课后作业(四十九)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，
即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为d＝＝3．故选C．]
2．D [令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x－a)2＋y2＝r2，则有解得
故该圆方程为(x－2)2＋y2＝10．故选D．]
3．A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
4．A [点B(0，b)在圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2内 (0－1)2＋(b－2)2<2 1所以“15．C [由圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2，可得圆心为(1，1)，半径为r＝，
又由＝，所以表示圆上的点P(x，y)与点A(0，－2)连线的斜率，
当直线AP与圆相切时，如图所示，设＝t，可得tx－y－2＝0，
令＝，整理得t2＋6t－7＝0，解得t＝－7或t＝1，可得的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选C．
]
6．B [因为||＝2||，||max＝|OC|＋1＝＋1＝6，所以||max＝12．故选B．]
7．ABD [由题意，以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，
化成圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，A正确；
因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，B正确；
圆心到y轴的距离d＝2＜4，则圆与y轴相交，C错误；
的几何意义为圆上任意一点(x，y)到点(2，1)的距离，
从而的最大值为圆心(2，－4)到点(2，1)的距离与半径之和，
故的最大值为
＋4＝9，D正确．故选ABD．]
8．BC [如图所示，以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设P(x，y)，则A(－2，0)，B(2，0)．
A项，若|PA|·|PB|＝10，
则＝10，
整理得(x2＋y2＋4)2－(4x)2＝100，
以－x代替x，以－y代替y，方程不变，
故轨迹关于原点对称，即对称中心为原点，
令x＝0，得y＝±；
令y＝0，得x＝±；
所以该轨迹不是圆，故A错误；
B项，由|PA|＝3|PB|，得|PA|2＝9|PB|2，
即(x＋2)2＋y2＝9，
整理得x2＋y2－5x＋4＝0，即＋y2＝，
所以点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故B正确；
C项，若|PA|2＋|PB|2＝10，则(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝10，
即x2＋y2＝1，所以点P的轨迹为圆，故C正确；
D项，因为|PA|2－|PB|2＝10，
所以(x＋2)2＋y2－(x－2)2－y2＝10，
即x＝，所以点P的轨迹为直线，故D错误．故选BC．]
9．0或1(只写一个即可) [由题设知⊥，即点M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为，
所以点M的轨迹方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝＝0，即直线过圆心，
所以点M到直线y＝x＋2的距离范围是[0，]，
所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1．]
10．x2＋y2＝25 [设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，
则＝10，a2＋b2＝100，
且∴ 代入a2＋b2＝100，
得4x2＋4y2＝100，即x2＋y2＝25，
即点M的轨迹方程为x2＋y2＝25．]
11．解：(1)设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
将点A，B，C的坐标分别代入圆的方程，
得
解得D＝－2，E＝－6，F＝5，
得圆的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0．
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或5．
(2)点P(x，y)在圆E：(x－1)2＋(y－3)2＝5上，
x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，
其几何意义为圆E上的点到M(－1，0)距离的平方减1．
如图，|EM|＝＝，
∴x2＋2x＋y2的最小值为()2－1＝17－2；
x2＋2x＋y2的最大值为()2－1＝17＋2．
∴x2＋2x＋y2的取值范围是[17－2，17＋2]．
[B组 在综合中考查关键能力]
12．ABD [设动点P(x，y)，
则由＝2，得＝2，
即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]，
化简得x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确；
因为点P的轨迹是圆心为(－3，0)，半径为2的圆，
则点P到原点O的距离的最大值为d＝
＋2＝5，B正确；
又A，B和点P轨迹的圆心都在x轴上，且|AB|＝3，
所以当圆的半径垂直于x轴时，△PAB面积取得最大值×3×2＝3，C错误；
又＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2，
因为y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，
所以＝－5x－7(－5≤x≤－1)，
则≤－5×(－5)－7＝18，D正确．
故选ABD．]
13． [以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，
C，设P(x，y)，
由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆， |PA|的最大值等于|MA|＋r＝＝．]
14．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4．
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．
由题设知＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2．
由于点P在圆C的内部，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故点O在线段PM的垂直平分线上．又点P在圆N上，从而ON⊥PM．因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为x＋3y－8＝0．
又|OM|＝|OP|＝2，点O到直线l的距离为，所以|PM|＝，所以S△POM＝＝，故△POM的面积为．
1 / 5课后作业(四十九) 圆的方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共91分
一、单项选择题
1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离是( )
A．2 B．2
C．3 D．
2．(2024·辽宁大连一模)过点(－1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．(x－2)2＋y2＝8
C．(x－1)2＋y2＝5 D．(x－2)2＋y2＝10
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
4．(2024·广东五校联考)“1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．(2025·江苏常州模拟)实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝2，则的取值范围是( )
A．
B．[－1，7]
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
6．(2025·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知P是圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点．若A(－a，0)，B(a，0)，a≠0，则||的最大值为( )
A．16 B．12
C．8 D．6
二、多项选择题
7．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( )
A．F＝4
B．圆关于直线y＝－2x对称
C．圆与y轴相切
D．的最大值为9
8．(2024·江苏南京模拟)已知A，B为定点，且|AB|＝4，下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有( )
A．|PA|·|PB|＝10 B．＝3
C．|PA|2＋|PB|2＝10 D．|PA|2－|PB|2＝10
三、填空题
9．已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足＝0，则点M到直线y＝x＋2的距离可以是________．(写出一个符合题意的整数值)
10．(教材改编)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
四、解答题
11．在平面直角坐标系中，A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，D(0，a)四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点P(x，y)在圆E上，求x2＋2x＋y2的取值范围．
12．(多选)已知点A(1，0)，B(－2，0)，动点P满足＝2，则下面结论正确的为( )
A．点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4
B．点P到原点O的距离的最大值为5
C．△PAB面积的最大值为4
D．的最大值为18
13．(2024·浙江杭州期中)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝5，则|PA|的最大值为________．
14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求直线l的方程及△POM的面积．
1 / 3
