浙江省绍初教育集团2025年5月九年级数学大单元教学效果监测（二模）
1．（2025·浙江二模）实数2，0，-2， 中，为负数的是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．
2．（2025·浙江二模）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1 700 000年误差不超过1秒，数据1 700 000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107
3．（2025·浙江二模）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·浙江二模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江二模）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球.从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·浙江二模）某班参加五个兴趣小组的人数分别为4，7，x，6，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．（2025·浙江二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·浙江二模）如图，在中，，，.点E是AC的中点，连接DE，且，，则（ ）
A．4 B． C． D．
9．（2025·浙江二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在的图象上时，点（b，a）就在的图象上，则称函数和具有性质P.以下函数和不具有性质P的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
10．（2025·浙江二模）如图，矩形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且，连结AE，与DC的交于点F，点G是EF的中点，连结BD，BF，BG，DE.则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·浙江二模）化简：-x2+2x2= .
12．（2025·浙江二模）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为 .
13．（2025·浙江二模）已知关于x的一元二次方程x2-ax+6a=0有两个不同的解，其中一个解是x=2a，则该方程的另一个解是 .
14．（2025·浙江二模）如图，在□ABCD中，点E是CD的中点，△CEF的面积为2，则∠ABE的面积为 .
15．（2025·浙江二模）已知点A（m，6m）是反比例函数y=图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则k= .
16．（2025·浙江二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，3），点A是x轴正半轴上一动点，点P在第一象限，，，点C的坐标为（a，3）（）.
（1）若，则 ，
（2）连接OP，则OP的最大值为 .
17．（2025·浙江二模）计算：.
18．（2025·浙江二模）解方程组：
19．（2025·浙江二模）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测，根据检测结果，制成下面不完整的统计图表.
被抽样的学生视力情况频数表
组别 视力段 频数
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求m的值和组别A的圆心角度数.
（2）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？
20．（2025·浙江二模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗.如图，已有的遮阳棚AB=130cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=40cm，遮阳棚的固定高度AD=240cm，sin∠BAD=.
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°（光线EC与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行，（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°=）
21．（2025·浙江二模）尺规作图问题：
如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，以A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B，点C，连结OB，BC.
（1）求∠AOB的度数；
（2）求证：AO垂直平分BC.
22．（2025·浙江二模）甲货车从A地前往B地，到达B地后停止，在甲货车出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，（甲货车的速度小于乙货车的速度），两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示.
（1）A，B两地相距多少千米；
（2）乙货车到达A地时，甲车离B地还有多少千米；
（3）经过多久两车相距200km.
23．（2025·浙江二模）已知二次函数y=x2-tx-3.
（1）若二次函数经过（1，0），求二次函数的解析式；
（2）当-1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值；
（3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围.
24．（2025·浙江二模）在⊙O中，AB为直径，点C，点D是⊙O上两点，分别位于AB的异侧，连结CD交AB与点E.
（1）如图1，连结BC，若∠ACD=3∠BAD，求∠BCD的度数；
（2）若点C是的中点，
①如图2，点E在BO上，若，求的值；
②若，直接写出的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：实数2，0， ， 中，为负数的是 ，
故答案为：C．
【分析】负数就是在正数的前面添上“-”号的数，据此可得答案。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项 所表示的图形符合题意，
故答案为： ．
【分析】根据主视图就是从正面看物体所得到的平面图形，观察已知几何体可得答案。
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、两符号相同，不能用平方差公式分解，故A不符合题意；
B、虽然符号相反，但缺少平方项，∴不能用平方差公式分解，故B不符合题意；
C、a2-b2=(a+b)(a-b)，故C符合题意；
D、两符号相同，不能用平方差公式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，据此逐一分析即可.
5．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是白球的有4种结果，
∴是白球的概率是，
故答案为：D.
【分析】根据概率公式即可求解.
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，7，x，6，6，这组数据的平均数是5，
∴x=5×5-4-7-6-6=2，
∴这一组数从小到大排列为：2，4，6，6，7
∴这组数据的中位数是6.
故答案为：D.
【分析】利用平均数求出未知数x的值，然后将数据从小到大排列，找到中位数.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
故答案为：A.
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°
∵E是AC的中点，
∴，
∵BC=DE，
∴，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：CB=AD：CD=2
∵CD=2，
∴AD=4.
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，判定△ACD∽△CBD，推出AC：CB=AD：CD=2，即可求出AD的长.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由y1=x+1得，
点(a，a+1)在此函数的图象上
将x=a+1代入2=x-1得，
y2=a+1-1=a，
所以点(a+1，a)在函数y2的图象上，
则函数y1和y2具有性质P，故A选项不符合题意，
由y1=-2x+1得，
点(a，-2a+1)在此函数图象上，
将x=-2a+1代入得，
，
所以点(-2a+1，a)在函数y2的图象上，
则函数y1和y2具有性质P.
故B选项不符合题意.
由y1=2x-2得，
点(a，2a -2)在此函数图象上
将x=2a-2代入得，
，
所以点(2a-2，a)在函数y2的图象上
则函数y1和y2具有性质P.
故C选项不符合题意；
由y1=-x+1得，
点(a，-a+1)在此函数图象上
将x=-a+1代入y2=-x-1得，
y2=-(-a+1)-1=a-2≠a，
所以点(-a+1，a)不在函数y2的图象上，
则函数y1和y2不具有性质P，
故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据所给定义，对选项依次进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点E作ET⊥AD交AD的延长线于点T，连接BT，GT，GD，过点G作GK⊥CE于点K，交DT干点J.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=CD
∵BE=CD，
∴AB=BE，
∵ET⊥AT，
∴∠ATE=90°，
∴四边形ABET是矩形
∵BA=BE，
∴四边形ABET是正方形，
∴EB=ET，∠BEG=∠TEG=45°，
∵EG=EG，
∴△EBG≌△ETG(SAS)，
∴GB=GT，
∵GK⊥CE，
∴GK//FC
∵GE=GF
∴CK=EK
∵CD//KJ//TE
∴DJ=JT，
∵KJ⊥DT，
∴DG=GT=GB，
∴点G是△BDT的外接圆的圆心，
∴∠DGE=2∠ATB=90°，
∴△DBG是等腰直角三角形：
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】过点E作ET⊥AD交AD的延长线于点T，连接BT，GTGD，过点G作GK⊥CE于点K，交DT于点J.证明△DBG是等腰直角三角形可得结论.
11．【答案】x2
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：-x2+2x2=x2，
故答案为：x2.
【分析】根据合并同类项法则即可求解.
12．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为80°，半径为8，
∴此扇形的弧长为：，
故答案为：.
【分析】根据弧长的公式进行计算即可.
13．【答案】x=3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2-ax+6a=0有两个不同的解，
设另一个解是x2，
∴
∵x=2a，
∴x2=3，
故答案为：x=3.
【分析】根据根与系数的关系进行计算即可.
14．【答案】12
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴，
∵△CEF的面积为2，
∴S△ABF=8，S△AEF=4，
∴△ABE的面积=S△ABF+S△AEF=12，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，AB//CD，，则△CEF∽△ABF，根据相似三角形的性质求出，，进而求出S△ABF=8，S△AEF=4，再根据△ABE的面积=S△ABF+S△AEF即可得解.
15．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(m，6m)，
∴将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到点为(m+2，6m-4)，
依题意得：k=m·6m=(m+2)(6m-4)，
解得：m=1，
∴k=1×6=6，
故答案为：6.
【分析】根据平移的特性写出平移后的点A的坐标为(m+2，6m-4)，由点(m，6m)和点(m+2，6m-4)均在反比例函数图象上，即可得出k=m·6m=(m+2)(6m-4)，解得即可.
16．【答案】（1）4
（2）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：(1)由题意得：BC//x轴，，S△ABC=S△ABP=6，
∴，
∴a=4；
故答案为：4.
(2)结合(1)可知：若S△ABP=S△ABC=6.
则PC//AB，
∴点P是直线PB与直线PC的交点，
∵BP⊥AB，
∴BP⊥CP，即∠BPC=90°；
∵BC=4是定值，
∴点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，
如图所示：此时OP有最大值；
∵M是BC的中点，
∴M(2，3)，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)由题意得：BC//x轴，推出即可求解；
(2)结合(1)可推出PC//AB，点P是直线PB与直线PO的交点；进一步推出点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，此时OP有最大值.
17．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先化简平方根，再计算三角函数值，最后合并同类项即可求解.
18．【答案】解：
①×3+②得：10x=-5
解得：
将代入①得：
解得：y=4
∴方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可.
19．【答案】（1）解：本次抽查的人数为：115÷23%=500，m=500×61.6%=308，
组别A的圆心角度数是：360°×25÷500=18°；
（2）解：25000×140÷500=7000（人)
建议：比如同学们应少玩电子产品，注意用眼保护（建议答案不唯一，合理即可）
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【分析】(1)根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；根据m的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；
(2)根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可.
20．【答案】（1）解：如图，过点B作BK⊥AD于点K，
、
∵AB=130cm，
∴，
∴BK=120，
即的B点到墙面AD的距离为120cm.
（2）解：过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，
由勾股定理得，
(cm)，
∴DK=AD-AK=240-50=190(cm)，
∴BC=DK=190cm，
又∵BC=30cm，
∴CH=190-30=160(cm)，
又∵∠CFH=53°，
∴
∴
∴FH=120，
由(1)知，BK=120cm，
∴DG=BK=120cm，
∴FH=DG，
∴该商铺的落地窗方案可行.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点B作BK⊥AD于点K，根据代入数据求出BK的值即可；
(2)过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，通过，求出FH的长与DG比较大小即可得出结论.
21．【答案】（1）解：如图，连接AB，
∵以A为圆心，AO长为半径作弧，交☉O于点B，点C，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
（2）证明：连接OC、AC，
∵以A为圆心，AO长为半径作弧，交☉O于点B，点C，
∴OB=OC，AB=AC，
∴AO垂直平分BC
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)连接AB，根据等边三角形的判定与性质计算即可；
(2)连接OC、AC，根据线段垂直平分线的性质证明即可.
22．【答案】（1）解：∵当x=0时，y=240，
∴A，B两地相距240千米.
（2）解：甲货车的速度为240÷6=40(km/h)，
240-40×4=80(km).
答：乙货车到达A地时，甲车离B地还有80km.
（3）解：乙货车的速度为240÷4=60(km/h)，
当相遇前，两车相距200km时，得(40+60)x+200=240，
解得x=0.4，
当x=4时，y=40×4=160，
160<200，
当相遇后，两车相距200km时，得160+40(x-4)=200
解得x=5.
答：经过0.4h或5h两车相距200km.
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)观察图象即可；
(2)根据速度=路程÷时间求出甲货车的速度，利用路程=速度×时间，根据甲车离B地的距离=A，B两地的距离-甲车行驶的路程计算即可；
(3)根据速度=路程÷时间求出乙货车的速度，分别计算相遇前、相遇后两车相距200km时对应x的值即可.
23．【答案】（1）解：把(1，0)代入函数解析式得，
1-t-3=0，
∴t=-2
∴函数解析式为y=x2+2x-3.
（2）解：∵二次函数开口向上，
∴当x=-1时，y=(-1)2-t·(-1)-3=t-2，
若t-2=6，解得t=8，
当x=5时，y=52-t·5-3=22-5t，
若22-5t=6，解得
（3）解：二次函数对称轴为，
∵t≤x1≤x2≤t+3
∴
∴t≤-6
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)把(1，0)点的坐标代入函数解析式中求出t即可；
(2)开口向上的抛物线在闭区间上的最大值出现在端点，需分情况讨论端点处的函数值是否等于最大值；
(3)开口向上的抛物线在对称轴左侧递减，右侧递增；需保证t≤x1≤x2≤t+3完全位于对称轴左侧，从而函数在此区间内严格递减.
24．【答案】（1）解：∵，
∴∠BCD=∠BAD
∵AB是☉O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵∠ACD=3∠BAD
∴4∠BCD=90°
∴∠BCD=22.5°
（2）解：①连接BC，BD，
∵，
∴∠DAE=∠BCE
∵∠BEC=∠DEA
∴△BEC∽△DEA，
∴
∵
∴
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴C是的中点，
∴
∴AC=BC，
设BC=5a，
∴，DA=6a，
∴
②连接OC，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴C是的中点，
∴
∴AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COE=90°；
情况一：点E在线段OB上，
连接OD，过D作DH⊥AB于H
∴∠OHD=∠COE =90°
∵∠OEC=∠HED，
∴△OEC∽△HED
∴
设OC=OD=OA=5r，则DH=4r.
在Rt△ODH中，OD2=DH2+OH2，即(5r)2=(4r)2+OH2，
∴OH=3r，
∴AH=OA+OH=8r，
在Rt△ADH中，
，
∴；
情况二：点E在线段OA上，
连接OC，OD，过D作DH⊥AB于H
∴∠OHD=∠COE=90°，
∵∠OEC=∠HED，
∴△OEC∽△HED
∴
设OC=OD=OA=5r，则DH=4r，
在Rt△ODH中，OD2=DH2+OH2，
即(5r)2=(4r)2+OH2，则OH=3r，
∴AH=OA-OH=2r，
在Rt△ADH中，
，
∴
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可知∠BCD=∠BAD，再根据∠ACD=3∠BAD，即可求解；
(2)①连接BC、BD，先证△BEC∽△DEA得出，由点C是中点得AC=BC，设BC的值，用勾股定理求出AB，最后根据三角函数定义求出cos∠BAD的值；
②分点E在线段OB上和OA两种情况，作DH⊥AB，利用△OEC∽△HED得边的比例关系，设OC=5r，通过勾股定理求OH和AD，再根据分别计算两种情况的值.
1 / 1浙江省绍初教育集团2025年5月九年级数学大单元教学效果监测（二模）
1．（2025·浙江二模）实数2，0，-2， 中，为负数的是（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．
【答案】C
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解：实数2，0， ， 中，为负数的是 ，
故答案为：C．
【分析】负数就是在正数的前面添上“-”号的数，据此可得答案。
2．（2025·浙江二模）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1 700 000年误差不超过1秒，数据1 700 000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： ，
故答案为： ．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1。
3．（2025·浙江二模）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项 所表示的图形符合题意，
故答案为： ．
【分析】根据主视图就是从正面看物体所得到的平面图形，观察已知几何体可得答案。
4．（2025·浙江二模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、两符号相同，不能用平方差公式分解，故A不符合题意；
B、虽然符号相反，但缺少平方项，∴不能用平方差公式分解，故B不符合题意；
C、a2-b2=(a+b)(a-b)，故C符合题意；
D、两符号相同，不能用平方差公式分解，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，据此逐一分析即可.
5．（2025·浙江二模）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球.从布袋里任意摸出1个球，是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是白球的有4种结果，
∴是白球的概率是，
故答案为：D.
【分析】根据概率公式即可求解.
6．（2025·浙江二模）某班参加五个兴趣小组的人数分别为4，7，x，6，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，7，x，6，6，这组数据的平均数是5，
∴x=5×5-4-7-6-6=2，
∴这一组数从小到大排列为：2，4，6，6，7
∴这组数据的中位数是6.
故答案为：D.
【分析】利用平均数求出未知数x的值，然后将数据从小到大排列，找到中位数.
7．（2025·浙江二模）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
故答案为：A.
【分析】直接利用“五只雀、六只燕，共重16两、互换其中一只，恰好一样重”，进而分别得出等式求出答案.
8．（2025·浙江二模）如图，在中，，，.点E是AC的中点，连接DE，且，，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°
∵E是AC的中点，
∴，
∵BC=DE，
∴，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴AC：CB=AD：CD=2
∵CD=2，
∴AD=4.
故答案为：A.
【分析】由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，判定△ACD∽△CBD，推出AC：CB=AD：CD=2，即可求出AD的长.
9．（2025·浙江二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在的图象上时，点（b，a）就在的图象上，则称函数和具有性质P.以下函数和不具有性质P的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由y1=x+1得，
点(a，a+1)在此函数的图象上
将x=a+1代入2=x-1得，
y2=a+1-1=a，
所以点(a+1，a)在函数y2的图象上，
则函数y1和y2具有性质P，故A选项不符合题意，
由y1=-2x+1得，
点(a，-2a+1)在此函数图象上，
将x=-2a+1代入得，
，
所以点(-2a+1，a)在函数y2的图象上，
则函数y1和y2具有性质P.
故B选项不符合题意.
由y1=2x-2得，
点(a，2a -2)在此函数图象上
将x=2a-2代入得，
，
所以点(2a-2，a)在函数y2的图象上
则函数y1和y2具有性质P.
故C选项不符合题意；
由y1=-x+1得，
点(a，-a+1)在此函数图象上
将x=-a+1代入y2=-x-1得，
y2=-(-a+1)-1=a-2≠a，
所以点(-a+1，a)不在函数y2的图象上，
则函数y1和y2不具有性质P，
故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据所给定义，对选项依次进行判断即可.
10．（2025·浙江二模）如图，矩形ABCD中，点E是BC延长线上一点，且，连结AE，与DC的交于点F，点G是EF的中点，连结BD，BF，BG，DE.则下列比值为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点E作ET⊥AD交AD的延长线于点T，连接BT，GT，GD，过点G作GK⊥CE于点K，交DT干点J.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=CD
∵BE=CD，
∴AB=BE，
∵ET⊥AT，
∴∠ATE=90°，
∴四边形ABET是矩形
∵BA=BE，
∴四边形ABET是正方形，
∴EB=ET，∠BEG=∠TEG=45°，
∵EG=EG，
∴△EBG≌△ETG(SAS)，
∴GB=GT，
∵GK⊥CE，
∴GK//FC
∵GE=GF
∴CK=EK
∵CD//KJ//TE
∴DJ=JT，
∵KJ⊥DT，
∴DG=GT=GB，
∴点G是△BDT的外接圆的圆心，
∴∠DGE=2∠ATB=90°，
∴△DBG是等腰直角三角形：
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】过点E作ET⊥AD交AD的延长线于点T，连接BT，GTGD，过点G作GK⊥CE于点K，交DT于点J.证明△DBG是等腰直角三角形可得结论.
11．（2025·浙江二模）化简：-x2+2x2= .
【答案】x2
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：-x2+2x2=x2，
故答案为：x2.
【分析】根据合并同类项法则即可求解.
12．（2025·浙江二模）若扇形的圆心角为80°，半径为8，则它的弧长为 .
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的圆心角为80°，半径为8，
∴此扇形的弧长为：，
故答案为：.
【分析】根据弧长的公式进行计算即可.
13．（2025·浙江二模）已知关于x的一元二次方程x2-ax+6a=0有两个不同的解，其中一个解是x=2a，则该方程的另一个解是 .
【答案】x=3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x2-ax+6a=0有两个不同的解，
设另一个解是x2，
∴
∵x=2a，
∴x2=3，
故答案为：x=3.
【分析】根据根与系数的关系进行计算即可.
14．（2025·浙江二模）如图，在□ABCD中，点E是CD的中点，△CEF的面积为2，则∠ABE的面积为 .
【答案】12
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴，
∵△CEF的面积为2，
∴S△ABF=8，S△AEF=4，
∴△ABE的面积=S△ABF+S△AEF=12，
故答案为：12.
【分析】根据平行四边形的性质求出AB=CD，AB//CD，，则△CEF∽△ABF，根据相似三角形的性质求出，，进而求出S△ABF=8，S△AEF=4，再根据△ABE的面积=S△ABF+S△AEF即可得解.
15．（2025·浙江二模）已知点A（m，6m）是反比例函数y=图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则k= .
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A(m，6m)，
∴将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到点为(m+2，6m-4)，
依题意得：k=m·6m=(m+2)(6m-4)，
解得：m=1，
∴k=1×6=6，
故答案为：6.
【分析】根据平移的特性写出平移后的点A的坐标为(m+2，6m-4)，由点(m，6m)和点(m+2，6m-4)均在反比例函数图象上，即可得出k=m·6m=(m+2)(6m-4)，解得即可.
16．（2025·浙江二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，3），点A是x轴正半轴上一动点，点P在第一象限，，，点C的坐标为（a，3）（）.
（1）若，则 ，
（2）连接OP，则OP的最大值为 .
【答案】（1）4
（2）
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；勾股定理；圆-动点问题
【解析】【解答】解：(1)由题意得：BC//x轴，，S△ABC=S△ABP=6，
∴，
∴a=4；
故答案为：4.
(2)结合(1)可知：若S△ABP=S△ABC=6.
则PC//AB，
∴点P是直线PB与直线PC的交点，
∵BP⊥AB，
∴BP⊥CP，即∠BPC=90°；
∵BC=4是定值，
∴点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，
如图所示：此时OP有最大值；
∵M是BC的中点，
∴M(2，3)，
∴，
故答案为：.
【分析】(1)由题意得：BC//x轴，推出即可求解；
(2)结合(1)可推出PC//AB，点P是直线PB与直线PO的交点；进一步推出点P在以BC为直径的圆M上运动，连接OM并延长，与圆M交于点P，此时OP有最大值.
17．（2025·浙江二模）计算：.
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先化简平方根，再计算三角函数值，最后合并同类项即可求解.
18．（2025·浙江二模）解方程组：
【答案】解：
①×3+②得：10x=-5
解得：
将代入①得：
解得：y=4
∴方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可.
19．（2025·浙江二模）某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测，根据检测结果，制成下面不完整的统计图表.
被抽样的学生视力情况频数表
组别 视力段 频数
A 5.1≤x≤5.3 25
B 4.8≤x≤5.0 115
C 4.4≤x≤4.7 m
D 4.0≤x≤4.3 52
（1）求m的值和组别A的圆心角度数.
（2）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？
【答案】（1）解：本次抽查的人数为：115÷23%=500，m=500×61.6%=308，
组别A的圆心角度数是：360°×25÷500=18°；
（2）解：25000×140÷500=7000（人)
建议：比如同学们应少玩电子产品，注意用眼保护（建议答案不唯一，合理即可）
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【分析】(1)根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；根据m的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；
(2)根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可.
20．（2025·浙江二模）某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗.如图，已有的遮阳棚AB=130cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC=40cm，遮阳棚的固定高度AD=240cm，sin∠BAD=.
（1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面AD的距离；
（2）如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是53°（光线EC与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行，（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°=）
【答案】（1）解：如图，过点B作BK⊥AD于点K，
、
∵AB=130cm，
∴，
∴BK=120，
即的B点到墙面AD的距离为120cm.
（2）解：过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，
由勾股定理得，
(cm)，
∴DK=AD-AK=240-50=190(cm)，
∴BC=DK=190cm，
又∵BC=30cm，
∴CH=190-30=160(cm)，
又∵∠CFH=53°，
∴
∴
∴FH=120，
由(1)知，BK=120cm，
∴DG=BK=120cm，
∴FH=DG，
∴该商铺的落地窗方案可行.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点B作BK⊥AD于点K，根据代入数据求出BK的值即可；
(2)过点C作CH⊥DG于点H，设直线CE交DG于点F，通过，求出FH的长与DG比较大小即可得出结论.
21．（2025·浙江二模）尺规作图问题：
如图，在⊙O中，点A为⊙O上一点，以A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B，点C，连结OB，BC.
（1）求∠AOB的度数；
（2）求证：AO垂直平分BC.
【答案】（1）解：如图，连接AB，
∵以A为圆心，AO长为半径作弧，交☉O于点B，点C，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°.
（2）证明：连接OC、AC，
∵以A为圆心，AO长为半径作弧，交☉O于点B，点C，
∴OB=OC，AB=AC，
∴AO垂直平分BC
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)连接AB，根据等边三角形的判定与性质计算即可；
(2)连接OC、AC，根据线段垂直平分线的性质证明即可.
22．（2025·浙江二模）甲货车从A地前往B地，到达B地后停止，在甲货车出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，（甲货车的速度小于乙货车的速度），两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示.
（1）A，B两地相距多少千米；
（2）乙货车到达A地时，甲车离B地还有多少千米；
（3）经过多久两车相距200km.
【答案】（1）解：∵当x=0时，y=240，
∴A，B两地相距240千米.
（2）解：甲货车的速度为240÷6=40(km/h)，
240-40×4=80(km).
答：乙货车到达A地时，甲车离B地还有80km.
（3）解：乙货车的速度为240÷4=60(km/h)，
当相遇前，两车相距200km时，得(40+60)x+200=240，
解得x=0.4，
当x=4时，y=40×4=160，
160<200，
当相遇后，两车相距200km时，得160+40(x-4)=200
解得x=5.
答：经过0.4h或5h两车相距200km.
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)观察图象即可；
(2)根据速度=路程÷时间求出甲货车的速度，利用路程=速度×时间，根据甲车离B地的距离=A，B两地的距离-甲车行驶的路程计算即可；
(3)根据速度=路程÷时间求出乙货车的速度，分别计算相遇前、相遇后两车相距200km时对应x的值即可.
23．（2025·浙江二模）已知二次函数y=x2-tx-3.
（1）若二次函数经过（1，0），求二次函数的解析式；
（2）当-1≤x≤5时，函数有最大值为6，求t的值；
（3）在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求t的取值范围.
【答案】（1）解：把(1，0)代入函数解析式得，
1-t-3=0，
∴t=-2
∴函数解析式为y=x2+2x-3.
（2）解：∵二次函数开口向上，
∴当x=-1时，y=(-1)2-t·(-1)-3=t-2，
若t-2=6，解得t=8，
当x=5时，y=52-t·5-3=22-5t，
若22-5t=6，解得
（3）解：二次函数对称轴为，
∵t≤x1≤x2≤t+3
∴
∴t≤-6
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)把(1，0)点的坐标代入函数解析式中求出t即可；
(2)开口向上的抛物线在闭区间上的最大值出现在端点，需分情况讨论端点处的函数值是否等于最大值；
(3)开口向上的抛物线在对称轴左侧递减，右侧递增；需保证t≤x1≤x2≤t+3完全位于对称轴左侧，从而函数在此区间内严格递减.
24．（2025·浙江二模）在⊙O中，AB为直径，点C，点D是⊙O上两点，分别位于AB的异侧，连结CD交AB与点E.
（1）如图1，连结BC，若∠ACD=3∠BAD，求∠BCD的度数；
（2）若点C是的中点，
①如图2，点E在BO上，若，求的值；
②若，直接写出的值.
【答案】（1）解：∵，
∴∠BCD=∠BAD
∵AB是☉O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵∠ACD=3∠BAD
∴4∠BCD=90°
∴∠BCD=22.5°
（2）解：①连接BC，BD，
∵，
∴∠DAE=∠BCE
∵∠BEC=∠DEA
∴△BEC∽△DEA，
∴
∵
∴
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴C是的中点，
∴
∴AC=BC，
设BC=5a，
∴，DA=6a，
∴
②连接OC，
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴C是的中点，
∴
∴AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠COE=90°；
情况一：点E在线段OB上，
连接OD，过D作DH⊥AB于H
∴∠OHD=∠COE =90°
∵∠OEC=∠HED，
∴△OEC∽△HED
∴
设OC=OD=OA=5r，则DH=4r.
在Rt△ODH中，OD2=DH2+OH2，即(5r)2=(4r)2+OH2，
∴OH=3r，
∴AH=OA+OH=8r，
在Rt△ADH中，
，
∴；
情况二：点E在线段OA上，
连接OC，OD，过D作DH⊥AB于H
∴∠OHD=∠COE=90°，
∵∠OEC=∠HED，
∴△OEC∽△HED
∴
设OC=OD=OA=5r，则DH=4r，
在Rt△ODH中，OD2=DH2+OH2，
即(5r)2=(4r)2+OH2，则OH=3r，
∴AH=OA-OH=2r，
在Rt△ADH中，
，
∴
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理可知∠BCD=∠BAD，再根据∠ACD=3∠BAD，即可求解；
(2)①连接BC、BD，先证△BEC∽△DEA得出，由点C是中点得AC=BC，设BC的值，用勾股定理求出AB，最后根据三角函数定义求出cos∠BAD的值；
②分点E在线段OB上和OA两种情况，作DH⊥AB，利用△OEC∽△HED得边的比例关系，设OC=5r，通过勾股定理求OH和AD，再根据分别计算两种情况的值.
1 / 1
