1.1.2 空间向量的数量积运算 课时作业（含解析） 2025-2026学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算
1.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则( )
A.1 B.-1 C. D.
2.已知，为相互垂直的单位向量，且，，，则实数k的值为( )
A.-6 B.6 C.3 D.-3
3.在正方体中，等于( )
A. B. C. D.
4.已知空间向量a，b，c满足，，且，则a与b的夹角大小为( )
A. B. C. D.
5.已知正四面体ABCD的棱长为2，点E为AB的中点，点F为BC的中点，则( )
A. B.1 C. D.2
6.已知空间向量a，b，，，且与a垂直，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方，得两堑堵.堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.在堑堵中，，点P为的中点，则( )
A.6 B. C.2 D.
8.如图所示，在空间四边形OABC中，，且，则的值为( )
A. B.0 C. D.
9.（多选）已知a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有( )
A. B.
C. D.
10.（多选）以下命题为真命题的是( )
A.是a，b不共线的充要条件
B.
C.向量a在向量b上投影的数量为
D.在四面体ABCD中，，，则
11.在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量的模是__________.
12.在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
13.如图，在棱长为2的正方体中，F是的中点，则______________.
14.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且，，，G为的重心，则__________.
15.球O为正四面体ABCD的内切球，，线段MN是球O的直径，点P在正四面体ABCD的表面上运动，则的最小值为__________，最大值为__________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，
所以．
故选A．
2.答案：B
解析：由题意知.由得，即，，.故选B.
3.答案：D
解析：如图，连接，，易得，是的补角.，，.故选D.
4.答案：C
解析：由题意知，则，所以.又，可得，即.故选C.
5.答案：A
解析：如图，因为E为AB的中点，F为BC的中点，所以，.
因为正四面体ABCD的棱长为2，所以.故选A.
6.答案：D
解析：与a垂直，，，.
，.
7.答案：A
解析：根据堑堵的几何性质知，，，，如图.
因为，，所以
.故选A.
8.答案：B
解析：在空间四边形OABC中，，，，
，.故选B.
9.答案：AD
解析：由数量积的性质和运算律可知AD是正确的.
10.答案：CD
解析：A是假命题，若，，显然命题不成立；B是假命题，三个运算结果均为向量，但它们不一定相等；易知C是真命题；D是真命题，.故选CD.
11.答案：
解析：在棱长为1的正方体中，向量与向量的夹角为，所以，即向量在向量上的投影向量的模是.
12.答案：
解析：如图，设，则.由正三棱柱可得且.又，，所以，.
13.答案：6
解析：棱长为2的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
.
故选：
14.答案：
解析：如图，连接AG并延长与BC相交于点D.点G是底面的重心，.，
.
15.答案：0；
解析：由线段MN是球O的直径，得，则.如图，设球O的半径为r，为的外接圆圆心，连接，，.由题意可知，正四面体ABCD的高，所以，解得.因为点P在正四面体ABCD的表面上运动，所以的最大值为，最小值为.又，所以的最小值为0，最大值为.