浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷（含解析）

浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，且与共线，则实数（ ）
A．2 B． C．8 D．
3．已知且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为（ ）

A． B． C． D．
5．某街区的交通道路如图1实线所示，从处出发，沿道路以最短路径到达处，则选择如图2实线所示的道路到达处的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知对于恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知四棱锥的底面是矩形，平面，若直线与平面，平面和平面所成的角分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在上的偶函数满足，记，.当时，.记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A． B．，关于原点对称
C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是周期函数 D．在上是减函数
11．棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（包括端点），则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．点到平面的距离与点到点的距离之和的最小值为
C．当点与点重合时，四面体的外接球的表面积为
D．的正切值的取值范围是
三、填空题
12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 .
13．已知正实数，满足，则的最小值为 .
14．设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 .
四、解答题
15．某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图.
(1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数；
(2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）.
16．已知单位向量，的夹角为.
(1)若，求在上的投影向量（结果用表示）；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
17．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求二面角的余弦值.
18．在中，角，，的对边分别是，，.请在以下三个条件中任选一个进行解答（若选多个条件分别解答，则按第一个解答过程给分）：
①；②；③.
(1)求；
(2)若，，
（ⅰ）求的面积；
（ⅱ）若，为边上的两点，且为的角平分线，为边上的中线，求的值.
19．已知函数.
(1)若，求函数的单调递增区间；
(2)若，不等式对恒成立，求的最大值；
(3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围.
浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C C B D D AD BCD
题号 11
答案 ABD
1．D
【详解】因为，解得：或，所以，
因为，所以.
故选：D
2．B
【详解】因为与共线，
所以，
解得，
故选：B
3．A
【详解】当时，由可得，此时，
当时，由可得，此时，
所以，满足不等式的实数的取值范围是，
因为是的真子集，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．C
【详解】根据图象，，，
所以，则，
则将该函数图象向左平移个单位后得到的函数为.
故选：C
5．C
【详解】根据题意，图中从处出发到达处的最短路径需要经过两横两纵四段短路，
所以最短路径数为种路径，
图中从处出发到达处的最短路径有两种情况：
第一步走纵，只有纵纵横横一种路径；
第一步走横，到达如图所示的处，
从处到达处的最短路径需要经过一横两纵三段短路，
所以最短路径有种路径，
以上两种情况相加共种路径，
所以选择如图2实线所示的道路到达处的概率是.
故选：C
6．B
【详解】，其中，，
.
故选：B.
7．D
【详解】
如图所示，设，，，
因为平面，因为平面，所以，
为直角三角形，
所以直线与平面所成角为，即，
因为为矩形，所以为直角三角形，
所以，
在中，，
所以，，
因为为矩形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
为直角三角形，
所以直线与平面所成角为，即，
因为平面，平面，所以，
在中，，
所以，，
因为为矩形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以
为直角三角形，
所以直线与平面所成角为，即，
因为平面，平面，所以，
在中，，
所以，，
对于A，
，A错误；
对于B，
，B错误；
对于C，
，C错误；
对于D，
，D正确.
故选：D.
8．D
【详解】因为为定义在上的偶函数，所以，
又因为，将替换则有，
即，所以为周期为的周期函数，
根据题意，即时， ，
，当时，，即，
因为函数为周期为的周期函数，
所以，，
根据已知条件，，在上有两解，
令，则，方程变为，，
令，，根据题意两函数在有两个交点，
，，为对称轴为，值域为的抛物线，
，，为对数函数，，，
当时，函数在上单调递减，两个函数没有交点，不合题意；
当，，，
此时，两函数在上恰有两个交点，符合题意；
当时，单调递增，根据，
两图像最多有一个交点，不合题意；
当时，单调递增，根据，
两图像有两个交点，符合题意；
综上所述，的取值范围为，所以.
故选：D
9．AD
【详解】由题设，A对，
且，，则两点关于x轴对称，不关于原点对称，B错；
，而，C错；
，D对.
故选：AD
10．BCD
【详解】函数的定义域为，
对于A，因为，所以不是偶函数，故A错误；
对于B，，设函数，其定义域为，
则，所以是奇函数，故B正确；
对于C，因为，所以是周期为的周期函数，故C正确；
对于D，求导可得，时，，则，
所以在上是减函数，故D正确.
故选：BCD.
11．ABD
【详解】过作交与，
对于A，在正方体中，，
又平面，平面，
所以平面，即点到平面的距离为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，过作交与，则平面，
平面，平面，
把平面沿展开，
所以当时，距离之和取得最小值，
又，
，
，
，故B正确；
对于C，点与点重合时，四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以此时外接球直角为体对角线，则表面积为；
对于D，在正方体中，
平面，又平面，所以，
所以，
又当时，取得最小值，
当与点或点重合时，取得最大值，
，故D正确；
故选：ABD.
12．1
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，
当时，，则.
故答案为：1.
13．3
【详解】，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为3.
故答案为：3.
14．
【详解】由题意可以变形为，
展开得：，
所以， ，
三次方程 的根 ，
所以，，，
由 ，代入得：
因此：
因为方程有三个不等实根，令，
令，得.， ，单调递增，
， ，单调递减，， ，单调递增，
所以的极大值为，
的极小值为，
要有三个不等实根，则且，即.
又是最小根则，且.
所以.
令，，
，
因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为.
故答案为：
15．(1)72人
(2)3.28小时
【详解】（1）由题意得，抽取的200名学生中，男生人数为人，
由图1得，所求男生人数为人；
（2）设样本中男生每天的平均课后学习时间为，样本中女生每天的平均课后学习时间为，高一年级全体学生每天的平均课后学习时间为，
由图1得的估计值为，
由图2得的估计值为，
因此的估计值为，
即该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间的估计值为3.28小时.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
所以在上的投影向量为.
（2）由得，
即对任意实数恒成立.
所以，
解得.
又因为，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，平面，所以.
因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以.
又因为，平面，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）过点分别作于点，于点，连结.
由平面平面，平面平面，得平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，故，
所以二面角的平面角为.
不妨设，
因为，，所以，，，.
在中，，在中，，
所以，所以.
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）选①：由，得，
所以，因为，解得，
又因为，所以.
选②：由，得.
所以，即，解得，
又因为，所以.
选③：由，得，
所以，所以，
即，因为，解得，
又因为，所以.
（2）由，得，
因为，所以，
根据正弦定理，得.
（ⅰ）.
（ⅱ）由余弦定理得，所以，所以.
由，得，所以.
因为，所以，解得，
所以.
19．(1)
(2)5
(3)
【详解】（1）当时，
其中开口向上，对称轴为，故在上单调递增，
开口向上，对称轴为，故在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
（2）由题知，，
即，
，
，
对任意恒成立.
若，则.
若，则，所以，
因为，所以，所以，
当时，，所以，
当时，，
故只需对任意恒成立，即，
所以，解得.
若，则，所以，因为，则，
所以，
只需，所以，
综上，，故的最大值为5.
（3）因为，当，时，，
故，对称轴为.
当，即时，在单调递增，故在上单调递增，
所以
令，即，
所以，是方程在上的两个不等实根，
则解得.
当，即时，在单调递减，单调递增，
所以
所以，是方程在上的两个不等实根，
则
解得.
综上，.