22　第四章　第4节　万有引力与宇宙航行 课件 《高考快车道》2026版高三物理一轮总复习（全国通用版）

(共92张PPT)
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
第4节　万有引力与宇宙航行
[学习目标]　1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。
2．掌握计算天体质量和密度的方法。
3．掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。
4．理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
链接教材·夯基固本
1．开普勒三定律
(1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是____，太阳处在椭圆的一个____上。
(2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等。
(3)周期定律：所有行星轨道的______的三次方与它的________的二次方的比值都相等。
椭圆
焦点
面积
半长轴
公转周期
2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成____，与它们之间距离r的二次方成____。
(2)表达式：F＝________，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
正比
反比
G
(3)适用条件：①公式适用于____间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是______间的距离。
质点
两球心
3．宇宙速度
(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝____ km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的____环绕速度，也是人造地球卫星的____发射速度。
(2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度。
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度。
7.9
最大
最小
地球
太阳
1．易错易混辨析
(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (　　)
(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G 计算物体间的万有引力。 (　　)
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　　)
√
×
×
(4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。 (　　)
(5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (　　)
√
√
2．(粤教版必修第二册习题改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　)
A．2F B．4F
C．8F D．16F
√
D　[由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确。]
3．(人教版必修第二册习题改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的第一宇宙速度约为(　　)
A．2 km/s B．4 km/s
C．16 km/s D．32 km/s
√
C　[设地球质量为M，则该行星质量为6M，地球半径为R，则该行星半径为1.5R，由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得G＝，解得v＝，分别代入地球和某行星的各物理量得v地球＝，v行星＝＝2＝2v地球＝16 km/s，故C正确。]
细研考点·突破题型
考点1　开普勒行星运动定律
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位
置的速度之比与到太阳的距离成反比，则
近日点的速度最大，远日点的速度最小。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
[典例1]　(2024·山东卷)鹊桥二号中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A．
C．
√
D　[鹊桥二号中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，则有＝＝，D正确。]
[典例2]　如图所示是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是(　　)
A．夏至时地球的运行速度最大
B．从冬至到春分的运行时间为公转周
期的
C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则＝k，地球和火星对应的k值是不同的
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
√
D　[根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心的连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝r·vΔt，可知地球在近日点离太阳最近，地球在近日点的运行速度最大，地球在远日点离太阳最远，地球在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，故A错误；根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，
故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，故B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，故C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。]
考点2　万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。
3．万有引力的两个推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。
(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。
角度1　万有引力与重力的关系
[典例3]　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[设赤道处的重力加速度大小为g，物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小，即G＝mg＋mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度为ω＝故选B。]
角度2　星体表面上的重力加速度
[典例4]　近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破 7 000 m 大关，我国的北斗导航系统也组网完成。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，“蛟龙号”所处位置的重力加速度为g1＝πGρ(R－d)，联立可得＝，卫星在高度h处受到的重力，即为在该处受到的万有引力，即mg2＝，解得g2＝＝g，所以＝，故C正确。]
角度3　天体质量和密度的估算
[典例5]　已知在地球表面上，赤道处的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为(　　)
A．· ·
C．· ·
√
D　[设地球半径为R，物体在两极处有＝mg2，物体在赤道处有＝mg1＋mω2R，联立解得M＝，R＝，则地球的密度为ρ＝＝，代入地球半径R＝，解得ρ＝·，故A、B、C错误，D正确。]
[典例6]　(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　)
A．k3 B．k3
C．
√
D　[设太阳、地球、月球的半径分别为R太、R地、R月，月球绕地球转动的半径为r月，地球绕太阳转动的半径为r地，根据题意，由几何关系，有＝，根据万有引力提供向心力，有＝m月
r月，＝M地r地，星球的密度ρ地＝，ρ太＝，可得＝＝，故D正确，A、B、C错误。]
规律方法　估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由G ＝mg，得天体质量M＝。
②天体密度ρ＝＝＝。
(2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由G ＝mr，得M＝。
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
考点3　宇宙速度及人造卫星运行参数的分析与计算
1．第一宇宙速度的理解
(1)推导
方法一：由G＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。
(2)理解：第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．静止卫星的特点：六个“一定”
轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面
周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h
角速度一定 与地球自转的角速度相同
高度一定 h＝－R≈6R(恒量)
速率一定 运行速率v＝
绕行方向一定 与地球自转的方向一致
[典例7]　(2025·八省联考云南卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体(　　)
A．运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
B．运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
C．运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期
D．运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期
√
C　[根据G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，组合体的轨道半径大于近地轨道半径，可知组合体的运行速度小于7.9 km/s；组合体轨道半径小于同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期，故选C。]
[典例8]　(多选)(2024·天津红桥一模)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mBA．运行线速度大小关系为vA>vB＝vC
B．运行角速度大小关系为ωA>ωB＝ωC
C．向心力大小关系为FA＝FBD．轨道半径与运行周期关系为＝＝
√
√
√
ABD　[根据万有引力提供向心力有F＝G＝m＝mω2r，所以F＝G，v＝，ω＝，所以vA>vB＝vC，ωA>ωB＝ωC，FA>FB，FB[典例9]　(2024·广西贵港一模)2024年2月23日，长征五号遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，被誉为龙年首发。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是(　　)
A．地球同步卫星可以静止在北京上空
B．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的
C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的
D．若忽略地球的自转效应，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的
√
B　[地球同步卫星不可能静止在北京上空，故A错误；根据万有引力提供向心力G ＝m，可得v＝，则＝＝，故B正确；同步卫星与地球赤道上物体的角速度相同，根据v＝ωr，则＝＝n，故C错误；根据万有引力与重力的关系G＝mg，根据牛顿第二定律G ＝ma，可得a＝g，故D错误。]
[典例10]　有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．a的向心加速度大于b的向心加速度
B．四颗卫星的线速度大小关系是va＞vb＞vc＞vd
C．在相同时间内d转过的弧长最长
D．d的运动周期可能是30 h
√
D　[由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c，b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G ＝man，得an＝，可知b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，可知a的线速度大小小于c，即va＜vc，b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G
＝m， 得v＝，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误；因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得T＝2π，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。]
规律方法　卫星运行参量分析问题的解题技巧
(1)天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式，G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf )2r。
(3)比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。
即时检验·感悟高考
1．(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　)
A．质量
B．向心力大小
C．向心加速度大小
D．受到地球的万有引力大小
√
C　[该人造卫星的质量不能确定，A错误；该卫星和月球环绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由F＝G可知，该卫星、月球受到地球的万有引力大小不确定，所以二者的向心力大小也不能确定，B、D错误；由牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝G，因为该卫星与月球的轨道半径相等，所以二者向心加速度大小相等，C正确。]
2．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A．0.001倍 B．0.1倍
C．10倍 D．1 000倍
√
B　[由G＝mr可得M＝，故＝＝ ≈ 0.1，B正确。]
3．(多选)(2024·河北卷)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8
×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说
法正确的是(　　)
A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为 81∶1
C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于
11.2 km/s
√
√
BD　[鹊桥二号从C经B到D过程与月心连线扫过的面积大于鹊桥二号从D经A到C过程与月心连线扫过的面积，由开普勒第二定律可知，鹊桥二号从C经B到D的运动时间t1大于鹊桥二号从D经A到C的运动时间t2，又t1＋t2＝T，故t1＞＝12 h，A错误；鹊桥二号运动过程中，由牛顿第二定律有G＝ma，则鹊桥二号在A、B两点的加速度大
小之比＝≈，B正确；由速度方向为轨迹切线方向，结合几何关系可知，鹊桥二号在C、D两点的速度方向不垂直于其与月心的连线，C错误；由于鹊桥二号的轨道为环月椭圆轨道，则鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)，又其没有完全脱离地球的束缚，所以其发射速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)且小于第二宇宙速度(11.2 km/s)，D正确。]
4．(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　)
A．周期为2t1－t0
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
√
B　[由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得半径为r＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝·＝·，故D错误。]
课时数智作业(十一)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是(　　)
A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小
D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
12
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，D错误。]
12
2．(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为零
B．若将样品放置在月球正面，它对月球表面压力等于零
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
D　[在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为零，A错误；若将样品放置在月球正面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为零，故它对月球表面的压力不为零，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(2025·八省联考陕西卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站在2024年10月顺利实现第五次“太空会师”，飞船太空舱与空间站对接成为整体，对接后的空间站整体仍在原轨道稳定运行，则对接后的空间站整体相对于对接前的空间站(　　)
A．所受地球的万有引力变大
B．在轨飞行速度变大
C．在轨飞行周期变大
D．在轨飞行加速度变大
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
A　[对接后，空间站的质量变大，轨道半径不变，根据万有引力表达式F＝G可知，空间站所受地球的万有引力变大，故A正确；根据万有引力提供向心力G＝ma＝m＝mr，可得a＝，v＝，T＝2π，轨道半径不变，则在轨飞行速度不变，在轨飞行周期不变，在轨飞行加速度不变，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
B　[冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，整理得T2＝≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号在近月点从捕获轨道到冻结轨道进行近月制动，在捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，在捕获轨道近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
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9
10
11
12
5．(2025·八省联考河南卷)水星是太阳系中距离太阳最近的行星，其平均质量密度与地球的平均质量密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的，则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的线速度大小之比约为(　　)
A．64∶9 B．8∶3
C．3∶8 D．9∶64
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
√
C　[由万有引力提供向心力G＝m，解得v＝＝＝，所以＝＝＝，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
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6．(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，嫦娥六号探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于嫦娥四号和嫦娥五号，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
题号
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A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
题号
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√
√
BD　[地球第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知G＝m，结合mg＝G得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有G＝mR，又GM＝gR2，得T＝，可得＝·＝，选项C错误，D正确。]
题号
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7．(多选)如图所示，赤道面内的同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度大小为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是(　　)
A．＝ ＝
C．＝ ＝
题号
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√
√
AD　[根据万有引力提供向心力，有G＝，G＝，故＝；对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同点是角速度相等，有a1＝ω2r，a2＝ω2R，故＝，故选AD。]
题号
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8．(多选)已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期基本相同。地球表面重力加速度是g，若某人在地球表面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下列说法正确的是(　　)
题号
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A．该人以相同的初速度在火星上起跳时，可跳起的最大高度是
B．火星表面的重力加速度是g
C．火星的平均密度是地球平均密度的
D．该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的
题号
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√
√
√
ABC　[根据万有引力定律得F＝G，知＝＝×22＝，该人在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的，故D错误；根据G＝mg，可得＝＝×22＝，则火星表面的重力加速度为g，故B正确；根据ρ＝∝，可得＝
题号
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＝×23＝，故C正确；因为火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，根据h＝知该人以相同的初速度在火星上跳起的最大高度是在地球上跳起的最大高度的，为h，故A正确。]
题号
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9．(2024·辽宁卷)如图(a)所示，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
A．2n B．
C．
题号
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√
C　[在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得＝，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则＝＝，C正确。]
题号
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10．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)我国某手机实现了手机卫星通信，只要有卫星信号覆盖的地方，就可以实现通话。如图所示，三颗赤道上空的通信卫星就能实现环赤道全球通信，已知三颗卫星的离地高度均为h，地球的半径为R，地球同步
卫星的离地高度为6R，地球表面重力加
速度为g，引力常量为G，下列说法正确
的是(　　)
题号
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A．三颗通信卫星受到地球的万有引力大小相等
B．三颗通信卫星的线速度大小为
C．通信卫星和地球自转周期之比为
D．能实现全球通信时，卫星离地面高度至少为2R
题号
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√
B　[通信卫星受到地球的万有引力大小为F＝G，因三颗通信卫星的质量未知，故三颗通信卫星受到地球的万有引力大小不一定相等，A错误；对通信卫星，由万有引力提供向心力，有G ＝m，在地球表面有G＝m′g，联立解得三颗通信卫星的线速度大小为v＝，B正确；由万有引力提供向心力，有G ＝mr，
题号
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故通信卫星和地球自转周期之比为＝，C错误；三颗通信卫星若要全面覆盖，由几何关系有sin 30°＝，解得h＝R，所以通信卫星离地高度至少为R，D错误。]
题号
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11．一航天员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做了如下实验：用不可伸长的轻绳连接一质量为m的小球，上端固定于O点，如图甲所示。在最低点给小球一初速度，使其绕O点在竖直面内做圆周运动，测得轻绳拉力F的大小随时间t的变化规律如图乙所示，F1＝7F2，设R、m、引力常量G和F2均为已知量，忽略
各种阻力。下列说法正确的是(　　)
题号
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A．该星球表面的重力加速度为
B．该星球的密度为
C．该星球的第一宇宙速度为
D．卫星绕该星球运行的最小周期为2π
题号
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√
D　[由题知小球在最低点时轻绳的拉力为F1，此时设速度为v1，绳长为L，则F1－mg＝，由题知小球在最高点时轻绳的拉力为F2，设此时速度为v2，则F2＋mg＝，由机械能守恒定律得＝，联立解得g＝，因为F1＝7F2，所以该星球表面的重力加速度为g＝，A错误；根据万有引力提供向心
题号
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力，得＝m1，卫星绕该星球的第一宇宙速度为v＝，在星球表面，万有引力近似等于重力，＝m2g，解得M＝＝，星球的密度ρ＝＝＝，卫星绕该星球的第一宇宙速度为v＝＝，B、C错误；卫星绕该星球运行的最小周期由m3g＝m3R，解得T＝2π， D正确。]
题号
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12．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是F0。
(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(结果保留两位有效数字)；
(2)若在赤道地面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
题号
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[解析]　(1)在北极地面称量时，物体受到的重力等于地球的引力，则G＝F0
在北极上空高出地面h处称量时，有
G＝F1
则＝
当h＝1.0%R时，≈0.98。
题号
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(2)在赤道地面称量时，考虑地球的自转，地球的引力提供重力(大小等于弹簧测力计示数)与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧测力计的作用力，有G－F2＝mR
得＝1－＝1－。
题号
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[答案]　(1)＝　0.98　(2)＝1－
谢 谢 ！