面与原面所成的二面角的平面角，
∴cos θ＝＝．
∵所求的角θ是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-E互补，
∴二面角A-BD-C的余弦值为－．]
11． [如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为点P到平面ABC的距离．
再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，
连接PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．
又PE＝PF＝，所以OE＝OF，
所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°．
在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，
所以OE＝1，所以PO＝＝＝．]
12．4 30° [过点C作CE⊥AB，垂足为点E，延长AD，BC，使得AD∩BC＝F，如图所示．由题意可得CE＝2，BE＝2，则BC＝＝4，即邪田ABCD的邪长BC为4．由题意知AB⊥AD，CD∥AB，所以＝＝，所以DF＝．因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB，又AB⊥AD，AD∩PD＝D，所以AB⊥平面PAD，则∠AFB是直线BC与平面PAD所成的角，
tan ∠AFB＝＝＝，所以∠AFB＝30°．即邪所在直线与平面PAD所成角的大小为30°．]
13．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H 平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H．
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，
故CA＝CA1．
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝．
法一：由＝·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边的中线，所以A1H＝CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
14．解：(1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，
∴PM⊥DE，
又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM 平面PDE，
∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P-BCDE的高．
在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，
∴PM＝DE＝，
梯形BCDE的面积S＝(BE＋CD)·BC＝×(2＋4)×2＝6，
∴四棱锥P-BCDE的体积V＝PM·S＝×6＝2．
(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，
∵PB＝PC，∴BC⊥PN，
∵MN∩PN＝N，MN，PN 平面PMN，∴BC⊥平面PMN，
∵PM 平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，
又BC，DE 平面BCDE，且BC与DE是相交直线，
∴PM⊥平面BCDE，
∵PM 平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE．
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