课后作业(五十) 直线与圆、圆与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分
一、单项选择题
1．(2024·山东淄博二模)若圆C：x2＋2x＋y2－3＝0，则直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
2．(2025·河南郑州模拟)以点(1，1)为圆心的圆C截直线y＝x＋2所得的弦长为2，则圆C的半径为( )
A．1 B．
C．2 D．
3．(2025·山东潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－2x＝0，则过点P(3，0)的圆C的切线方程是( )
A．y＝±(x－3) B．y＝±2(x－3)
C．y＝±(x－3) D．y＝±(x－3)
4．(2024·山东大联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0(a>0)的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：(x－2)2＋(y＋2)2＝1的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．内含
5．(2025·湖北八校联考)过点(－2，0)与圆x2＋y2＝1相切的两条直线的夹角为α，则cos α＝( )
A． B．
C． D．－
6．在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，A(－3，0)，若圆C上存在点P，使得|PA|＝2|PO|，则正数a的取值范围为( )
A．(0，1] B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·福建南平二模)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，则( )
A．直线l过定点(3，1)
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
8．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
三、填空题
9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
10．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
11．已知圆O：x2＋y2＝1和点A，若定点B(b，0)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝________，△MAB面积的最大值为________．
四、解答题
12．已知圆C：x2＋y2＝25，点P(3，4)．
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)若直线m过点P且被圆C截得的弦长为8，求直线m的方程．
13．已知圆C：x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0，m∈R．
(1)证明：圆C过定点；
(2)当m＝0时，点P为直线l：＝1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值，并写出此时直线AB的方程．
1 / 3课后作业(五十)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．A [l：mx＋y＝0经过定点(0，0)，由于02＋2×0＋02－3＝－3<0，则定点在圆内．
故直线l：mx＋y＝0与圆C的位置关系是相交．故选A．]
2．D [由题意可知：圆心(1，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以圆C的半径为r＝＝．故选D．]
3．C [将P(3，0)代入圆方程得32＋02－2×3＝3>0，则该点在圆外， C：x2＋y2－2x＝0，
即C：(x－1)2＋y2＝1，则其圆心为(1，0)，半径为1，
当切线斜率不存在时，此时直线方程为x＝3，显然不符合题意，故舍去，
则设切线方程为：y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，
则有＝1，解得k＝±，此时切线方程为y＝±(x－3)．故选C．]
4．D [圆M：x2＋y2＋2ay＝0 x2＋(y＋a)2＝a2，所以圆心M(0，－a)，半径为a．
由点到直线距离公式得：＝＝，且a>0，所以a＝．
又圆N的圆心N(2，－2)，半径为1．
所以|MN|＝＝，|a－1|＝．
由<，所以两圆内含．故选D．]
5．A [Rt△AOB中，|AO|＝2，|OB|＝1，
∴∠BAO＝，即∠BAC＝，cos∠BAC＝，故选A．]
6．D [设P(x，y)，则由|PA|＝2|PO|，得到＝2，
整理得到(x－1)2＋y2＝4，又点P在圆C上，
所以(x－1)2＋y2＝4与圆C有交点，
又(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a，
所以|2－a|≤≤2＋a，解得1≤a≤3＋2，故选D．]
7．ACD [对于A，直线l的方程变形为：(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直线l恒过定点P(3，1)，故A正确；
对于B，圆C的圆心C(1，2)，半径r＝5，
C(1，2)到x轴的距离为2，所以圆C被x轴截得的弦长为2＝2，故B错误；
对于C，当m＝－2时，直线l：3x＋y－10＝0，
此时圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝，
而r－d＝5－<4，
所以当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确；
对于D，当PC⊥l时，弦长最短，
此时kl＝－＝－＝2，因为直线l过定点P(3，1)，
所以l的方程为y－1＝2(x－3)，化简为2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD．]
8．ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜－4＝1，B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，C，D都正确．故选ACD．
]
9．2 [设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．]
10．－或－ [点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A′(2，－3)，
故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
化为kx－y－2k－3＝0，
∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
∴圆心(－3，2)到直线的距离d＝＝1．
化为24k2＋50k＋24＝0，
∴k＝－或－．]
11．2 [设点M(x，y)，由|MB|＝λ|MA|，得(x－b)2＋y2＝λ2，
又b≠－，则λ≠1，整理得x2＋y2－x＋＝0，
所以
解得
如图所示，S△MAB＝|AB|·|yM|，
由图可知，当|yM|＝1，即M的坐标为(0，1)或(0，－1)时，S△MAB取得最大值，故△MAB的面积的最大值为×1＝．]
12．解：(1)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3≠5＝r，不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝5，
解得k＝－，所以直线方程为y－4＝－(x－3)，即3x＋4y－25＝0．
所以过点P的圆C的切线方程为3x＋4y－25＝0．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
圆心到直线的距离为d＝3，则直线被截得弦长为l＝2＝8，成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
圆心到直线的距离为d＝，
直线被截得弦长为l＝2
＝2＝8，解得k＝．
所以直线方程为y－4＝(x－3)，即7x－24y＋75＝0．
综上，直线m的方程为x＝3或7x－24y＋75＝0．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．解：(1)证明：依题意，将圆C的方程x2－mx＋y2＋2(2－m)y＋m－1＝0化为
x2＋y2＋4y－1＋(1－x－2y)m＝0，
令1－x－2y＝0，即x＝1－2y，则(1－2y)2＋y2＋4y－1＝0恒成立，
解得x＝1，y＝0，即圆C过定点(1，0)．
(2)当m＝0时，圆C：x2＋(y＋2)2＝5，
直线l：＝1，
设P(s，t)，依题意四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝2×|PA|×，
当|PA|取得最小值时，四边形PACB的面积最小，
又|PA|＝，即当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
圆心C(0，－2)到直线l：＝1的距离即为|PC|的最小值，
即|PC|min＝＝2，|PA|min＝＝，
Smin＝＝5，即四边形PACB面积的最小值为5，
此时直线PC与直线l垂直，
所以直线PC的方程为y＝2x－2，与直线l联立，解得P(2，2)，
设以PC为直径的圆Q上任意一点D(x，y)，＝x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
故圆Q的方程为x(x－2)＋(y＋2)(y－2)＝0，
即x2＋y2－2x－4＝0，又圆C：x2＋y2＋4y－1＝0，
两式作差可得直线AB的方程为2x＋4y＋3＝0．
5 / 5
