课后作业(四十四)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．B [连接AC，A1C，可得＝，又＝，
所以＝＝．故选B．]
2．C [由向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，可得解得x＝1，y＝－2，所以a＝，b＝，
则a＋b＝，所以＝3．故选C．]
3．B [由已知可得，a·b＝6，＝3，
所以，向量a在向量b上的投影向量是＝b＝．故选B．]
4．A [连接AE，如图所示，
∵E是CD的中点，＝b，＝c，
∴＝＝．
在△ABE中，＝，又＝a，
∴＝－a＋＝－a＋b＋c．
故选A．]
5．B [以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB＝2，AC＝AA1＝3，＝＝2，
∴A，B，C，A1，E，F，
∴＝＝，∴＝1×＋0×1＋×2＝1．故选B．]
6．C [由于＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1，1)，则cos 120°＝＝－，解得λ＝±．经检验λ＝不符合题意，舍去，所以λ＝－．故选C．]
7．C [由题意知三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个点对应的向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个点对应的向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故B错误；
对C，由空间直角坐标系易知三个点对应的向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由∈Ω能推出 Ω，故C正确；
对D，由空间直角坐标系易知三个点对应的向量共面，
则当，(1，0，0)∈Ω无法推出(0，0，1) Ω，故D错误．故选C．]
8．B [以BA所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C，B，F，设CM＝tCA，
则M，BN＝tBF，N，
则MN＝＝，y＝2t2－2t＋1在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当t＝时，MN取得最小值，为，当t＝0或t＝1时，MN取得最大值，为1，所以MN∈ ．故选B．]
9．ABD [对于A，∵a⊥b，∴a·b＝0，
即a·b＝＝－8－2＋3x＝0，
解得x＝，故A选项正确；
对于B，∵3a＋b＝，
∴3a＋b＝3＝(2，－1，9＋x)＝(2，－1，10)，
∴9＋x＝10，解得x＝1，故B选项正确；
对于C，a在b上的投影向量为，
即＝b，代入坐标化简可得x2－9x＋50＝0，x无解，故C选项错误；
对于D，∵a与b夹角为锐角，
∴a·b＝－10＋3x>0，解得x>，
且a与b不共线，即≠≠，解得x≠－6，
所以a与b的夹角为锐角时，x>，故D选项正确．
故选ABD．]
10． ACD [在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝AD＝AA1＝，
所以AD＝AA1＝1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1)，B1(1，，1)，
则＝(－1，，－1)，＝(1，0，－1)．
当＝2时，P为线段A1C的中点，则P，＝＝(1，，1)，则＝2，所以B1，D，P三点共线，A正确；
设＝λ＝λ(－1，，－1)＝(－λ，λ，－λ)(0≤λ≤1)，＝＝(－λ，λ，1－λ)，
由⊥，可得＝5λ－1＝0，解得λ＝，
所以＝＝
＝(1，0，－1)＋＝，
所以＝－＝－≠0，
所以与不垂直，B错误；
当＝3时，
＝＝＝(0，，1)，＝(1，，0)．
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝z＝－，∴n＝(－，1，－)是平面BDC1的一个法向量，
又＝(－1，0，0)，
所以＝＝，
所以·n＝×(－)＋×1－×(－)＝0，
所以⊥n，
因为D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正确；
当＝5时，
＝＝，
所以＝＝，
所以＝－1×－1×＝0，＝－1×1＋×0＋(－1)2＝0，所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，
D1P 平面D1AP，D1A 平面D1AP，
所以A1C⊥平面D1AP，D正确．
故选ACD．]
11． [如图，不妨设＝a，＝b，＝c，依题意，＝a，＝＝－＝c－a，
＝＝b－a，
因为＝m＝mb，所以＝＝c－a＋mb．
又因为BN∥平面A1CM，所以必共面，即存在λ，μ∈R，使＝λ＋μ，即c－a＋mb＝λ＋μ，
从而有解得m＝．]
12．120° [设所求二面角为θ，由＝，得＝()2
＝＋＋＋2＋2＋2
＝32＋22＋42＋0－2×3×4cos θ＋0＝41，
∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]
13．解：(1)由题意可得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，所以cos 〈〉＝＝＝＝，所以sin 〈〉＝，
所以以AB，AC为边的平行四边形的面积为
S＝2×||·||·sin 〈〉＝14×＝7．
(2)设a＝(x，y，z)，由题意得
解得 或
所以向量a的坐标为(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
[B组 在综合中考查关键能力]
14．解：(1)证明：设BD与AC交于点O，
则BD⊥AC，连接A1O，
在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，
所以A1O2＝＋AO2－2AA1·AOcos 60°＝3，
所以AO2＋A1O2＝，所以A1O⊥AO．
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，
且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，
A1O 平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD．
以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
D(－，0，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)．
由于＝(－2，0，0)，＝(0，1，)，＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，
所以⊥，即BD⊥AA1．
(2)假设在直线CC1上存在点P，
使BP∥平面DA1C1，
设＝λ，P(x，y，z)，
则(x，y－1，z)＝λ(0，1，)．
从而有P(0，1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．
设平面DA1C1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
又＝(0，2，0)，＝(，0，)，
则取n＝(1，0，－1)．
因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥，
即n·＝－λ＝0，
解得λ＝－1，
即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
1 / 7课后作业(四十四) 空间向量的运算及其应用
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共85分
一、单项选择题
1．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝( )
A． B．
C． D．
2．设x，y∈R，向量a＝，b＝，c＝，且a⊥c，b∥c，则＝( )
A．2 B．
C．3 D．4
3．(2025·湖北重点高中模拟)已知空间向量a＝，b＝，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A． B．
C． D．
4．(2025·山东潍坊模拟)如图所示，在四面体A-BCD中，E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．－a＋b＋c B．a－b＋c
C．a－b＋c D．－a＋b＋c
5．(2025·河北沧州模拟)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝AA1＝3，＝＝2，则＝( )
A．－1 B．1
C．－3 D．
6．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B．
C．－ D．±
7．(2024·上海高考)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0(其中O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1) Ω的充分条件是( )
A．∈Ω B．∈Ω
C．∈Ω D．∈Ω
8．(教材改编)如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子M，N分别在对角线CA，BF上移动，且CM＝BN，则MN的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知空间向量a＝，b＝，下列说法正确的是( )
A．若a⊥b，则x＝
B．若3a＋b＝，则x＝1
C．若a在b上的投影向量为b，则x＝4
D．若a与b的夹角为锐角，则x∈
10． 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．当＝2时，B1，P，D三点共线
B．当⊥时，⊥
C．当＝3时，D1P∥平面BDC1
D．当＝5时，A1C⊥平面D1AP
三、填空题
11．(2024·山东济南一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝2＝m，且BN∥平面A1CM，则m的值为________．
12．(2025·河南信阳模拟)如图是某段新开河渠的示意图．在二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝，则该二面角的大小为________．
四、解答题
13．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)求以AB，AC为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与垂直，求向量a的坐标．
14．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(1)求证：BD⊥AA1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．
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