课后作业(四十七) 直线的方程
一、单项选择题
1．(教材改编)过点(1，2)且直线的方向向量为(－1，2)的直线方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
2．对方程＝2表示的图形，下列叙述正确的是( )
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为－的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3，6)
D．斜率为－的一条直线，且除去点(－3，6)
3．(2024·贵州毕节期末)若直线mx＋y－4m－1＝0的斜率小于0，那么该直线不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角为60°，则实数k的值为( )
A． B．－
C．或0 D．－或－
5．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]
D．
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
二、多项选择题
7．(2025·广东广州模拟)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有( )
A．直线l在y轴上的截距是2
B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
8．若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
三、填空题
9．(2025·福建南平模拟)对于任意实数λ，直线x＋y－3＋λ(x－2y)＝0恒过定点A，且点B(1，0)，则直线AB的一个方向向量为 ________．
10．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
11．如图，在矩形ABCD中，|BC|＝|AB|，直线AC的斜率为，则直线BC的斜率为( )
A． B．
C． D．2
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．3
C．3 D．6
13．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和 ________．
1 / 3课后作业(四十七)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [由题意可知直线的斜率k＝－2，由点斜式方程得，所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0．故选A．]
2．C [方程＝2成立的条件为x≠－3，且当x≠－3时，方程可变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)，故选C．]
3．C [直线mx＋y－4m－1＝0可化为y－1＝－m(x－4)，所以直线过定点(4，1)，且斜率k＝－m<0，故该直线不经过第三象限．故选C．]
4．C [因为l1：x＋y＝0的斜率为k＝－，
所以其倾斜角为120°．直线l2：kx－y＋1＝0恒过点(0，1)，
如图，若直线l1与直线l2的夹角为60°，
则l2的倾斜角为60°或0°，所以k＝或k＝0．故选C．]
5．D [∵直线l：y＝k(x－2)＋1过点P(2，1)，
连接P与线段AB上的点A(1，3)时，直线l的斜率最小，为kPA＝＝－2，连接P与线段AB上的点B(－2，－1)时，直线l的斜率最大，为kPB＝＝，∴k的取值范围是 ．故选D．]
6．A [易知A(－1，0)．
∵|PA|＝|PB|，
∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，
∴B(5，0)．
∵PA，PB关于直线x＝2对称，
∴kPB＝－1．∴lPB：y－0＝－(x－5)，
即x＋y－5＝0．故选A．]
7．ACD [对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；
对于B，斜率k＝－＝－，故B错误；
对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确．故选ACD．]
8．ABC [当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1，2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0．
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0，x＋y－3＝0．故选ABC．]
9．(－1，－1)(答案不唯一) [由x＋y－3＋λ(x－2y)＝0，得解得则A(2，1)．
又B(1，0)，则＝(－1，－1)．
即直线AB的一个方向向量为(－1，－1)．]
10．x＝－或y＝(x＋) [在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°．若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．]
[B组 在综合中考查关键能力]
11．A [由题意，在Rt△BCD中，∠BCD＝，|BC|＝|AB|＝|CD|，∴tan ∠CBD＝，
∴∠CBD＝，∴直线BC的倾斜角为，故kBC＝tan ＝．故选A．]
12．D [由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1，0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为(x－2)m＋3－y＝0，令可得点B(2，3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．故选D．]
13．或－2或－(任选2个即可) [令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ，θ∈，tan α＝tan 2θ＝＝2，
整理得k2＋k－1＝0，而k＞0，解得k＝；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上，θ∈，可解得k＝－；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，可解得k＝－．
所以k的取值为或－2或－．]
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