1.3.2基本不等式
1.已知,则的最小值为( )
A.16 B.18 C.8 D.20
2.已知实数a,b满足,则下列数中不可能是的值的是( )
A. B. C.2 D.3
3.已知x,y都为正数,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.若正数a,b满足,则的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.9
5.已知(,),则的最小值为( )
A. B. C.20 D.4
6.若,则的最小值是( ).
A.2 B.a C. D.3
7.已知,则的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.若正实数x,y,满足,则xy的最小值是( )
A.1 B.3 C.9 D.18
9.(多选)已知,,且,则( )
A. B.
C. D.
10.(多选)若正实数a,b满足,则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值 B.有最大值
C.有最小值2 D.有最大值
11.若,则,的最大值为___________________.
12.若正数x,y满足,则的最大值为_______________.
13.已知,,且,则的最小值为________.
14.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体形状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.
(1)仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是多少?
(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么铁栅应设计为多长?
15.目前电动汽车越来越普及,对充电桩的需求量也越来越大,某商场计划在地下停车库安装公共充电桩,以满足顾客的需求.据市场分析,公共充电桩的历年总利润y(单位:万元)与营运年数x(x是正整数)成一元二次函数关系,营运三年时总利润为20万元,营运六年时总利润最大,最大为110万元,
(1)求出y关于x的函数关系式;
(2)求营运的年平均总利润的最大值(注:年平均总利润=历年总利润÷营运年数).
答案以及解析
1.答案:B
解析:因为,所以,又因为,所以(当且仅当,即时,等号成立),故选B.
2.答案:B
解析:因为.所以,,.
当时,,,当且仅当,时等号成立,
当时,,,当且仅当,时等号成立.
故的取值范围为,只有不在此范围内.
故选:B.
3.答案:B
解析:x,y都为正数,,
由基本不等式得,
当且仅当,即,时,等号成立,
故答案为:
4.答案:D
解析:由题意得:,当且仅当时等号成立,
所以的最大值为9.
故选:D.
5.答案:D
解析:因为(,),所以,
当且仅当即,时,等号成立,故的最小值为4.故选D.
6.答案:D
解析:解:令,则,当且仅当时取等号.
7.答案:C
解析:,
因为,所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
则,即的最小值是5.
故选:C.
8.答案:C
解析:正实数x,y,满足,
变形可得,
由x,y是正实数可得,解得.
所以
当且仅当时,
即时取等号,
所以xy的最小值为9.
故选:C.
9.答案:AD
解析:因为,,.所以,,
即,得(当且仅当,时,等号成立),故A正确;
当,时,满足,此时,故B错误;
(当且仅当,时,等号成立),故C错误;
由得,
所以
(当且仅当,时,等号成立),故D正确.
故选:AD.
10.答案:AB
解析:本题考查利用基本不等式求解代数式的最值.对于A,,当且仅当时取等号,故A正确;对于B,,故,当且仅当时取等号,故B正确;对于C,,当且仅当时取等号,所以有最小值4,故C错误;对于D,,即,当且仅当时取等号,所以有最小值,故D错误.故选AB.
11.答案:
解析:因为,所以,
故,当且仅当,
即时取等号,所以的最大值为.
故答案为:.
12.答案:
解析:因为正数x,y满足,所以,即,
则,
当且仅当且,即时取等号,
此时取得最小值9,则的最大值为.
故答案为:.
13.答案:或2.25
解析:因为,,且,
所以
当且仅当,即,时取等号,所以的最小值为.
故答案为:.
14.答案:(1)100
(2)15米
解析:(1)设铁栅长为x米,一侧砖墙长为y米,则顶部面积平方米.
由题意,知,
由基本不等式,得(当且仅当时取“=”),
所以,即,
解得.
由题意知,故,从而.
故仓库顶部面积S(平方米)的最大允许值是100.
(2)S取得最大值100的条件是,且100,
解得,即铁栅应设计为15米长.
15.答案:(1)
(2)20万元
解析:(1)因为营运六年时总利润最大,最大为110万元,
所以二次函数的图象开口向下,且顶点坐标为,
可设.
又营运三年时总利润为20万元,
所以,解得,
则.
(2)由(1)得年平均总利润为,
当且仅当,即时取“=”.
所以营运的年平均总利润的最大值为20万元.