课后作业(五十一)
[A组 在基础中考查学科功底]
1．C [由题意可知可得
则b2＝9－2＝7，所以该椭圆的方程为＝1．
故选C．]
2．A [由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
3．D [因为方程＝1表示的曲线是椭圆，
所以解得4
所以实数k的取值范围是(4，6)∪(6，8)．故选D．]
4．D [设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＝1．故选D．]
5．D [由题图可知，∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，A不正确；
a1>a2，∴c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，B不正确；
由a1>a2，c1>c2可知<，C不正确；
a1＋c2＝a2＋c1，可得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，故＋2a1c2＝＋2a2c1，
即＋2a1c2＝＋2a2c1，∵b1>b2，∴c1a2>a1c2，即>，D正确．故选D．]
6．C [依题意，点B的坐标为(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝＝，故|PB|2＝＋(y0－b)2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋a2＋b2，y0∈[－b，b]，又对称轴y0＝－<0，当－≤－b，即b≥c时，则当y0＝－b时，
|PB|2最大，此时|PB|＝2b，故只需要满足－≤－b，即b2≥c2，则a2－c2≥c2，所以e＝．
又0当－>－b，即b则当y0＝－时，|PB|2最大，
此时|PB|2＝＋a2＋b2≤4b2，
则a4－4a2c2＋4c4≤0，解得a＝c，所以b＝c，
又b综上所述，e的取值范围为，故选C．]
7．ABD [设椭圆C：＝1的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则a2＝9，b2＝4，c2＝9－4＝5，故a＝3，b＝2，c＝，
所以C的焦距为2，故A正确；
C的离心率为＝，故B正确；
△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6＋2，故C错误；
对于D，当点P位于椭圆的上、下顶点时，△F1PF2的面积最大，最大值为×2×2＝2，故D正确．故选ABD．]
8．ABC [设椭圆C的上、下顶点分别为D，E，由题知椭圆C：＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，
所以F1(－4，0)，F2(4，0)，A(－5，0)，B(5，0)，D(0，3)，E(0，－3)．
由于＝(－4，－3)，＝(4，－3)，
＝－16＋9＝－7＜0，所以∠F1PF2的最大角为钝角，故存在P使得∠F1PF2＝，A正确；
记|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝10，
由余弦定理的推论，得
cos ∠F1PF2＝＝＝＝－1≥－1＝－，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取“＝”，B正确；
由于PF1⊥PF2，故 mn＝[(m＋n)2－(m2＋n2)]＝18，
所以＝mn＝9，C正确；
设P(x，y)(x≠±5)，因为A(－5，0)，B(5，0)，＝1，则kPA＝，kPB＝，于是kPA·kPB＝＝＝＝－，D错误．故选ABC．]
9．2 [由椭圆＝1可知a＝3，b＝，c＝＝2，
故|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，结合|PF1|＝2|PF2|，
可得|PF1|＝4，|PF2|＝2，而|F1F2|＝2c＝4，
故△PF1F2为等腰三角形，其面积为×2＝2．]
10．8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|，可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
11．解：(1)依题意可得|AF1|＝|AF2|＝a，|F1F2|＝2c，
又∠F1AF2＝60°，所以△F1AF2为等边三角形，
∴a＝2c，∴e＝＝．
(2)设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a－m，
在△BF1F2中，|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|×|F1F2|×cos 120°，
∴(2a－m)2＝m2＋a2＋am，
∴m＝a，
∴＝×|F2F1|×|AB|×sin 60°，
∴×a×＝40，
∴a＝10(负值舍去)，∴c＝5，b＝＝5，
故椭圆的标准方程为＝1．
12．解：(1)圆M：x2＋(y－1)2＝8的圆心M(0，1)，半径为r＝2，由题意可知|QN|＝|QP|，又点P是圆上的点，则|PM|＝2，且|PM|＝|PQ|＋|QM|，
则|QN|＋|QM|＝2＞2，
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中a＝，c＝1，b＝1，
则点Q的轨迹方程C：＋x2＝1．
(2)设A(x，y)，则＝(x，y)，＝(－x，－1－y)，
所以＝－x2＋y(－1－y)＝－x2－y2－y，
又＋x2＝1，所以x2＝1－y2，所以＝－y2－y－1＝－(y＋1)2－，
由椭圆的有界性可知－≤y≤，
所以当y＝－1时，取最大值－．
所以的最大值为－．
[B组 在综合中考查关键能力]
13．D [由椭圆方程知a＝，b＝2，则c＝＝，离心率为e＝＝，A正确；
当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为2和4，其对角线长为＝2，因此蒙日圆的半径为，圆的方程为x2＋y2＝10，B正确；
设长方形的边长分别为m，n，因此m2＋n2＝40≥2mn，即mn≤20，当且仅当m＝n时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为2，C正确，D错误．故选D．]
14．BCD [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝，
得2a＝＝8，解得a＝4，A错误；
显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B正确；当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．故选BCD．]
15．B [法一：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，
①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝．
设|OP|＝x．在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理得＝－，
得x2＝＝＝，
所以|OP|＝．
法二：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，∠F1PF2＝α，则cos ∠F1PF2＝cos α＝，故α∈∈，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝
＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去)．
故＝b2tan ＝6×＝3．
又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝3，
又＝1，
所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝．
法三：依题意a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
cos ∠F1PF2＝＝， ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝．
因为＝)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)
＝ ＝，所以|PO|＝．]
16． [设椭圆的左焦点F1(－c，0)，连接AF1，BF1，CF1，如图，|OA|＝|OF|＝|OB|，所以AF⊥BF．
设|CF|＝m，|AF|＝2m，
由对称性可知，|AF1|＝|BF|＝2a－2m，
在△ABF中，由|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，
则4m2＋(2a－2m)2＝(2c)2，①
在Rt△AF1C中，|CF1|＝2a－m，
9m2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，可得a＝3m，
将m＝a代入①，解得椭圆的离心率e＝＝．
]
6 / 6课后作业(五十一) 椭圆及其性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共99分
一、单项选择题
1．(2024·安徽合肥模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，焦距为2，则该椭圆的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＝1 D．＝1
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B．
C． D．
3．(2024·辽宁实验中学二模)已知方程＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是( )
A．(4，6) B．(6，8)
C．(4，8) D．(4，6)∪(6，8)
4．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
5．(2024·重庆三模)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，则( )
A．a1－c1C．> D．>
6．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题
7．(2024·山东潍坊二模)已知椭圆C：＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则( )
A．C的焦距为2
B．C的离心率为
C．△F1PF2的周长为3＋
D．△F1PF2面积的最大值为2
8．(2025·河北衡水模拟)已知椭圆C：＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A．存在P使得∠F1PF2＝
B．cos ∠F1PF2的最小值为－
C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9
D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值
三、填空题
9．(2024·广东深圳期中)已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点且|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
10．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
四、解答题
11．如图，F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求椭圆的标准方程．
12．已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
(1)求点Q的轨迹方程C；
(2)若点A是曲线C上的动点，求的最大值(其中O为坐标原点)．
13．加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：＝1相切，则下列说法错误的是( )
A．椭圆M的离心率为
B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10
C．若G为正方形，则G的边长为2
D．长方形G的面积的最大值为18
14．(多选)(2025·重庆模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则( )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2
15．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( )
A． B．
C． D．
16．已知A，B，C是椭圆＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是________．
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