1.3.2基本不等式 同步练习（含解析）——高一数学北师大版（2019）必修第一册同步课时作业

1.3.2基本不等式
1.已知，则的最小值为( )
A.16 B.18 C.8 D.20
2.已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是( )
A. B. C.2 D.3
3.已知x，y都为正数，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.若正数a，b满足，则的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.9
5.已知（，），则的最小值为( )
A. B. C.20 D.4
6.若，则的最小值是( ).
A.2 B.a C. D.3
7.已知，则的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.若正实数x，y，满足，则xy的最小值是( )
A.1 B.3 C.9 D.18
9.（多选）已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
10.（多选）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值 B.有最大值
C.有最小值2 D.有最大值
11.若，则，的最大值为___________________.
12.若正数x，y满足，则的最大值为_______________.
13.已知，，且，则的最小值为________.
14.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.
（1）仓库顶部面积S（平方米）的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么铁栅应设计为多长？
15.目前电动汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元，
（1）求出y关于x的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，所以，又因为，所以（当且仅当，即时，等号成立），故选B.
2.答案：B
解析：因为．所以，，．
当时，，，当且仅当，时等号成立，
当时，，，当且仅当，时等号成立．
故的取值范围为，只有不在此范围内．
故选：B．
3.答案：B
解析：x，y都为正数，，
由基本不等式得，
当且仅当，即，时，等号成立，
故答案为：
4.答案：D
解析：由题意得：，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故选：D.
5.答案：D
解析：因为（，），所以，
当且仅当即，时，等号成立，故的最小值为4.故选D.
6.答案：D
解析：解：令，则，当且仅当时取等号.
7.答案：C
解析：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，即的最小值是5.
故选：C.
8.答案：C
解析：正实数x，y，满足，
变形可得，
由x，y是正实数可得，解得.
所以
当且仅当时，
即时取等号，
所以xy的最小值为9.
故选：C.
9.答案：AD
解析：因为，，.所以，，
即，得（当且仅当，时，等号成立），故A正确;
当，时，满足，此时，故B错误;
（当且仅当，时，等号成立），故C错误;
由得，
所以
（当且仅当，时，等号成立），故D正确.
故选：AD.
10.答案：AB
解析：本题考查利用基本不等式求解代数式的最值.对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，故，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以有最小值4，故C错误；对于D，，即，当且仅当时取等号，所以有最小值，故D错误.故选AB.
11.答案：
解析：因为，所以，
故，当且仅当，
即时取等号，所以的最大值为.
故答案为：.
12.答案：
解析：因为正数x，y满足，所以，即，
则，
当且仅当且，即时取等号，
此时取得最小值9，则的最大值为.
故答案为：.
13.答案：或2.25
解析：因为，，且，
所以
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.
故答案为:.
14.答案：（1）100
（2）15米
解析：（1）设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积平方米.
由题意，知，
由基本不等式，得（当且仅当时取“=”），
所以，即，
解得.
由题意知，故，从而.
故仓库顶部面积S（平方米）的最大允许值是100.
（2）S取得最大值100的条件是，且100，
解得，即铁栅应设计为15米长.
15.答案：（1）
（2）20万元
解析：（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元，
所以二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为，
可设.
又营运三年时总利润为20万元，
所以，解得，
则.
（2）由（1）得年平均总利润为，
当且仅当，即时取“=”.
所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.