课后作业(四十六) 向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题
[A组 在基础中考查学科功底]
1．解：(1)根据正方体性质，可以建立如图所示空间直角坐标系Dxyz．
则C(0，4，0)，A(4，0，0)，D1(0，0，4)，E(3，1，4)，D(0，0，0)．
＝(－1，1，4)，＝(4，－4，0)，令l＝＝＝，
则点C到直线AE的距离d1＝＝＝．
(2)＝(4，－4，0)，＝(－1，1，4)，＝(－4，0，4)，
设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令z＝1，则则m＝(1，－3，1)．
则点C到平面AED1的距离d2＝＝＝．
(3)＝(4，－4，0)，＝(0，－4，0)，＝(－1，1，4)，
设CD与AE的公垂线的方向向量为n＝(a，b，c)．
则
令a＝4，则c＝1，
则n＝(4，0，1)．
则异面直线CD与AE的距离d3＝＝＝．
2．解：(1)证明：由已知可得AC＝BC＝2，又AB＝2，则∠ACB＝90°，即AC⊥CB，
又平面PAC⊥平面ACB，平面PAC∩平面ACB＝AC，CB 平面ACB，故CB⊥平面PAC，
又AP 平面PAC，则CB⊥AP，
又AP⊥PC，PC∩CB＝C，PC，CB 平面PCB，所以AP⊥平面PCB，
又CM 平面PCB，则AP⊥CM．
(2)设AC中点为O，AB中点为D，由(1)知OA，OD，OP两两垂直，以OA，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，P(0，0，1)，B(－1，2，0)，
设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ，
设M(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z)＝λ(1，－2，1)，
则M(λ－1，2－2λ，λ)，＝(2，0，0)，＝(λ，2－2λ，λ)，因为点M到直线AC的距离为，则
＝，
即λ2＋(2－2λ)2＋λ2＝，
即25λ2－40λ＋16＝0，解得λ＝，所以＝．
[B组 在综合中考查关键能力]
3．解：(1)证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD．
又BD 平面EFG，EF 平面EFG，则BD∥平面EFG．
又BD 平面ABD，平面ABD∩平面EFG＝GH，所以BD∥GH．
(2)由(1)知，BD∥平面EFG，
则点B到平面EFG的距离即为BD到平面EFG的距离，连接EA，ED，由△ABC，△BCD均为正三角形，E为BC的中点，得EA⊥BC，ED⊥BC．
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE 平面ABC，于是AE⊥平面BCD，又ED 平面BCD，则EA⊥ED．
以点E为原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B，F，A，D(0，2，0)，
又＝2，可得G，
所以＝＝＝，
设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，得n＝是平面EFG的一个法向量，
设点B到平面EFG的距离为d，则d＝＝＝，
所以BD到平面EFG的距离为．
4．解：(1)证明：因为AB＝AC＝2，BC＝2，所以AB2＋AC2＝BC2，即AB⊥AC．
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，
可得＝λ＝(2λ，0，0)，＝＝(0，0，2)＋(2λ，0，0)＝(2λ，0，2)，
即P(2λ，0，2)，＝(1－2λ，1，－2)，
又因为＝(0，2，1)，可得＝0，
所以无论λ取何值，AM⊥PN．
(2)由(1)可知，＝(0，2，1)，＝(1，1，0)，
设平面AMN的法向量为m＝(x，y，z)，
则
取y＝1，则x＝－1，z＝－2，可得m＝(－1，1，－2)是平面AMN的一个法向量，
可得sin θ＝＝
＝，
令t＝λ＋2，因为λ∈[0，1]，所以t∈，
则sin θ＝
＝，
所以当t＝2，即λ＝0时，θ取得最小值，此时sin θ＝．
(3)假设存在，易知平面ABC的一个法向量为u＝(0，0，1)．
因为＝(1，－1，－1)，＝(1－2λ，1，－2)，
设n＝是平面PMN的法向量，
则
令a＝3，可得c＝2－2λ，b＝1＋2λ，可得n＝，
则＝
＝＝，
化简得8λ2－22λ＋5＝0，解得λ＝或λ＝，
因为λ∈，可得λ＝，
所以存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成二面角的正弦值为，点P为线段A1B1上靠近A1的四等分点．
1 / 4课后作业(四十六) 向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题
1．(2025·浙江金华模拟)已知在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝．
(1)求点C到直线AE的距离；
(2)求点C到平面AED1的距离；
(3)在此正方体中，AB⊥BC，AB⊥AA1，则称线段AB的长为异面直线BC与AA1的公垂线段长，也称为异面直线BC与AA1的距离．试求异面直线CD与AE的距离．
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝2，AD＝DC＝，如图1．现将△ADC沿对角线AC折成直二面角P-AC-B，如图2，点M在线段BP上．
(1)求证：AP⊥CM；
(2)若点M到直线AC的距离为，求的值．
3．如图，边长为4的两个正△ABC，△BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，AG＝2GD，直线AB与平面EFG相交于点H．
(1)证明：BD∥GH；
(2)求直线BD到平面EFG的距离．
4．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝2，BC＝2，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，且＝λ，λ∈[0，1]．
(1)证明：AM⊥PN；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面AMN所成角θ最小？
(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．
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