湖南省长沙市雷锋学校2024-2025学年高一下学期7月期末数学试卷（含答案）

高一期末数学试卷
一、单选题
1．命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知命题：，，则为（　　）.
A．， B．，
C．，或 D．，或
4．如图是函数的部分图象，则在上的值域为（　　）
A． B． C． D．
5．已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是(　　)
A． B． C． D．
6．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（　　）
A． B． C． D．
8．已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD，BC的中点.过EF的平面与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（　　）
A．截面多边形不可能是平行四边形
B．截面多边形的周长是定值
C．截面多边形的周长的最小值是
D．截面多边形的面积的取值范围是
二、多选题
9．已知 为第一象限角．则（　　）
A． 为第三象限角 B． 为第二象限角
C． D．
10．对于函数，下列判断正确的是（　　）
A．
B．当时，方程总有实数解
C．函数的值域为
D．函数的单调递增区间为
11．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（　　）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
三、填空题
12．半径为，圆心角为的弧长为　 　.
13．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则　 　．
14．若将函数的图像向左平移个单位长度后关于y轴对称，则实数的最小值为　 　．
四、解答题
15．已知全集，集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
16．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ， .
（1）求 和 的值；
（2）已知点M为BC的中点，求AM的长度.
17．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集：
①；
②，若，则；
③，若，则．
（1）当时，判断是否为U的子集，说明理由；
（2）当时，若A为U的子集，求证：；
（3）当时，若A为U的子集，求集合A．
18．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的单调增区间；
（3）若，求的值.
19．如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段所确定的函数的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】D
【解析】由图象知函数的周期，即，即，
由五点对应法得，得，则，
因为，所以，所以.
故答案为：D
5．【答案】B
【解析】解：
以中点为原点，建立直角坐标系，如上图所示，
则，，，设；
则，，；
则，
所以，当，时，取到最小值为.
故答案为：B.
6．【答案】A
7．【答案】B
【解析】解：如图，过作于，
由题意可知，在直三棱柱中，到平面的距离为，
即，又，
所以该柱体体积为.
故答案为：B.
8．【答案】D
【解析】解：对于A选项：当平面过EF且与直线AC平行时（即过AB，CD的中点G，H），截面多边形是平行四边形，故A选项错误；对于B选项： 正四面体ABCD的 棱长为2 ，所以，当平面过BD的中点时，截面多边形的周长最小，最小值为，故B，C选错误；对于D选项：根据C选项知当面过BD的中点时，截面多边形的面积最小，最小值为，当截面过点B，C时，截面多边形为，面积最大，最大值为，所以 截面多边形 的面积的取值范围为.
故答案为：D.
9．【答案】A,C
【解析】对A，若 为第一象限角，则 为第三象限角，A符合题意；
对B，若 为第一象限角，则 为第四象限角，B不符合题意；
对C，若 为第一象限角，则 ，则 ，C符合题意；
对D，若 为第一象限角， ，由于 和 的大小不确定，故无法判断 ，D不符合题意.
故答案为：AC.
10．【答案】A,C
【解析】对于，因为，故
所以，所以A符合题意；
对于B，当时，，，，无解，所以B不符合题意；
当时，，其中由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，所以，
又由A选项可知为奇函数，
故当时，，所以函数的值域为，C符合题意；
∵，
在上不可能单调递增，所以D不符合题意.
故答案为：AC．
11．【答案】A,D
【解析】新数据的平均数，故两组数据平均数相同，A符合题意；
若为偶数且两组数据1到n或(n+1)依次从小到大排序后，则原数据中位数，而新数据中位数为，不一定相等，B不符合题意；
原数据方差，而新数据方差，故标准差不一定相同，C不符合题意；
由必大于原数据中的最小值，而小于最大值，所以两组数据的极差相等，D符合题意.
故答案为：AD
12．【答案】
【解析】解：由题意可得，
设弧长为，则.
故答案为：.
13．【答案】3
14．【答案】2
【解析】依题意得，，
所以，，得，，，故的最小值为2。
故答案为：2。
15．【答案】（1）.
（2）.
16．【答案】（1）解：由 ， ，得 ，
∴ ，
由正弦定理 ，可得 .
∴ ， .
（2）解：在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 或 ，
当 时，由 得 为等腰三角形，又 ，
得 为等腰直角三角形，矛盾.
∴ .
在 中，由余弦定理 ，
∴ .
17．【答案】（1）解：当时，，，，
取，则，但，不满足性质②，
所以不是U的子集.
（2）解：当时，A为U的子集，
则；
假设，设，即
取，则，但，不满足性质②，
所以，；
假设，
取，，且，则，
再取，，则，
再取，，且，
但与性质①矛盾，
所以.
（3）解：由（2）得，当时，若A为U的子集，，，，
所以当时，，
若A为U的子集，，，；
若，取，，则，，
再取，，则，与矛盾，
则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
若，取，，则，与矛盾，则，；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
取，，则；
取，，则，；
综上所述，集合.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
19．【答案】（1）；
（2）.