课后作业(四十五) 向量法求空间角
1．(2025·广东八校联考)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1⊥平面ABC，平面CBB1C1⊥平面ABC．
(1)证明：BB1⊥平面ABC；
(2)若AB⊥BC，AB＝1，BC＝CC1＝2，求直线AB与平面A1BC1所成角的余弦值．
2．(2024·北京高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2．
(1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD；
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
3．(2024·广东深圳一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面ABCD⊥平面PAD，点M在DP上，且DM＝2MP，AD＝AP，∠PAD＝120°．
(1)求证：BD⊥平面ACM；
(2)若∠ADC＝60°，求平面ACM与平面ABP夹角的余弦值．
4．(2024·山东青岛一模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2．
(1)证明：平面A1ABB1⊥平面ABC；
(2)若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值．
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[A组 在基础中考查学科功底]
1．解：(1)证明：如图1，取△ABC内一点O，
作OE⊥AB，交AB于点E，作OF⊥BC，交BC于点F．
因为平面ABB1A1⊥平面ABC且平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，OE 平面ABC，
所以OE⊥平面ABB1A1．因为BB1 平面ABB1A1，所以OE⊥BB1，
同理OF⊥BB1．因为OE∩OF＝O，且OE，OF 平面ABC，所以BB1⊥平面ABC．
(2)因为BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示．
依题意A，B，A1，C1(2，0，2)．
则＝＝＝(2，－1，0)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝2，z＝－1，所以n＝是平面A1BC1的一个法向量．
设直线AB与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝＝．
因为θ∈，所以cos θ＝＝，
故直线AB与平面A1BC1所成角的余弦值为．
2．解：(1)证明：取PD的中点G，连接FG，CG(图略)．
因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE，
又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC，
所以四边形FGCB为平行四边形，
所以BF∥CG．
又BF 平面PCD，CG 平面PCD，所以BF∥平面PCD．
(2)因为AB⊥平面PAD，PE 平面PAD，所以AB⊥PE．
又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD 平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD．
连接EC，易知四边形ABCE为正方形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，C(1，0，0)，D(0，2，0)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，2)，＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)．
设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
可取n1＝(0，－2，1)．
设平面PCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
可取n2＝(2，1，1)．
设平面PAB与平面PCD的夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝．
所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为．
[B组 在综合中考查关键能力]
3．解：(1)证明：不妨设AD＝AP＝3，∵∠PAD＝120°，DM＝2MP，
∴DP＝3，DM＝2，PM＝，
在△AMP中，由余弦定理得
AM＝＝，
在△ADM中，AD2＋AM2＝DM2，∴MA⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，MA 平面PAD，
∴MA⊥平面ABCD．
∵BD 平面ABCD，∴MA⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩MA＝A，且AC 平面ACM，MA 平面ACM，∴BD⊥平面ACM．
(2)在平面ABCD内，过点B作AD的垂线，垂足为N，
∵平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，BN 平面ABCD，
∴BN⊥平面ADP．
又∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴∠BDA＝30°，
∴△ACD，△ABC均为等边三角形，
以点A为坐标原点，AD，AM及过点A平行于NB的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)，
由(1)可得A，B，D(3，0，0)，P，
由(1)可知BD⊥平面ACM，
∴＝为平面ACM的一个法向量，
设平面ABP的法向量为m＝(x，y，z)，
则 即
令x＝，可得m＝，∵＝＝，
∴平面ACM与平面ABP的夹角的余弦值为．
4．解：(1)证明：取棱A1A的中点D，连接BD，因为AB＝A1B，所以BD⊥AA1．
因为ABC-A1B1C1为三棱柱，所以AA1∥BB1，
所以BD⊥BB1，所以BD＝．
因为AB＝2，所以AD＝1，AA1＝2．
因为AC＝2，A1C＝2，所以＝A1C2，
所以AC⊥AA1，
同理AC⊥AB．
因为AA1∩AB＝A，且AA1，AB 平面A1ABB1，
所以AC⊥平面A1ABB1．
因为AC 平面ABC，所以平面A1ABB1⊥平面ABC．
(2)取AB的中点O，连接A1O，取BC的中点P，连接OP，则OP∥AC，
由(1)知AC⊥平面A1ABB1，所以OP⊥平面A1ABB1．
因为A1O 平面A1ABB1，AB 平面A1ABB1，
所以OP⊥A1O，OP⊥AB．
因为AB＝A1A＝A1B，则A1O⊥AB．
以O为坐标原点，OP，OB，OA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(0，－1，0)，A1(0，0，)，B1(0，2，)，C(2，－1，0)，
可设N，
＝＝＝(a，1，)，
设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，
得
取x＝，则y＝0，z＝2，所以n＝(，0，2)是平面A1B1C的一个法向量．
设直线AN与平面A1B1C所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝＝＝，
若a＝0，则sin θ＝；
若a≠0，则sin θ＝＝，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立，
所以直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值为．
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