2024-2025学年北师版七年级（初一）数学下册期末考试模拟卷03（含解析）

2024-2025学年七年级（下）期末数学试卷
【北师大版2024】
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025·山东临沂·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．（3分）（24-25七年级·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
3．（3分）（2025·云南西双版纳·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5、6、11 D．3，5，9
5．（3分）（2025·年山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（24-25七年级·河北邯郸·期中）如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．28
7．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
8．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（ ）．
A．一样大 B．“站在中间”的可能性大
C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定
9．（3分）（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
10．（3分）（24-25七年级·江苏连云港·阶段练习）观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·期中）若将展开的结果中不含有x项，则a值是 ．
12．（3分）（2025·上海松江·二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是 ．
13．（3分）（24-25七年级·广东梅州·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系：
海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温（） 20 14 8 2 …
根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ．
14．（3分）（24-25七年级·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ．
15．（3分）（24-25七年级·吉林四平·阶段练习）如图，在 中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若 则 的度数是 ．
16．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·江苏无锡·期中）（1）若，求的值；
（2）已知，，求的值．
18．（6分）（24-25七年级·宁夏中卫·期中）化简求值
(1)，其中
(2)，其中
19．（8分）（24-25七年级·陕西西安·期中）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票．
(1)求小明摸到球面数字为5的概率；
(2)你认为这种方法公平吗？请说明理由．
20．（8分）（24-25七年级·河南周口·期中）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
21．（10分）（24-25七年级·重庆·期中）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
22．（10分）（24-25七年级·江苏泰州·期中）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
(1)通过计算小正方形面积，可推出，三者的等量关系式为：______；
(2)利用（1）中的结论，当，时，______；
(3)利用（1）中的结论，当时，求的值．
23．（12分）（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
24．（12分）（24-25七年级·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____；
②线段、、之间的关系是_____；
(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
2024-2025学年七年级（下）期末数学试卷
【北师大版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2025·山东临沂·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可．
【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）（24-25七年级·河北邢台·期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则常量是（ ）
A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量
【答案】B
【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量．
根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价常量，数量与金额是变量，
故选：B．
3．（3分）（2025·云南西双版纳·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的运算，幂的乘方，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则逐一运算判断即可．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
4．（3分）（24-25七年级·重庆·期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5、6、11 D．3，5，9
【答案】B
【分析】此题主要考查三角形构成，解题的关键是熟知三角形的三边关系：较小的两边之和大于第三边．
根据三角形的三边关系即可判断．
【详解】解：A．，不能构成三角形；
B．，能构成三角形；
C．，不能构成三角形；
D．，不能构成三角形；
故选：B．
5．（3分）（2025·年山东济南·二模）如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6．（3分）（24-25七年级·河北邯郸·期中）如图，在中，是高，点在线段上．若，，，则的周长为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根据得出，的周长问题可解．
【详解】解：，
，
的周长，
的周长，
故选：C．
7．（3分）（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．平分
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义、几何图形中的角的计算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
由于则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到可判定A选项；利用可得，则，即平分即可判定B选项；利用，可计算出，则可判定C选项；根据，即可判定D选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，即A选项正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，即B选项正确，不符合题意；
，
，
，
∴，即C选项正确，不符合题意；
，而，即，即D选项错误，符合题意．
故选D．
8．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（ ）．
A．一样大 B．“站在中间”的可能性大
C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了可能性大小的判断，要求小亮“站在中间”与小亮“站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：3个人站成一排，小亮站在哪个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为，“小亮站在两端”的可能性有，这两个事件发生的可能性不相等，
∵
∴“站在两端”的可能性大，
故选：C．
9．（3分）（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解．
【详解】解：∵的两条中线，相交于点，
∴点O是的重心，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故选：B．
10．（3分）（24-25七年级·江苏连云港·阶段练习）观察下列几个算式： ③； ④， ．．．．．．，结合你观察到的规律判断 的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字规律、整式的混合运算等知识点，找出计算规律是解题的关键．
根据已知的几个算式发现规律，然后运用规律解答即可．
【详解】解：；
②；
③；
④， ．．．
则．
故选B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·期中）若将展开的结果中不含有x项，则a值是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，按照多项式乘多项式法则展开，再根据展开的结果中不含有x项即可得出，进而可得出a的值．
【详解】解：
，
，
∵展开的结果中不含有x项，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．（3分）（2025·上海松江·二模）一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯4秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据题意找到事件中的部分和整体，利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：，
故答案为：．
13．（3分）（24-25七年级·广东梅州·期末）在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系：
海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 …
气温（） 20 14 8 2 …
根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ．
【答案】
【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案．
【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降，
海拔高度时，气温
当海拔高度时，气温
故答案为：．
14．（3分）（24-25七年级·山西吕梁·期末）在中，，于点D，E在上，，，则 ．
【答案】10
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，过点作，交于点，可证得，得，由，得，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
故答案为：10．
15．（3分）（24-25七年级·吉林四平·阶段练习）如图，在 中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若 则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了邻补角的定义、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，首先根据邻补角的定义可以求出，根据角平分线的定义可证，根据可证，根据全等三角形的性质可求，根据角的和与差可以求出．
【详解】解：，
，
平分，
，
在和中，
，
，
．
故答案为： ．
16．（3分）（24-25七年级·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过 秒时木棒a、b平行．
【答案】或或或
【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，此时停止运动，
，解得：；
④当时，此时停止运动，
，解得：，
综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行，
故答案为：或或或．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25七年级·江苏无锡·期中）（1）若，求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键．
（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，，再解方程即可；
（2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值．
【详解】解：（1），
∴，
，
．
（2），，
．
18．（6分）（24-25七年级·宁夏中卫·期中）化简求值
(1)，其中
(2)，其中
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确根据整式的相关计算法则化简原式是解题的关键．
（1）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案；
（2）先根据乘法公式去中括号内的小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：
，
当时，原式．
19．（8分）（24-25七年级·陕西西安·期中）2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票．
(1)求小明摸到球面数字为5的概率；
(2)你认为这种方法公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)这种方法不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同，
∴小明摸到球面数字为5的概率为；
（2）解：这种方法不公平，理由如下：
由题意得，小颖得到电影票的概率为，
小明得到电影票的概率为，
∵，
∴这种方法不公平．
20．（8分）（24-25七年级·河南周口·期中）在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点O在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，请你通过所学习的相关知识说明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键．
（1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答；
（2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答；
【详解】（1）解：由图1可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即；
（2）解：由图2知：
∵平分，
∴，
设，所以，
∵，
∴，
∴，
∵且，
∴；
21．（10分）（24-25七年级·重庆·期中）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）先证明，，再利用证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（10分）（24-25七年级·江苏泰州·期中）小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
(1)通过计算小正方形面积，可推出，三者的等量关系式为：______；
(2)利用（1）中的结论，当，时，______；
(3)利用（1）中的结论，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)20
(3)504
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键：
（1）根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，列出等式即可；
（2）直接利用（1）中结论进行求解即可；
（3）利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：小正方形的边长为：，大正方形的边长为，
∴小正方形的面积为；
（2）由（1）可知：
∵，，
∴；
（3）∵令，，则：，
∴，
∴，
∴．
23．（12分）（24-25七年级·湖北武汉·期中）如图，已知，直线交，于，．
(1)如图1，点在直线与直线之间，证明：；
(2)如图2，点在直线上，位于点右侧，点在直线上，且在直线上方，点在直线与直线之间，，，若，求．
(3)如图3，，点在直线上（在点左侧），点在直线与直线之间，与的角平分线交于点，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点作，进而得出，则，即可得证；
（2）过点作，设，，根据平行线的性质可得，，根据可得，由（1）可得，根据已知即可得出，进而即可求解；
（3）根据平行线的性质可得，，设，根据角平分线的定义可得，分三种情况讨论，结合（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：如图所示，过点作，
设，
∵
∴
设
∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
由（1）可得
∵
∴
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
设
∵与的角平分线交于点，
设
如图所示，
∵
由（1）可得，
∴
；
如图所示，
由（1）可得，
∴
如图所示，
由（1）可得，
∴
综上所述，或或
24．（12分）（24-25七年级·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题：如图①，当点在边上时，
①请写出和之间的数量关系_____，位置关系_____；
②线段、、之间的关系是_____；
(2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：如图③，当点在边的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
【答案】(1)①；②
(2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析
(3)6
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
（1）①根据条件，判定，即可得出和之间的关系；
②由①得，根据全等三角形的性质，即可得到；
（2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到；
（3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，即可求得线段的长．
【详解】（1）解：①如图1，∵，
∴，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
即；
故答案为：；
②由①可得，，
，
，
故答案为：；
（2）解：不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，当点在边的延长线上时，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
．