台湾2016年中考数学试卷（word解析版）

2016年台湾省中考数学试卷
　
一、选择题（1～25题）
1．x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（　　）
A．x+2y=﹣1
B．x﹣2y=1
C．2x+3y=6
D．2x﹣3y=﹣6
2．算式[﹣5﹣（﹣11）]÷（×4）之值为何？（　　）
A．1
B．16
C．﹣
D．﹣
3．计算
（2x+1）（x﹣1）﹣（x2+x﹣2）的结果，与下列哪一个式子相同？（　　）
A．x2﹣2x+1
B．x2﹣2x﹣3
C．x2+x﹣3
D．x2﹣3
4．如图，已知扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，则此扇形面积为多少平方公分？（　　）
A．100π
B．20π
C．15π
D．5π
5．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（　　）
A．在A的左边
B．介于A、B之间
C．介于B、C之间
D．在C的右边
6．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（　　）
A．0
B．10
C．12
D．22
7．图（一）、图（二）分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图．若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？（　　）
A．a＞b，c＞d
B．a＞b，c＜d
C．a＜b，c＞d
D．a＜b，c＜d
8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　）
A．50
B．55
C．70
D．75
9．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（　　）
A．350
B．351
C．356
D．358
10．甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑．小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的机率为何？（　　）
A．
B．
C．
D．
11．坐标平面上有一个二元一次方程式的图形，此图形通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点．判断此图形与下列哪一个方程式的图形的交点在第三象限？（　　）
A．x﹣4=0
B．x+4=0
C．y﹣4=0
D．y+4=0
12．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（　　）
A．58
B．59
C．61
D．62
13．若一正方形的面积为20平方公分，周长为x公分，则x的值介于下列哪两个整数之间？（　　）
A．16，17
B．17，18
C．18，19
D．19，20
14．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（　　）
A．25
B．40
C．50
D．55
15．如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（　　）
A．
B．
C．2﹣D．4﹣2
16．如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（　　）
A．q＜r，QE=RC
B．q＜r，QE＜RC
C．q=r，QE=RC
D．q=r，QE＜RC
17．已知a、b、c
为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（　　）
A．8是a的因子，8是b的因子
B．8是a的因子，8不是b的因子
C．8不是a的因子，8是c的因子
D．8不是a的因子，8不是c的因子
18．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（　　）
A．4.5
B．6
C．8
D．9
19．表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个门号的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（　　）
甲方案
乙方案
门号的月租费（元）
400
600
MAT手机价格（元）
15000
13000
注意事项：以上方案两年内不可变更月租费
A．500
B．516
C．517
D．600
20．如图，以矩形ABCD的A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点；再以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点．若AD=5，CD=，则EF的长度为何？（　　）
A．2
B．3
C．
D．
21．坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（　　）
A．a
B．b
C．c
D．d
22．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）
作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）
连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
23．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）
A．1
B．2
C．2﹣2
D．4﹣2
24．如图（一），为一条拉直的细线，A、B两点在上，且：
=1：3，：
=3：5．若先固定B点，将折向，使得重迭在上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（　　）
A．1：1：1
B．1：1：2
C．1：2：2
D．1：2：5
25．如图，矩形ABCD中，M、E、F三点在上，N是矩形两对角线的交点．若=24，
=32，
=16，
=8，
=7，则下列哪一条直线是A、C两点的对称轴？（　　）
A．直线MN
B．直线EN
C．直线FN
D．直线DN
　
二、非选择题（第1～2题）
26．如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．
27．如图，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、
R三点分别在CD、AD、BC上，如图所示．
（1）当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积．
（2）承（1），当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案．
　
2016年台湾省中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（1～25题）
1．x=﹣3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？（　　）
A．x+2y=﹣1
B．x﹣2y=1
C．2x+3y=6
D．2x﹣3y=﹣6
【考点】二元一次方程的解．
【分析】直接利用二元一次方程的解的定义分别代入求出答案．
【解答】解：将x=﹣3，y=1代入各式，
A、（﹣3）+2×1=﹣1，正确；
B、（﹣3）﹣2×1=﹣5≠1，故此选项错误；
C、2×（﹣3）+3 1=﹣3≠6，故此选项错误；
D、2×（﹣3）﹣3 1=﹣9≠﹣6，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的解，正确代入方程是解题关键．
　
2．算式[﹣5﹣（﹣11）]÷（×4）之值为何？（　　）
A．1
B．16
C．﹣
D．﹣
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式先计算括号中的运算，再计算除法运算即可得到结果．
【解答】解：原式=（﹣5+11）÷（3×2）=6÷6=1，
故选A
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
3．计算
（2x+1）（x﹣1）﹣（x2+x﹣2）的结果，与下列哪一个式子相同？（　　）
A．x2﹣2x+1
B．x2﹣2x﹣3
C．x2+x﹣3
D．x2﹣3
【考点】整式的混合运算．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：（2x+1）（x﹣1）﹣（x2+x﹣2）
=（2x2﹣2x+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）
=2x2﹣x﹣1﹣x2﹣x+2
=x2﹣2x+1，
故选A
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
4．如图，已知扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，则此扇形面积为多少平方公分？（　　）
A．100π
B．20π
C．15π
D．5π
【考点】扇形面积的计算．
【专题】计算题；圆的有关概念及性质．
【分析】利用扇形面积公式计算即可得到结果．
【解答】解：∵扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，
∴S扇形AOB==15π（平方公分），
故选C．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
　
5．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（　　）
A．在A的左边
B．介于A、B之间
C．介于B、C之间
D．在C的右边
【考点】数轴；绝对值．
【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系，可以找出向量的数值，再结合原点O与A、B的距离分别为4、1，利用向量间的关系验证的正负，由此即可得出结论．
【解答】解：∵|a﹣b|=3，|b﹣c|=5，
∴=3，
=5，
∵原点O与A、B的距离分别为4、1，
∴=±1，
=4．
①当=﹣1时，
∵=+=4﹣1=3，
∴=﹣1合适；
②当=1时，
∵=+=4+1=5，5≠3，
∴=1不合适．
∴点O在点B的右侧1个单位长度处，
∵点C在点B的右侧5个单位长度处，
∴点O介于B、C点之间．
故选C．
【点评】本题考查了数值、绝对值以及向量，解题的关键是确定的符号．本题属于基础题，难度不大，利用向量来解决问题给我们带来了很大的方便，而历年中考题也时常考到，但很多版本的教材中没有讲到向量，这就需要我们同学和老师在平常的练习中理解向量的含义．
　
6．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（　　）
A．0
B．10
C．12
D．22
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．
【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，
可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．
∴a=﹣5，b=11，c=6，
则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．
故选C．
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
　
7．图（一）、图（二）分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图．若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？（　　）
A．a＞b，c＞d
B．a＞b，c＜d
C．a＜b，c＞d
D．a＜b，c＜d
【考点】众数；频数（率）分布直方图；中位数．
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，确定众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；依此即可求解．
【解答】解：由图（三）、图（四）可知a=8，b=6 a＞b，
甲班共有5+15+20+15=55（人），乙班共有25+5+15+10=55（人），
则甲、乙两班的中位数均为第28人，得c=8，d=7 c＞d．
故选A．
【点评】此题考查了众数与中位数的知识．解题的关键是熟记众数与中位数的定义．
　
8．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（　　）
A．50
B．55
C．70
D．75
【考点】正方形的性质；平行四边形的性质．
【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．
故选C．
【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．
　
9．小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数．小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7．若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？（　　）
A．350
B．351
C．356
D．358
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；规律型．
【分析】根据题意确定出小昱和阿帆所写的数字，设小昱所写的第n个数为101，根据规律确定出n的值，即可确定出阿帆在该页写的数．
【解答】解：小昱所写的数为
1，3，5，7，…，101，…；阿帆所写的数为
1，8，15，22，…，
设小昱所写的第n个数为101，
根据题意得：101=1+（n﹣1）×2，
整理得：2（n﹣1）=100，即n﹣1=50，
解得：n=51，
则阿帆所写的第51个数为1+（51﹣1）×7=1+50×7=1+350=351．
故选B
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
　
10．甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑．小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的机率为何？（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画出树状图，得出共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，即可得出结果．
【解答】解：树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，
故小赖抽出的两颗球颜色相同的机率==；
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
　
11．坐标平面上有一个二元一次方程式的图形，此图形通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点．判断此图形与下列哪一个方程式的图形的交点在第三象限？（　　）
A．x﹣4=0
B．x+4=0
C．y﹣4=0
D．y+4=0
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系．
【分析】分别作出各选项中的直线，以及通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点的直线，根据图象即可确定出此图形与下列方程式的图形的交点在第三象限的直线方程．
【解答】解：作出选项中x﹣4=0，x+4=0，y﹣4=0，y+4=0的图象，以及通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点直线方程，
根据图象得：通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点直线与y+4=0的交点在第三象限，
故选D
【点评】此题考查了坐标与图形性质，作出相应的图象是解本题的关键．
　
12．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（　　）
A．58
B．59
C．61
D．62
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义得到∠1=∠2=∠3，求出∠4和∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵BD是∠ADE的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵DE是BC的中垂线，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=∠2=∠3=60°，
∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
　
13．若一正方形的面积为20平方公分，周长为x公分，则x的值介于下列哪两个整数之间？（　　）
A．16，17
B．17，18
C．18，19
D．19，20
【考点】估算无理数的大小．
【分析】由一正方形的面积为20平方公分，周长为x公分，可求得x2=320，又由172=289，182=324，即可求得答案．
【解答】解：∵周长为x公分，
∴边长为公分，
∴（）2=20，
∴=20，
∴x2=320，
又∵172=289，182=324，
∴172＜320＜182，
即172＜x2＜182，
又∵x为正整数，
∴x介于17和18之间，
故选B．
【点评】此题考查了无理数大小的估计．注意利用数的平方大小比较是解此题的方法．
　
14．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为何？（　　）
A．25
B．40
C．50
D．55
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】计算题；圆的有关概念及性质．
【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A=65°，∠D=60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA=OB=OC=OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A=65°，∠D=60°，
∴∠1=180°﹣2∠A=180°﹣2×65°=50°，∠2=180°﹣2∠D=180°﹣2×60°=60°，
∵=150°，
∴∠AOD=150°，
∴∠3=∠AOD﹣∠1﹣∠2=150°﹣50°﹣60°=40°，
则=40°．
故选B
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．
　
15．如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（　　）
A．
B．
C．2﹣D．4﹣2
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设出丁的一股为a，表示出其它，再用面积建立方程即可．
【解答】解：设丁的一股长为a，且a＜2，
∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积，
∴2a+2a=×22+×a2，
∴4a=2+a2，
∴a2﹣8a+4=0，
∴a===4±2，
∵4+2＞2，不合题意舍，
4﹣2＜2，合题意，
∴a=4﹣2．
故选D．
【点评】此题是一元二次方程的应用题，主要考查了一元二次方程的解，解本题的关键是列出一元二次方程．
　
16．如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（　　）
A．q＜r，QE=RC
B．q＜r，QE＜RC
C．q=r，QE=RC
D．q=r，QE＜RC
【考点】平行线分线段成比例；矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，根据已知条件得到，根据平行线分线段成比例定理得到PQ∥CD，
=4，根据平行线间的距离相等，得到q=r，证得=，于是得到结论．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∵AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，
∴，
∴PQ∥CD，
∴=4，
∵平行线间的距离相等，
∴q=r，
∵=4，
∴=，
∵AE＜AC，
∴QE＜CR．
故选D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
　
17．已知a、b、c
为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（　　）
A．8是a的因子，8是b的因子
B．8是a的因子，8不是b的因子
C．8不是a的因子，8是c的因子
D．8不是a的因子，8不是c的因子
【考点】公因式．
【专题】计算题；整式．
【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．
【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，
∴a为12与18的公倍数，
又[12，18]=36，且a介于50与100之间，
∴a=36×2=72，即8是a的因子，
∵（a，b）=12，
∴设b=12×m，其中m为正整数，
又a=72=12×6，
∴m和6互质，即8不是b的因子．
故选B
【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．
　
18．如图，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1．今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？（　　）
A．4.5
B．6
C．8
D．9
【考点】圆柱的计算．
【分析】由水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，得到水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，于是得到水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，根据原有的水量为3a×12=36a，即可得到结论．
【解答】解：∵水桶底面半径：铁柱底面半径=2：1，
∴水桶底面积：铁柱底面积=22：12=4：1，
设铁柱底面积为a，水桶底面积为4a，
则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4a﹣a=3a，
∵原有的水量为3a×12=36a，
∴水桶内的水面高度变为=9（公分）．
故选D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，正确的理解题意是解题的关键．
　
19．表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个门号的两种方案．此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费．若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（　　）
甲方案
乙方案
门号的月租费（元）
400
600
MAT手机价格（元）
15000
13000
注意事项：以上方案两年内不可变更月租费
A．500
B．516
C．517
D．600
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【分析】由x的取值范围，结合题意找出甲、乙两种方案下两年的总花费各是多少，再由乙方案比甲方案便宜得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵x为400到600之间的整数，
∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，
甲方案使用两年总花费=24x+15000；乙方案使用两年总花费=24×600+13000=27400．
由已知得：24x+15000＞27400，
解得：x＞516，即x至少为517．
故选C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是结合题意找出关于x的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．
　
20．如图，以矩形ABCD的A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点；再以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点．若AD=5，CD=，则EF的长度为何？（　　）
A．2
B．3
C．
D．
【考点】矩形的性质；勾股定理．
【专题】计算题；矩形
菱形
正方形．
【分析】连接CE，可得出CE=CD，由矩形的性质得到BC=AD，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出BE的长，由AB﹣AF求出BF的长，由BE﹣BF求出EF的长即可．
【解答】解：连接CE，则CE=CD=，BC=AD=5，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE==，
又∵BF=AB﹣AF=﹣5=，
∴EF=BE﹣BF=﹣=2．
故选A
【点评】此题考查了矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
　
21．坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？（　　）
A．a
B．b
C．c
D．d
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线顶点及对称轴可得抛物线与x轴的交点，从而根据交点及顶点画出抛物线草图，根据图形易知a、b、c、d的大小．
【解答】解：∵二次函数图形的顶点为（2，﹣1），
∴对称轴为x=2，
∵×PQ=×6=3，
∴图形与x轴的交点为（2﹣3，0）=（﹣1，0），和（2+3，0）=（5，0），
已知图形通过（2，﹣1）、（﹣1，0）、（5，0）三点，
如图，
由图形可知：a=b＜0，c=0，d＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性由对称轴及交点距离得出两交点坐标是解题的关键．
　
22．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：
（甲）
作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；
（乙）
连接、，两线段交于一点O，则O即为所求
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（　　）
A．两人皆正确
B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
【考点】确定圆的条件．
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断甲，根据90°的圆周角所对的弦是直径判断乙．
【解答】解：甲，∵
=，
∴△DEC为等腰三角形，
∴L为之中垂线，
∴O为两中垂线之交点，
即O为△CDE的外心，
∴O为此圆圆心．
乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，
∴、为此圆直径，
∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．
故选：A．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理是解题的关键．
　
23．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）
A．1
B．2
C．2﹣2
D．4﹣2
【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】先判断出四边形FPCQ是筝形，再求出AC=，AF=2，CF=2AF=4，然后计算出PQ即可．
【解答】解：如图，
连接PF，QF，PC，QC，
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心
∴四边形FPCQ是筝形，
∴PQ⊥CF，
∵△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴AC=，AF=2，CF=2AF=4，
∴PQ=2×
=2+2﹣4
=2﹣2．
故选C．
【点评】此题是三角形的内切圆与内心题，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．
　
24．如图（一），为一条拉直的细线，A、B两点在上，且：
=1：3，：
=3：5．若先固定B点，将折向，使得重迭在上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（　　）
A．1：1：1
B．1：1：2
C．1：2：2
D．1：2：5
【考点】比较线段的长短．
【专题】探究型．
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
【解答】解：设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
　
25．如图，矩形ABCD中，M、E、F三点在上，N是矩形两对角线的交点．若=24，
=32，
=16，
=8，
=7，则下列哪一条直线是A、C两点的对称轴？（　　）
A．直线MN
B．直线EN
C．直线FN
D．直线DN
【考点】轴对称的性质；矩形的性质．
【专题】探究型．
【分析】根据题意可知A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，画出合适的辅助线，然后根据题意可以求得AC和AN的长，然后根据三角形相似的知识可以求得AP的长，从而可以得到P与哪一个点重合，本题得以解决．
【解答】解：∵A、C两点的对称轴是线段AC的垂直平分线，
∴连接AC，过点N作AC的垂直平分线PN交AD于点P，
∵AB=24，AD=32，
∴，
∴AN=20，
∵∠PAN=∠CAD，∠ANP=∠ADC，
∴△ANP∽△ADC，
∴，
即，
解得，AP=25，
∵M、E、F三点在AD上，AD=32，MD=16，ED=8，FD=7，
∴AF=AD﹣FD=32﹣7=25，
∴点P与点F重合．
故选C．
【点评】本题考查轴对称的性质、矩形的性质，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件．
　
二、非选择题（第1～2题）
26．如图，△ABC中，AB=AC，D点在BC上，∠BAD=30°，且∠ADC=60°．请完整说明为何AD=BD与CD=2BD的理由．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】求出∠B、∠C、∠DAC的度数，根据等腰三角形的判定方法以及30度直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵∠4=60°，∠1=30°，
根据三角形外角定理可得：∠ABD=∠4﹣∠1=60°﹣30°=30°=∠1．
∴BD=AD．
∵∠ABD=30°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠ABD=30°，
∴∠2=180°﹣∠4﹣∠C=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CD=2AD=2BD．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
　
27．如图，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革．皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD=2DQ，PC=RC，且P、Q、
R三点分别在CD、AD、BC上，如图所示．
（1）当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积．
（2）承（1），当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据条件表示出PD，从而得到△PDQ的面积；
（2）分别求出正方形ABCD的面积，△PDQ，△PCR的面积，再作差求出五边形的面积，最后确定出取极值时的x值．
【解答】解：（1）设DQ=x公分，
∴PD=2DQ=2x公分，
∴S△PDQ=x×2x=x2（平方公分），
（2）∵PD=2x公分，CD=12公分，
∴PC=CR=12﹣2x（公分），
∴S五边形PQABR=S正方形ABCD﹣S△PDQ﹣S△PCR
=122﹣x2﹣（12﹣2x）2
=144﹣x2﹣（144﹣48x+4x2）
=144﹣x2﹣72+24x﹣2x2
=﹣3x2+24x+72=
﹣3（x2﹣8x+42）+72+3×16
=﹣3（x﹣4）2+120，
故当x=4时，五边形PQABR有最大面积为120平方公分．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了三角形面积的计算，五边形面积的计算方法，解本题的关键是三角形的面积的计算．
　
第5页（共27页）