思维进阶课一 运动图像和追及相遇问题
[学习目标] 1．掌握图像的意义，会利用其截距、斜率、面积等，确定物体运动情况，解决物体运动问题。
2．掌握运动学图像间的相互转化。
3．熟练运用运动学公式及运动学图像解决追及相遇的综合问题。
运动学中的两种典型图像
1．x-t图像与v-t图像的比较
x-t图像 v-t图像
图像
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别之处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移，斜率表示加速度
运动情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2．x-t图像与v-t图像的说明
(1)x-t图像与v-t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
x-t图像
[典例1] (多选)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它相对于出发点的位移，如图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的x-t图像。下列分析正确的是( )
A．汽车离出发点最远的距离为30 m
B．汽车在10～20 s内匀速运动
C．汽车在40 s末回到出发点
D．汽车在20～40 s内加速度为1.5 m/s2
[听课记录]
错误；汽车在20～40 s内做匀速直线运动，加速度a＝0，故D错误。]
v-t图像
[典例2] (2024·广东佛山一模)跳板跳水是我国的奥运强项，从运动员离开跳板开始计时，其v-t图像如图所示，图中仅0～t2段为直线，不计空气阻力，则由图可知( )
A．0～t1段运动员做加速运动
B．0～t2段运动员的加速度保持不变
C．t3时刻运动员刚好接触到水面
D．t3～t4段运动员的加速度逐渐增大
[听课记录]
运动图像间的转换
[典例3] 某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是( )
A B
C D
[听课记录]
“三步”巧解运动学图像问题
运动学中的非常规图像
1．匀变速直线运动的四类非常规图像
(1)a-t图像：由v＝v0＋at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
(2)-t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵截距为v0，如图乙所示。
(3)v2-x图像：由＝2ax可知v2＝＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为，如图丙所示。
(4)a-x图像：由＝2ax可知ax＝，图像与x轴所围面积表示速度平方的变化量的一半，如图丁所示。
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图像：图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合会提高选择题图像类题型的解题准确率和解题速度。
a-t图像的应用
[典例4] (多选)(2023·湖北卷)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是( )
A．t＝2t0时，P回到原点
B．t＝2t0时，P的运动速度最小
C．t＝t0时，P到原点的距离最远
D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
[听课记录]
-t与v2-x图像的应用
[典例5] (2025·山东济南高三阶段检测)一个物体在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，从静止开始计时的-t图像如图甲所示，v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是( )
A．x＝1 m时物体的速度为8 m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y＝8 m/s
D．t＝1 s时物体的速度为4 m/s
[听课记录]
a-x图像的应用
[典例6] 某型无人驾驶的智能汽车，为了增加乘员乘坐舒适性，程序设定汽车制动时汽车加速度大小随位移均匀变化。某次测试汽车 “a-x” 关系图像如图所示，汽车制动距离为 12 m。 则关于该次测试，下列说法中正确的是( )
A．汽车做匀减速直线运动
B．汽车开始制动时的速度大小为12 m/s
C．汽车开始制动时的速度大小为6 m/s
D．汽车制动时间为 s
[听课记录]
追及相遇问题
1．掌握“一个条件”和“两个关系”
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．把握“两种情境”
物体A追物体B，开始二者相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。
3．应用“三种方法”
(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如，速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上，则在两物体速度相等时有最小距离。
(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出两物体之间的距离关于t的方程Δx＝f(t)，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
(3)图像法：①若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图线相交，则说明两物体相遇。②若用速度—时间图像求解，则注意比较速度—时间图线与时间轴包围的面积。
图像中的追及相遇问题
[典例7] (多选)(2024·广西河池一模)甲、乙两辆车初始时相距1 200 m，甲车在后、乙车在前，乙车在8 s时刻开始运动，它们在同一直线上做匀变速直线运动，速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．乙车的加速度大小为0.42 m/s2
B．两辆车在t＝36 s时速度相等
C．两辆车可能相撞
D．甲车停下时，乙车在甲车前面391 m处
[听课记录]
[典例8] (多选)如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速 54 km/h。 当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是( )
A．A车运动的加速度大小为1 m/s2
B．t＝3.5 s时，两车的速度相同
C．A车追上B车的最短时间为7.2 s
D．两车相遇两次
[听课记录]
与生活情境结合的追及相遇问题
[典例9] (一题多法)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件。
思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。
[听课记录]
思维进阶课一 运动图像和追及相遇问题
[学习目标] 1．掌握图像的意义，会利用其截距、斜率、面积等，确定物体运动情况，解决物体运动问题。
2．掌握运动学图像间的相互转化。
3．熟练运用运动学公式及运动学图像解决追及相遇的综合问题。
运动学中的两种典型图像
1．x-t图像与v-t图像的比较
x-t图像 v-t图像
图像
意义 倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动
特别之处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移，斜率表示加速度
运动情况 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移 0～t1时间内甲、乙位移相等 0～t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均速度 0～t1时间内甲、乙平均速度相等 0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2．x-t图像与v-t图像的说明
(1)x-t图像与v-t图像都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹。
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系。
(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点。
x-t图像
[典例1] (多选)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它相对于出发点的位移，如图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的x-t图像。下列分析正确的是( )
A．汽车离出发点最远的距离为30 m
B．汽车在10～20 s内匀速运动
C．汽车在40 s末回到出发点
D．汽车在20～40 s内加速度为1.5 m/s2
AC [汽车在0～10 s内匀速驶离出发点，10～20 s内静止，20～40 s内匀速驶回出发点，离出发点最远的距离为30 m，40 s末回到出发点，故A、C正确，B错误；汽车在20～40 s内做匀速直线运动，加速度a＝0，故D错误。]
v-t图像
[典例2] (2024·广东佛山一模)跳板跳水是我国的奥运强项，从运动员离开跳板开始计时，其v-t图像如图所示，图中仅0～t2段为直线，不计空气阻力，则由图可知( )
A．0～t1段运动员做加速运动
B．0～t2段运动员的加速度保持不变
C．t3时刻运动员刚好接触到水面
D．t3～t4段运动员的加速度逐渐增大
B [由题图可知，0～t1段运动员向上做匀减速运动，选项A错误；根据v-t图像斜率表示加速度结合题意可知，0～t2段运动员的加速度保持不变，选项B正确；由题意可知0～t2段运动员的加速度为重力加速度，t2时刻运动员刚好接触水面，t3时刻运动员速度达到最大，运动员受到合力为零，故C错误；根据v-t图像斜率表示加速度可知，t3～t4段运动员的加速度先增大后减小，故D错误。]
运动图像间的转换
[典例3] 某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术，汽车的位置x与时间t的关系如图所示，则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是( )
A B
C D
A [x-t图像斜率的物理意义是速度，在0～t1时间内，x-t图像斜率增大，汽车的速度增大；在t1～t2时间内，x-t图像斜率不变，汽车的速度不变；在t2～t3时间内，x-t图像的斜率减小，汽车做减速运动，综上所述可知A中v-t图像可能正确，故选A。]
“三步”巧解运动学图像问题
运动学中的非常规图像
1．匀变速直线运动的四类非常规图像
(1)a-t图像：由v＝v0＋at可知图像与时间轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示。
(2)-t图像：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图像的斜率为a，纵截距为v0，如图乙所示。
(3)v2-x图像：由＝2ax可知v2＝＋2ax，图像斜率为2a，纵截距为，如图丙所示。
(4)a-x图像：由＝2ax可知ax＝，图像与x轴所围面积表示速度平方的变化量的一半，如图丁所示。
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图像：图像反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的意义。
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合会提高选择题图像类题型的解题准确率和解题速度。
a-t图像的应用
[典例4] (多选)(2023·湖北卷)t＝0时刻，质点P从原点由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化，周期为2t0。在0～3t0时间内，下列说法正确的是( )
A．t＝2t0时，P回到原点
B．t＝2t0时，P的运动速度最小
C．t＝t0时，P到原点的距离最远
D．t＝t0时，P的运动速度与t＝t0时相同
BD [质点在0～t0时间内从静止出发先做加速度增大的加速运动再做加速度减小的加速运动，此过程一直向前加速运动，t0～2t0时间内加速度和速度反向，先做加速度增大的减速运动再做加速度减小的减速运动，2t0时刻速度减速到零，此过程一直向前做减速运动，2t0～4t0时间重复此过程的运动，即质点一直向前运动，A、C错误，B正确；a-t图像的面积表示速度变化量，～t0内速度的变化量为零，因此时刻的速度与t0时刻的速度相同，D正确。]
-t与v2-x图像的应用
[典例5] (2025·山东济南高三阶段检测)一个物体在光滑的水平面上受到水平恒力F的作用，从静止开始做匀加速直线运动，从静止开始计时的-t图像如图甲所示，v2-x图像如图乙所示，据图像的特点与信息分析，下列说法正确的是( )
A．x＝1 m时物体的速度为8 m/s
B．图乙的斜率是图甲的斜率的2倍
C．图甲中的y＝8 m/s
D．t＝1 s时物体的速度为4 m/s
D [当x＝1 m，由题图乙可知v2＝8 m2/s2，解得v＝2 m/s，故A错误；由初速度为0的匀加速直线运动规律可得x＝at2，则有＝t，可得题图甲的斜率为k甲＝＝，由v2＝2ax可知，题图乙的斜率为k乙＝2a＝8 m/s2，解得a＝4 m/s2，则k乙＝4k甲，题图甲中的y＝4 m/s，故B、C错误；t＝1 s时物体的速度为v′＝at＝4 m/s，故D正确。故选D。]
a-x图像的应用
[典例6] 某型无人驾驶的智能汽车，为了增加乘员乘坐舒适性，程序设定汽车制动时汽车加速度大小随位移均匀变化。某次测试汽车 “a-x” 关系图像如图所示，汽车制动距离为 12 m。 则关于该次测试，下列说法中正确的是( )
A．汽车做匀减速直线运动
B．汽车开始制动时的速度大小为12 m/s
C．汽车开始制动时的速度大小为6 m/s
D．汽车制动时间为 s
C [汽车制动过程，由题图可知其加速度a随位移x均匀增大，故汽车做加速度逐渐增大的减速运动，故A错误；根据匀变速运动的速度位移公式＝2ax，可知a-x图线与x轴所围图形的面积表示速度平方变化量的一半，则汽车制动中，有＝2××(－6)×12 (m2/s2)，可得汽车开始制动时的速度大小为v0＝6 m/s，故B错误，C正确；刹车过程中最大加速度为6 m/s2，如果一直以最大加速度刹车，所用的时间为t′＝＝ s，实际加速度是逐渐增大的，所以汽车制动时间一定大于 s，故D错误。]
追及相遇问题
1．掌握“一个条件”和“两个关系”
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．把握“两种情境”
物体A追物体B，开始二者相距x0，则：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)两物体恰不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。
3．应用“三种方法”
(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如，速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上，则在两物体速度相等时有最小距离。
(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出两物体之间的距离关于t的方程Δx＝f(t)，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
(3)图像法：①若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图线相交，则说明两物体相遇。②若用速度—时间图像求解，则注意比较速度—时间图线与时间轴包围的面积。
图像中的追及相遇问题
[典例7] (多选)(2024·广西河池一模)甲、乙两辆车初始时相距1 200 m，甲车在后、乙车在前，乙车在8 s时刻开始运动，它们在同一直线上做匀变速直线运动，速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．乙车的加速度大小为0.42 m/s2
B．两辆车在t＝36 s时速度相等
C．两辆车可能相撞
D．甲车停下时，乙车在甲车前面391 m处
BD [乙车的加速度为a2＝＝ m/s2＝0.5 m/s2, 故A错误；甲车加速度a1＝＝＝－1 m/s2，两车速度相等时，有v1＋a1t＝a2(t－8 s)，可得t＝36 s，故B正确；两车速度相等时，距离最小，此时甲车的位移为x甲＝＝1 152 m，乙车的位移为x乙＝a2(t－8 s)2＝196 m，两车之间的最小距离为xmin＝x乙＋x0－x甲＝244 m，则两车不相撞，故C错误；甲车停下时，位移为x1＝t0＝1 250 m，此时乙车的位移为x2＝2＝441 m，则两车之间距离为Δx＝x2＋x0－x1＝391 m，故D正确。]
[典例8] (多选)如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速 54 km/h。 当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是( )
A．A车运动的加速度大小为1 m/s2
B．t＝3.5 s时，两车的速度相同
C．A车追上B车的最短时间为7.2 s
D．两车相遇两次
BC [由匀变速直线运动规律可知x＝v0t＋at2，由题图乙可知当t＝2 s时x＝10 m，当t＝5 s时x＝40 m，解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误；由题图乙可知B车匀速运动的速度vB＝ m/s＝10 m/s, 由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at，当vA＝vB时，解得t＝3.5 s，故B正确；A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短，由vmax＝v0＋at0，可知A车的加速时间t0＝6 s，A车追上B车时满足vBt＝＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C正确，D错误。]
与生活情境结合的追及相遇问题
[典例9] (一题多法)在水平轨道上有两列火车A和B相距s，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为0、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件。
思路点拨：要使两车恰好不相撞，A车追上B车时其速度只能与B车相等。设A、B两车从相距s到A车追上B车时，A车的位移为sA、末速度为vA、所用时间为t，B车的位移为sB、末速度为vB，两者的运动过程如图所示。
[解析] 解法一 临界法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有sA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝at2，vB＝at
对两车有s＝sA－sB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
解法二 函数法
利用判别式求解，由法一可知sA＝s＋sB
即v0t＋×(－2a)×t2＝s＋at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式(－2v0)2－4×3a×2s<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
解法三 图像法
利用速度—时间图像求解，先作A、B两车的速度—时间图像，其图像如图所示
设经过t′时间两车刚好不相撞，则对A车有
vA＝v′＝v0－2at′
对B车有vB＝v′＝at′
以上两式联立解得t′＝
经t′时间两车发生的位移大小之差，即原来两车间的距离s，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知s＝v0·t′＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
[答案] v0<
思维进阶特训(一)
1．(2024·新课标卷)一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B C D
C [任何时刻质点的速度与位移都是唯一的，C可能正确，A、B、D错误。]
2．(2024·安徽合肥三模)A、B两个质点在同一地点沿同一方向运动，运动的位移x随时间t变化的规律如图所示，A的图像为抛物线，B的图像为倾斜直线，两图像相切于P点，则0～3 s内，A、B两质点的最大距离为( )
A．4.5 m B．6 m
C．9 m D．13.5 m
A [由题图可知，A做的是初速度为零的匀加速直线运动，B做的是匀速直线运动，t＝3 s时A、B的速度大小相等，为v＝ m/s＝12 m/s，A的加速度a＝＝4 m/s2，由于t＝3 s前，A的速度总比B的速度小，因此t＝1.5 s时，A、B间的距离最大，即最大距离xm＝×4×1.52 m＝4.5 m，故选A。]
3．(2024·河北卷)篮球比赛前，常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程，并得出了篮球运动的v -t图像，如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
A [由题意可知题图中v<0表示篮球在向下运动，v>0表示篮球在向上运动，由v -t图像与直线v＝0所围图形的面积表示位移大小可知，v＝0上方的图像面积S上减去v＝0下方的图像面积S下的值越大，对应的篮球位置越高，结合题图可知a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是a点，A正确。]
4．(2024·贵州黔东南三模)两辆可视为质点的小汽车a、b从同一地点出发，它们的v-t图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．b车启动时，a车在其前方2 m处
B．b车启动后经过3 s追上a车
C．在b车追上a车之前，3 s时两车相距最远
D．b车追上a车后，两车可能会再次相遇
C [由题图可知，t＝2 s时b车启动，v-t图像与时间轴围成的面积代表位移，可知在b车启动时，a车在其前方的距离超过2 m，A选项错误；b车做匀加速直线运动的加速度大小为a＝＝2 m/s2，假设b车启动后3 s时间追上a车，计算得xb＝8 m，由题图知xa>8 m，则假设不成立，B选项错误；b车追上a车前，两者速度相等时相距最远，即t＝3 s，C选项正确；b车超越a车后，b车的速度一直大于a车，则两车不可能相遇，D选项错误。]
5．一位医生需坐车去外地，当他赶到汽车站时，车已经沿平直公路驶离车站，听到呼喊后汽车马上以 的加速度匀减速刹车，设医生同时以4 m/s的速度匀速追赶汽车。已知汽车开始刹车时速度为8 m/s，减速前距离医生12 m，则医生追上汽车所需的时间为( )
A．6 s B．7 s
C．8 s D．9 s
B [假设汽车速度减为0后医生追上汽车，汽车速度减为0的时间为t1＝＝ s＝4 s，汽车速度减为0的位移为x＝＝ m＝16 m，医生追上汽车的位移x′＝x0＋x＝(12＋16) m＝28 m，医生追上汽车的时间t＝＝ s＝7 s>t1，故假设成立，所以医生追上汽车所需的时间为7 s，故B正确，A、C、D错误。]
6．滑雪运动是冬季奥运会主要的比赛项目。如图所示，水平滑道上运动员A、B间距x0＝10 m。运动员A以速度v0＝5 m/s向前匀速运动。同时运动员B以初速度v1＝8 m/s向前匀减速运动，加速度大小a＝2 m/s2，运动员A在运动员B继续运动x1后追上运动员B，则x1的大小为( )
A．4 m B．10 m
C．16 m D．20 m
C [运动员B做匀减速直线运动，速度减为零的时间为tB＝＝4 s，此时运动员A的位移为xA＝v0tB＝20 m，运动员B的位移为xB＝tB＝16 m，因为xA7．(多选)两辆汽车A、B在相邻车道以不同的速度匀速行驶，前方十字路口红灯，两车开始刹车时并排行驶，如图甲所示，车头到前方停车线的距离均为 20 m, 最终两车头均恰好到达停车线前。以两车并排行驶时车头所在处为位移0点并开始计时，以汽车运动方向为正方向建立x轴，汽车A的x-t图像如图乙所示，是开口向下的抛物线的一部分，汽车B的v-t图像为如图丙所示的直线，下列说法正确的是( )
A．两汽车同时到达停车线前
B．汽车A的初速度大小为8 m/s
C．汽车B的加速度大小为1 m/s2
D．两车头沿运动方向的最大距离为 m
BD [B车做的是匀减速运动，则x＝tB＝20 m，解得tB＝8 s，而A车到达停车线只花了5 s，故A错误；因为汽车A的x-t图像如图乙所示，是开口向下的抛物线的一部分，则汽车A做匀减速直线运动，则汽车A的初速度大小为vA＝2＝＝8 m/s，B正确；汽车B的加速度大小为a＝＝ m/s2＝0.625 m/s2，C错误；两车速度相等时，两车头沿运动方向的距离最大，汽车A的加速度大小为＝1.6 m/s则8－1.6t＝5－0.625t，解得t＝ s，此时两车速度相等，为v＝ m/s，两车头沿运动方向的最大距离为Δx＝t－t＝ m，D正确。]
8．(2024·河北保定一模)一物体做匀加速直线运动，从计时开始的t-1-xt-2函数关系图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．物体的初速度为1 m/s
B．物体的加速度为2 m/s2
C．前3 s内物体的位移为10.5 m
D．第3 s内物体的平均速度为5 m/s
C [根据x＝v0t＋at2得＝×－，结合图像可知＝ s·m-1，－＝－0.25 s-1，物体的初速度和加速度分别为v0＝2 m/s，a＝1 m/s2，A、B错误；前3 s内物体的位移为x＝v0t＋at2＝ m＝10.5 m，C正确；前2 s内物体的位移为x′＝＝ m/s＝4.5 m/s, D错误。]
9．一物体做直线运动的v-t图像如图所示，则下列根据v-t图像作出的加速度—时间(a-t)图像和位移—时间(x-t)图像正确的是( )
A B
C D
A [由题图知，在0～1 s内，物体做匀速直线运动，加速度a1＝0，位移x＝vt，x与t成正比；在1～3 s内，物体的加速度不变，做匀变速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，位移为x＝v1(t－1 s)＋a2(t－1 s)2＝ m，可知x-t图像是开口向下的抛物线；3～5 s内，物体沿负方向做匀减速直线运动，加速度a3＝0.5 m/s2，位移为x＝－v3(t－3 s)＋a3(t－3 s)2，x-t图像是开口向上的抛物线，且 3～5 s内物体的位移为－1 m。综上所述，A正确。]
10．(多选)(2024·福建龙岩一模)如图所示为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
A．甲图中，物体在0～t0时间内的位移大于v0t0
B．乙图中，物体的加速度为1 m/s2
C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的末速度
D．丁图中，t＝1 s时物体的速度为5 m/s
AD [根据v-t图像中，图线与横轴围成的面积表示位移，由题图甲可知，物体在这段时间内的位移x>，故A正确；根据运动学公式2ax＝可得v2＝，可知v2-x图像中图线的斜率为2a，由题图乙可得，物体的加速度为0.5 m/s2，故B错误；根据a-t图像中图线与横轴所围面积表示速度的变化量可知，题图丙中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的速度变化量，故C错误；根据运动学公式x＝v0t＋at2，可得＝v0＋at，结合题图丁可得v0＝－5 m/s，a＝10 m/s2，由运动学公式v＝v0＋at，可得t＝1 s时物体的速度为v＝5 m/s, 故D正确。]
11．(2024·广东华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车时为计时起点(t＝0)，A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
[解析] (1)在t1＝1 s时，A车刚启动，则在第1 s内两车间缩短的距离为B车的位移，可得x1＝vBt1
解得B车的速度大小为vB＝12 m/s
v-t图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝，其中t2＝5 s
解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2。
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应题图乙中v-t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则x＝vB(t1＋t2)
代入数据解得x＝36 m
因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为x0>36 m。
[答案] (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x0>36 m
16 / 16思维进阶特训(一) 运动图像和追及相遇问题
1．(2024·新课标卷)一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，可能正确的是( )
A B C D
2．(2024·安徽合肥三模)A、B两个质点在同一地点沿同一方向运动，运动的位移x随时间t变化的规律如图所示，A的图像为抛物线，B的图像为倾斜直线，两图像相切于P点，则0～3 s内，A、B两质点的最大距离为( )
A．4.5 m B．6 m
C．9 m D．13.5 m
3．(2024·河北卷)篮球比赛前，常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程，并得出了篮球运动的v -t图像，如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
4．(2024·贵州黔东南三模)两辆可视为质点的小汽车a、b从同一地点出发，它们的v-t图像如图所示。下列说法正确的是( )
A．b车启动时，a车在其前方2 m处
B．b车启动后经过3 s追上a车
C．在b车追上a车之前，3 s时两车相距最远
D．b车追上a车后，两车可能会再次相遇
5．一位医生需坐车去外地，当他赶到汽车站时，车已经沿平直公路驶离车站，听到呼喊后汽车马上以 的加速度匀减速刹车，设医生同时以4 m/s的速度匀速追赶汽车。已知汽车开始刹车时速度为8 m/s，减速前距离医生12 m，则医生追上汽车所需的时间为( )
A．6 s B．7 s
C．8 s D．9 s
6．滑雪运动是冬季奥运会主要的比赛项目。如图所示，水平滑道上运动员A、B间距x0＝10 m。运动员A以速度v0＝5 m/s向前匀速运动。同时运动员B以初速度v1＝8 m/s向前匀减速运动，加速度大小a＝2 m/s2，运动员A在运动员B继续运动x1后追上运动员B，则x1的大小为( )
A．4 m B．10 m
C．16 m D．20 m
7．(多选)两辆汽车A、B在相邻车道以不同的速度匀速行驶，前方十字路口红灯，两车开始刹车时并排行驶，如图甲所示，车头到前方停车线的距离均为 20 m, 最终两车头均恰好到达停车线前。以两车并排行驶时车头所在处为位移0点并开始计时，以汽车运动方向为正方向建立x轴，汽车A的x-t图像如图乙所示，是开口向下的抛物线的一部分，汽车B的v-t图像为如图丙所示的直线，下列说法正确的是( )
A．两汽车同时到达停车线前
B．汽车A的初速度大小为8 m/s
C．汽车B的加速度大小为1 m/s2
D．两车头沿运动方向的最大距离为 m
8．(2024·河北保定一模)一物体做匀加速直线运动，从计时开始的t-1-xt-2函数关系图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．物体的初速度为1 m/s
B．物体的加速度为2 m/s2
C．前3 s内物体的位移为10.5 m
D．第3 s内物体的平均速度为5 m/s
9．一物体做直线运动的v-t图像如图所示，则下列根据v-t图像作出的加速度—时间(a-t)图像和位移—时间(x-t)图像正确的是( )
A B
C D
10．(多选)(2024·福建龙岩一模)如图所示为物体做直线运动的图像，下列说法正确的是( )
A．甲图中，物体在0～t0时间内的位移大于v0t0
B．乙图中，物体的加速度为1 m/s2
C．丙图中，阴影面积表示t1～t2时间内物体的末速度
D．丁图中，t＝1 s时物体的速度为5 m/s
11．(2024·广东华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车时为计时起点(t＝0)，A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m。
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x0应满足什么条件？
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