20242025学年第二学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.若集合M={x||x|≤1}，N={-1,0,2},则M∩N=
A.{0}
B.{-1,0}
C.{0,2}
D.{-1,0,2}
2.复数2=4一31在复平面内所对应的点位于
1+2i
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.用4种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同
的涂法有
A.16
③
B.24
①
C.36
②
D.48
④
4.(:-》”展开式中的常数项为
A.40
B.60
C.80
D.120
5.如果随机变量X-N(2,σ2)，且P(X≤0)=03，则P(X≤4)=
A.0.3
B.0.4
C.0.7
D.0.8
6.在正方体ABCD-A,B,CD,中，P为棱B,C的中点，点M,N分别在线段A,B,DB,
上，且BM=片BA,BN=片BD,则MN与BP
A.平行
B,垂直
C.所成的角的余弦值为
D.所威的角的余弦值为
高二数学
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7.甲盒中有3道代数题和4道几何题，乙盒中有1道代数题和2道几何题.现从甲
盒中随机抽取2道题放入乙盒，再从乙盒中随机抽取2道题，则从乙盒中取出的
是2道几何题的概率为
A
c.
n.月
8.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，M为BB,的中点，点N在棱B,C上，且B,N=2NC,
点A,M,N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体
积与较大部分的体积之比为
A.
1
26
B.26
c.3
3
D.5
3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9。设，B,y表示三个不同的平面，m,n表示两条不同的直线，则下列结论正
确的有
A.若m∥c,n∥a,则m∥n
B.若m∥c,n⊥a,则m⊥n
C.若a⊥B,m⊥阝，m丈a,则m∥a
D.若&⊥Y,B⊥y,c∩B=m,则m⊥Y
10.用0,1,2,3,4,5,6这7个数字，可以组成
A.180个无重复数字的三位数
B.75个无重复数字且为奇数的三位数
C.30个无重复数字且能被25整除的四位数
D.480个无重复数字且比1300大的四位数
11.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AA,=8,底面ABCD是边长为3的正方形，
A正=入A(0≤1≤)，则下列选项正确的有
A,2∈[0,1]，三棱锥D-ECD的体积是定值
B.当DE.EC=0时，存在唯一的元使得DE⊥平面D,C,E
C.F为棱DD,的中点，当入=二时，△BEF的周长取最小值
D.当直线DB与CE所成角的余弦值为6Y5时，1的值为35
41
10
高二数学第2页共4页高二数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.B. 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C 8.A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分。
9.BCD 10.AB. 11.ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。
3
12．14.7 13.11 14.
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2 2
15．解：(1)有放回摸球，每次摸到红球的概率为 ，且各次试验之间的结果是独立的，因此 X~B(2， )，
5 5
2 3 9 2 3 12
X 的分布列为：P(X 0) C
0 0
2 ( ) ( )
2 ， P(X 1) C
1
2 ( )
1( )1 ，
5 5 25 5 5 25
2 2 3 4P(X 2) C 2 02 ( ) ( ) ．
5 5 25
X 的分布表为：
X 0 1 2
9 12 4
P
25 25 25
（2）不放回摸球，X 服从超几何分布，X 的分布列为：
C0C2 C1 1 2 04 6 1 4C6 8 C C 2P(X 0) ,P(X 1) ,P(X 2) 4 6 .
C210 3 C
2 2
10 15 C10 15
X 的分布表为：
X 0 1 2
1 8 2
P
3 15 15
………………………………….每个 2 分，全对 13 分
16．解：（1）∵S4 a6 5 ，∴3 a1＋ d 5 ①，
又∵ a2n 2an 1，∴ a2 2a1 1， a1 d －1②
由①②得 a1 1， d 2，即 an 2n 1…………………………………………………………….5 分
1 1 1 1 1
（2） ( )
anan 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 )
a1a2 a2a3 a9a10 2 3 3 5 17 19
1 1 9
= (1 ) …………………………………………………………………………………….10 分
2 19 19
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{#{QQABJQ6wxgoQkgSACY6qRUVYC0uQkIEhLYoMhVCcKAQriAFABAA=}#}
（3）由（1）得 c (2n 1)2n 1n ，设数列{ c }的前 n 项和为T n n
Tn 1 2
0 3 21 5 22 (2n 1) 2n 1 ③
2T 1 21 3 22 3n 5 2 (2n 3) 2
n 1 (2n 1) 2n ④….12 分
由③－④得 T 1 20 2 (21n 2
2 2n 1) (2n 1)2n
Tn (2n 3)2
n 3………………………………………………………………………………….15 分
．解：（ ）当a 1时， f (x) e2x ex x， f (x) 2e2x ex17 1 1…………………………………1 分
f ( 1 ) 2
2 e e，1f (1) e2 e 1
曲线 f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y (2e2 e 1)x e2 ……………………………………4 分
（2） f (x) ae2x (a 2)ex x， f (x) 2ae2x (a 2)ex 1 (2ex 1)(aex 1)
………………………………………….6 分
2x x
当 a≤0时， 2ae 0,(a 2)e 0， f (x) 0，函数 f (x) 在R 上单调递减
………………………………………….8 分
当 a 0时， f (x) 2ae
2x (a 2)ex 1 (2ex 1)(aex 1)=0
aex 1 0， x lna，
当 x ( , lna) 时， f (x) 0，函数 f (x) 在 ( , lna)上单调递减
当 x ( lna, ) 时， f (x) 0，函数 f (x) 在 ( lna, )上单调递增
………………………………………….10分
（3）当 lna≤0，函数 f (x)在 0,1 上单调递增， f (x)min = f (0) 2a 2
………………………………………….11 分
当 0 lna 1，函数 f (x)在 0, ln a 上单调递减，在 lna,1 上单调递增
1
f (x)min = f ( ln a) ln a 1 …………………………………………………………………….13 分
a
当 lna≥1，函数 f (x)在 0,1 上单调递减，
f (x) 2min = f (1) ae (a 2)e 1………………………………………………………………….15 分
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{#{QQABJQ6wxgoQkgSACY6qRUVYC0uQkIEhLYoMhVCcKAQriAFABAA=}#}
c 5 8 1
18．解：（1）由题意可知e ， 1
a2 b2
，解得 a 2，b 1
a 2
x2
双曲线 C 的标准方程为 y2 1 …………………………………………………………….4 分
4
（2）①由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为： y k(x 2) 2
x2 2
y 1
联立 得 (1 4k2 2 2 4 )x (16k 16k)x 16k
2 32k 20 0，……………………….6 分
y k(x 2) 2
1 4k 2 0
所以 (16k
2 16k)2 4(1 4k 2 )( 16k 2 32k 20) 0 ，……………………………………….8 分
k 0
5 5 3
化简得 8k 5 0，解得 k ，所以 y x ………………………………………………10 分
8 8 4
x2
y
2 1
②设点 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，由①得联立 4 得
y k(x 2) 2
1 4k 2 0
8k 5 0
(1 4k2)x2 (16k2 16k)x 16k2 32k 20 0， 16k
2 16k
x x 1 2
1 4k
2
16k 2 32k 20
x1 x2
1 4k 2
y y k(x 2) 2 k(x 2) 2
k1 k
1 2 1 22
x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
2 2 2(x1 x 4)2k 2k 2 ……………………………………………………14 分= =
x1 2 x2 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4
16k 2 16k
2( 4)
4k 2 1
= 2k
16k 2 32k 20 16k 2 16k
2 4
4k 2 1 4k 2 1
32k 2 32k 32k 2 8
= 2k
16k 2 32k 20 32k 2 32k 16k 2 4
32k 8 1
2k ………………………………17 分 =
16 2
19．（1）证明：连接 AB，取 AB 中点 F，连接 DF， A1D BD，AF BF ，
1 1
DF / / A A OC / / A A ………………2 分1 ，又 1 ， DF / /OC 四边形OCDF 为平行四边形，
2 2
CD / /OF ，又OF 平面 ，CD 平面 ， ………………………4 分 OAB OAB CD // 平面 OAB
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{#{QQABJQ6wxgoQkgSACY6qRUVYC0uQkIEhLYoMhVCcKAQriAFABAA=}#}
（2）连接 AP，过点 A 作 AG BP，垂足为 G，由扇形 AOB 可知， APB 135 ，设 AP=a，BP=b，
则 2AG b ，在 OAB中，由余弦定理得， AB2 AP2 BP2 2AP BPcos APB，即
2
2 a2 b2 2a b，
又 2 a2 b2
2
2a b (2 2)ab ，所以 ab 2 2 …………………………………6 分
2 2
1 1 1 2 2 2(2 2) 2 1
V ，当且仅当B A1EP VA BEP S BEP .AG 2a b = ab 1 3 3 2 2 6 6 3
a b 2 2 时取等号. …………………………………………………………………………8 分
（3）以 OA,OB,OC 为一组基底，建立如图所示空间直角坐标系 O xyz，则 A(1,0,0) ，B(0,1,0)，
2 2
A1(1,0,2) ，设 P(m,n,0)，则 E(m,n,2)，m n 1(0 m 1,0 n 1) ………………………9 分
n A E n A E (m 1)x ny 0
设平面 BA E 的法向量为 ，则
1 1 1 1
n (x, y, z) ，
1 1
n1 A1B n1 A1B x y 2z 0
不妨令 ，则 1 m n 1 m nx n y 1 m， z ， n ，…………………………11 分 1 (n,1 m, )
2 2
同理可求平面 PA E 的法向量为 n2 (n,1 m,0) …………………………………………………13 分 1
设二面角 B A E P 的平面角大小为 ，1
n n n2 (1 m)2
cos cos n1,n
1 2
2
1 m n n1 n2 n2 (1 m)2 ( )2 n2 (1 m)2
2
n2 (1 m)2 2 2 ，
=
2 2 1 m n = =n (1 m) ( )2 2n(1 m) 25 5
2 n2 (1 m)2 n 1 m
1 m n
n n 1 m
0 m 1,0 n 1,m2 n2 1， 1， 2 ，
1 m 1 m n
2 2
0 1， 2 5 5 ，
n 1 m n 1 m
1 m n 1 m n
2 5 2
1，
2 5
cos ( ,1) ，
5 2 5
5
n 1 m
1 m n
2 5
二面角 B A E P 余弦值的取值范围为 ( ,1) ………………………………………………17 分 1 5
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