《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)课后作业43 空间直线、平面的垂直(二)(pdf版, 含解析)

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名称 《高考快车道》2026版高三一轮总复习(数学)课后作业43 空间直线、平面的垂直(二)(pdf版, 含解析)
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文件大小 197.5KB
资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-02 11:49:55

文档简介

课后作业(四十三)
1.解:(1)证明:连接BC1,与B1C交于点D,则D为BC1,B1C的中点,连接AD.
因为AC=AB1,所以AD⊥B1C,
因为侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB=BC=2,AC=AB1=,
所以BD=,AD=1,所以AB2=BD2+AD2,即AD⊥BD,
因为B1C∩BD=D,B1C,BD 平面BB1C1C,
所以AD⊥平面BB1C1C.
因为AD 平面ACB1,
所以平面ACB1⊥平面BB1C1C.
(2)取A1C1的中点E,连接AC1,AE,B1E,
由(1)知,AD⊥BD,又BD=DC1,所以AC1=AB=2,又AA1=CC1=2,所以AE⊥A1C1,同理得B1E⊥A1C1,
所以∠AEB1为二面角A-A1C1-B1的平面角,
在△AA1E中,AE===,
在△A1EB1中,
B1E===,
又AB1=,
所以cos ∠AEB1===.
所以二面角A-A1C1-B1的余弦值为.
2.解:(1)证明:如图所示:
分别取AB,BC的中点M,N,连接EM,FN,MN,因为△EAB,△FBC均为正三角形,且边长均为8 cm,所以EM⊥AB,FN⊥BC,EM=FN,又平面EAB⊥平面ABCD,平面EAB∩平面ABCD=AB,EM 平面EAB,所以EM⊥平面ABCD,同理可得FN⊥平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM∥FN,而EM=FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF∥MN,又EF 平面ABCD,MN 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.
(2)如图所示:
分别取AD,DC的中点K,L,连接KM,KH,KL,LN,LG,AC,BD.
由(1)知,EF∥MN且EF=MN,同理,HE∥KM,HE=KM,HG∥KL,HG=KL,GF∥LN,GF=LN,由平面知识可知,BD⊥MN,MN⊥MK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体KMNL-HEFG的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍.
因为MN=NL=LK=KM=4 cm,EM=8sin 60°=4(cm),点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d,d=2 cm,所以该几何体的体积V=×4+4××4×4×2=128=(cm3).
3.解:(1)证明:在四边形ABCD中,由AB=BC=,AD=CD=1,可得△ABD≌△CBD,
可得AC⊥BD,且M为AC的中点,
由AD=CD=1,∠ADC=120°,
可得DM=CD cos 60°=,AC=2CD sin 60°=,
则BM==,
由==,可得MN∥PD,
而MN 平面PCD,PD 平面PCD,可得MN∥平面PDC.
(2)当点Q为BC的中点时,满足题意,理由如下:过M作ME⊥AD,垂足为点E,延长EM交BC于点Q,连接NQ,NE,如图,由PA⊥平面ABCD,EQ 平面ABCD,可得PA⊥EQ,又EQ⊥AD,PA∩AD=A,可得EQ⊥平面PAD,又因为EQ 平面MNQ,可得平面MNQ⊥平面PAD,故存在这样的点Q.
在Rt△DME中,∠EMD=90°-60°=30°,在△BQM中,∠QBM=∠BMQ=30°,∠BQM=120°,由BM==,
可得BQ==,即Q为BC的中点.
综上得,当Q为BC的中点时,平面MNQ⊥平面PAD.
3 / 3课后作业(四十三) 空间直线、平面的垂直(二)
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,∠CBB1=60°,AB=BC=2,AC=AB1=.
(1)证明:平面ACB1⊥平面BB1C1C;
(2)求二面角A-A1C1-B1的余弦值.
2.(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.
(1)证明:EF∥平面ABCD;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
3.如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=,AD=CD=1,∠ADC=120°,M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=PB.
(1)证明:MN∥平面PDC;
(2)在线段BC上是否存在一点Q,使得平面MNQ⊥平面PAD?若存在,求出点Q的位置;若不存在,请说明理由.
1 / 2
G
H
F
E
M
C
A
B
R
N
D
M
B
C
A
A

C
1
B
B
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