浙江省温州市第二中学2025年6月初中毕业升学考试第三次模拟检测数学试题卷
1．（2025·温州三模）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：．
【分析】根据乘积为1的两个数互为到时解题即可．
2．（2025·温州三模）根据温州市统计局发布的《2024年温州市人口主要数据公报》，鹿城区常住人口总量达985.2万人，则985.2万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：985.2×10=9.852×
故答案为：B.
【分析】
根据科学记数法，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
3．（2025·温州三模）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：A、此图形为左视图，A选项不符合题意；
B、此图不是本图的三视图，B选项不符合题意；
C、此图为俯视图，C选项不符合题意；
D、此图为主视图，D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】
根据立体图形的三视图，分别为主视图（从正面看），俯视图（从上往下看），左视图（从左面看）可知.
4．（2025·温州三模）下列各式运算中结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A选项正确；
B、，B选项错误；
C、，C选项错误；
D、，D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘法，底数不变，指数相加，A选项正确，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，B选项错误，根据幂的除法，底数不变，指数相减，C选项错误，根据同类项之和，同类项不变，系数相加，D选项错误.
5．（2025·温州三模）某班组织一场AI知识竞赛，其中参赛的6名同学得分分别为：72，75，80，78，82，76，则这组数据的中位数是（ ）
A．76 B．77 C．78 D．80
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵ 72，75，76 ，78，80，82，
∴中位数为：，
故答案为：B.
【分析】
根据中位数的可知，奇数的中位数为最中间，偶数的中位数为最中间两个数的平均数.
6．（2025·温州三模）不等式组的所有整数解之和是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式组
解得：①，
②x<6，
∴3≤x<6，
∴x=3，4，5
∴3+4+5=12
故答案为：A.
【分析】
解不等式组，分别求出不等式x的值，在求出不等式组的解集.
7．（2025·温州三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似，且.若四边形ABCD的面积为3，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． B．6 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似 ，
∴，
∵，
∴；
故答案为：C.
【分析】
根据图形为位似图形，面积比等于相似比是平方即可求得.
8．（2025·温州三模）中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有大马x匹，小马y匹， 根据 大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦 ，列方程得：
故答案为：D.
【分析】
根据 ：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦 ，设有大马x匹，小马y匹，找到等量关系求解.
9．（2025·温州三模）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，BC上的动点，连结DF，EF，点M，N分别为DF，EF的中点，则MN的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过点D作DG⊥AB于点G，
∵M、N分别为DF、EF的中点，
∴MN是△DEF的中位线，
∴，
∴当DE最小时，MN最小，
此时点E与点G重合，即MN的最小值为的长，
∵四边形ABCD是菱形：
∴AD=AB=4，
∴∠DAG=90°-∠A=30°
∴，
∴，
∴MN的最小值为，
故答案为：A.
【分析】连接DE，过点D作DG⊥AB于点G，证明MN是△DEF的中位线，得，当DE最小时MN最小，此时点E与点G重合，即MN的最小值为的长，再由菱形的性质得AD=AB=4，进而由直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出，即可得出结论.
10．（2025·温州三模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连结四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，
标记A、B、C、D如图②所示，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，
设AB=CD=x，
∴
∴S2=4S△ACD=2x2，
∵S1=S2，S1+S2=m2
∴4x2=m2，
∴m=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2
∴x2+(x+n)2=m2，
∴x2+(x+n)2=4x2，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设AB=CD=x，则可以用x表示出S2，又由于S1=S2，S1+S2=m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可.
11．（2025·温州三模）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．（2025·温州三模）若分式的值为0，则x的值为 .
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∵
∴x-1=0；
∴x=1；
故答案为：1.
【分析】
根据已知条件，分式的值为零，要满足分母x-2≠0，x-1=0求解.
13．（2025·温州三模）一枚质地均匀的骰子每个面上分别标着数字1，2，3，4，5，6.任意抛掷这枚骰子一次，朝上一面出现的数是奇数的概率是 .
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：一枚质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，其中奇数为1，3，5，
则抛掷该骰子一次，朝上一面的数字是奇数的概率等于，
故答案为：.
【分析】
根据概率公式：概率=所求情况数：总情况数可得.
14．（2025·温州三模）用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 .
【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵由题意知，半圆形纸片的半径为6，
∴圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于半圆的周长，
2π×6÷2=6π，
∵圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，
圆锥的底面半径可以通过底面周长除以2π得到，
∴6π÷2π=3
故答案为：3.
【分析】
根据圆锥的综合计算：圆锥的底面圆周长=侧面展开扇形的弧长=2πr，其中r为圆锥的底面半径.
15．（2025·温州三模）如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转80°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长DE恰好经过点A，则∠B的度数为 .
【答案】115°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=30° ，
∵ 将△ABC绕点C顺时针旋转80°得到△DEC ，
∴∠ACE=80°，∠ECD=30°，∠DEC=∠B，
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=80°+30°=110°，
∴AC=DC，
∴△ACD为等腰三角形，
∴∠CAD=∠EDC=(180°-∠ACD)=×70=35°，
在△DEC中，
∠DEC=∠B=180°-∠ECD-∠EDC=180°-30°-35°=115°
故答案为：115°.
【分析】
根据旋转的性质，图形旋转一定角度，图形的边和角不改变，∠DEC=∠B，根据等腰三角的判定和性质，AC=DC，∠CAD=∠EDC求解.
16．（2025·温州三模）如图，在矩形ABCD中，连结BD，点E是线段BD上一动点，连结AE，点B关于直线AE的对称点为点F，当点F落在边CD上时，DF=4CF，连结AF交BD于点G，若S△GEF=20，则矩形ABCD的面积为 .
【答案】252
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DF=4CF，
∴DF：DC=4：5，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC，AB//CD，
∴△DFG∽△BAG，
∴FG：AG=DG：BG=DF：AB=4：5，
∵△GEF的面积：△GEA的面积=FG：AG，S△GEF=20，
∴△GEA的面积=25，
∴△AEF的面积=20+25=45，
∵B、F关于AE对称，
∴△ABE的面积=△AEF的面积=45
∴△ABG的面积=45+25=70，
∵△ABG的面积：△ABD的面积=BG：BD=5：9，
∴△ABD当面积=126，
∴矩形ABCD的面积=2×126=252.
故答案为：252.
【分析】由矩形的性质推出AB=DC，AB//CD，判定△DFG∽△BAG，推出FG：AG=DG：BG=DF：AB=4：5，由三角形的面积公式求出△GEA的面积=25，得到△AEF的面积=20+25=45，由B、F关于AE对称，得到△ABE的面积=△AEF的面积=45，求出△ABG的面积= 70，△ABD的面积=126，即可得到矩形ABCD的面积.
17．（2025·温州三模）计算：
【答案】解：原式=1-2-2=-3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
根据整式的混合运算，从左依次先计算同级别的值，的值，的值，再算减法.
18．（2025·温州三模）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=
当 时，
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据代数式的化简求值，先通分，在化简，把a=2代入化简的代数式求解.
19．（2025·温州三模）如图，在等腰中，，，过点B作于点D.
（1）求AD的长：
（2）若点E是BC中点，连结AE，求tan∠EAC的值.
【答案】（1）解：∵∴在Rt△ABD中，
（2）解：∵， ，
∴，
∵， E为BC的中点
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）根据直角三角函数，角与直角边的关系，求AD的长；
（2）由已知条件，根据勾股定理在Rt△ABD，求出BD的值，根据等腰三角形三线合一，，根据角之间的关系和直角三角函数，求出 tan∠EAC的值.
20．（2025·温州三模）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加入工智能科普测试，为了了解活动效果，从两个年级中各抽取10名学生的成绩进行整理分析，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩分数)，A组：90≤x≤100，B组：80≤x<90，C组：70≤x<80，D组：x<70，下面是部分信息：
七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96：
八年级10人的得分在B组中的分数为：84，85，85，86；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 77.8 84 a
八 77.8 b 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，m= .
（2）如果该校七年级有1000人参加测试，八年级有800人参加测试，请估计七、八两个年级得分在A组的共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由。
【答案】（1）84；85；20
（2）解：七年级：（人）；八年级：（人）
（人）
答：七、八两个年级得分在A组的共有460人
（3）解：八年级在此次人工智能科普检测中表现更好，
理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，
说明八年级学生掌握的较好；
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96 ，众数为a=84；
八年级10人，其中B组有4人，得分为 84，85，85，86；由扇形统计图可知 C组有3人，D组有1人，A组有2人，根据中位数的概念可知，b=；
八年级一共是10人，在B组一共是4人，得分分别是 84，85，85，86 ，∴B组所占的份数为：，由扇形统计图可知，∴A组所占的份数为：1-30%-10%-40%=20%，∴m=20
【分析】
（1）根据众数的概念，中位数的概念，以及根据扇形统计图求解；
（2）根据样本百分比估计总体，七年级样本总数乘以七年级在A组的占比，得到七年级的得分在A组的人数，八年级根据样本总数乘以扇形统计图中A所占的百分数可得；
（3）根据中位数和众数的数值高低判断即可.
21．（2025·温州三模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.
（1）延长线段AC，请用无刻度的直尺和圆规在射线AC上找一点E，使∠CBE=∠BCD（保留作图痕迹，不写作法)：
（2）若AC=6，BC=8，求BE的长.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵
∴
∴在中，CD是斜边AB上的中线
∴
∴
∴
∴CD为的中位线
∴
其他正确证明，均可得分。
【知识点】勾股定理；作图-平行线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）延长AC，过B点画一天直线BE与CD平行，根据平行线的性质，即可得到 ∠CBE=∠BCD ；
（2）根据勾股定理，得到AB的长，根据直角三角形的斜边中线和三角形的中位线求解.
22．（2025·温州三模）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象.
（1）求出图中a= ，m= .
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h)的函数表达式，并写出相应x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距30km.
【答案】（1）50；1
（2）解：由（1）可知，m=1(h)，a=50(km)
看图可知
0~1h，甲车匀速行驶，设直线解析式为=kx
则当x=1h，=50
∴k=50，
∴=50x，0≤x＜1
1~2h，甲车停止状态，则y=50，1≤x＜2
2~3h，甲车继续匀速行驶，设直线解析式为=kx+b
，
解得k=50，b=-50
∴=50x-50，2≤x≤7
∴
（3）解：
①当 时，，
②当 时，，
∴2.4-2=0.4h 或 3.6-2=1.6h
∴当乙车 0.4 或 1.6h 行驶时，两车恰好相距 30km
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据甲车中途休息1小时，根据图形可知，m=2-1=1，列方程得解得a=50；
根据甲车中途休息1小时，根据图形可知，m=2-1=1；
【分析】
（1）根据甲车途中休息了1h，根据图形可以推断出，m的值应该是1，根据匀速运动，速度=，根据图形，建立等量关系，，a=50；
（2）根据图形列出甲车的分段函数表达式；
（3）根据函数图象列出乙车一次函数表达式，根据已知条件，根据未知数x的取值范围，确定x的值.
23．（2025·温州三模）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，并经过点(3，0).
（1）求二次函数表达式；
（2）将函数图象向上平移m（m>0）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，当BO=2AO时，求m的值；
（3）若n>0，当n≤x≤n+1时，二次函数的最大值是2n，求n的值.
【答案】（1）解：由题意可得，
（2）解：由题意可得，
设 ，，∴
∴把 代入 ，得 ∴
（3）解：①当 时，当 时，，（舍）
②当 时，当 时，，，，
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称轴公式，以及点坐标，求出二次函数表达式；
（2）根据二次函数图象向上平移m，以及A，B坐标的特点， BO=2AO ，求出A点坐标的值，代入额次函数求解；
（3）根据二次函数解析式有最大值，根据x的取值范围当，当时，代入二次函数，求出n的值.
24．（2025·温州三模）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连结OC，AC，且∠AOC=2∠ACE.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）如图2，点F是上一点，，连结AF分别交CD，BD于点G，H，
①若点H恰好是BD的中点，求证：BD=AC；
②若DE=DH，求sin∠B的值.
【答案】（1）证明：法一：设，则
∵
∴
∴
∴
即
法二：连结BC
∵，
∴
∴
∴
∴
∴AB是直径
∴
∴
即
（2）解：连接 AD
①
∴AD2 =BD·HD
∵点H恰好是BD的中点
∴BD=2HD
∴2AD2= BD·2HD = BD2
∴AD = BD
∴BD =AC
②∵
∴
∵AB是直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴DH = DE
∴
∴AD = BE
∵，
∴
∴
∴
∴点E是AB的黄金分割点
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形；圆周角的概念
【解析】【分析】
（1）法一，根据已知条件和内角和定理以及等边三角形的关系，可以求证即可得出结论；
法二，做辅助线连结BC，根据圆周角和圆心角的关系，，根据三角形相似的判定可以求证出，根据三角形相似，得出，即可求证；
（2）①根据弧相等所对的角相等，边相等，根据三角形的判定定理，，根据三角形形相似，，根据点H恰好是BD的中点，即可得到结论；
②根据弧相等，所对应的角相等，根据直径所对的角为直角以及角度的关系，求证出，根据全等的判定，，根据三角形相似判定，得出，根据点E与AB的关系，即可得出结论.
1 / 1浙江省温州市第二中学2025年6月初中毕业升学考试第三次模拟检测数学试题卷
1．（2025·温州三模）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·温州三模）根据温州市统计局发布的《2024年温州市人口主要数据公报》，鹿城区常住人口总量达985.2万人，则985.2万用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·温州三模）由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·温州三模）下列各式运算中结果是的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·温州三模）某班组织一场AI知识竞赛，其中参赛的6名同学得分分别为：72，75，80，78，82，76，则这组数据的中位数是（ ）
A．76 B．77 C．78 D．80
6．（2025·温州三模）不等式组的所有整数解之和是（ ）
A．12 B．13 C．16 D．18
7．（2025·温州三模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似，且.若四边形ABCD的面积为3，则四边形EFGH的面积为（ ）
A． B．6 C．12 D．18
8．（2025·温州三模）中国古代的《孙子兵法》中记载了一道广为人知的数学问题：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦，问有多少匹大马和多少匹小马？设有大马x匹，小马y匹，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·温州三模）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，BC上的动点，连结DF，EF，点M，N分别为DF，EF的中点，则MN的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2025·温州三模）如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，我们在此图形中连结四条线段得到如图②的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．2
11．（2025·温州三模）因式分解： .
12．（2025·温州三模）若分式的值为0，则x的值为 .
13．（2025·温州三模）一枚质地均匀的骰子每个面上分别标着数字1，2，3，4，5，6.任意抛掷这枚骰子一次，朝上一面出现的数是奇数的概率是 .
14．（2025·温州三模）用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 .
15．（2025·温州三模）如图，在△ABC中，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转80°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长DE恰好经过点A，则∠B的度数为 .
16．（2025·温州三模）如图，在矩形ABCD中，连结BD，点E是线段BD上一动点，连结AE，点B关于直线AE的对称点为点F，当点F落在边CD上时，DF=4CF，连结AF交BD于点G，若S△GEF=20，则矩形ABCD的面积为 .
17．（2025·温州三模）计算：
18．（2025·温州三模）先化简，再求值：，其中.
19．（2025·温州三模）如图，在等腰中，，，过点B作于点D.
（1）求AD的长：
（2）若点E是BC中点，连结AE，求tan∠EAC的值.
20．（2025·温州三模）为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加入工智能科普测试，为了了解活动效果，从两个年级中各抽取10名学生的成绩进行整理分析，分成A，B，C，D四组（用x表示成绩分数)，A组：90≤x≤100，B组：80≤x<90，C组：70≤x<80，D组：x<70，下面是部分信息：
七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96：
八年级10人的得分在B组中的分数为：84，85，85，86；
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七 77.8 84 a
八 77.8 b 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ，m= .
（2）如果该校七年级有1000人参加测试，八年级有800人参加测试，请估计七、八两个年级得分在A组的共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由。
21．（2025·温州三模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线.
（1）延长线段AC，请用无刻度的直尺和圆规在射线AC上找一点E，使∠CBE=∠BCD（保留作图痕迹，不写作法)：
（2）若AC=6，BC=8，求BE的长.
22．（2025·温州三模）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶甲车比乙车提早2h出发，并且甲车途中休息了1h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象.
（1）求出图中a= ，m= .
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h)的函数表达式，并写出相应x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距30km.
23．（2025·温州三模）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1，并经过点(3，0).
（1）求二次函数表达式；
（2）将函数图象向上平移m（m>0）个单位长度，图象与x轴相交于点A，B(点A在点B的左侧)，当BO=2AO时，求m的值；
（3）若n>0，当n≤x≤n+1时，二次函数的最大值是2n，求n的值.
24．（2025·温州三模）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连结OC，AC，且∠AOC=2∠ACE.
（1）求证：AB⊥CD；
（2）如图2，点F是上一点，，连结AF分别交CD，BD于点G，H，
①若点H恰好是BD的中点，求证：BD=AC；
②若DE=DH，求sin∠B的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：．
【分析】根据乘积为1的两个数互为到时解题即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：985.2×10=9.852×
故答案为：B.
【分析】
根据科学记数法，将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n表示整数.
3．【答案】D
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：A、此图形为左视图，A选项不符合题意；
B、此图不是本图的三视图，B选项不符合题意；
C、此图为俯视图，C选项不符合题意；
D、此图为主视图，D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】
根据立体图形的三视图，分别为主视图（从正面看），俯视图（从上往下看），左视图（从左面看）可知.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A选项正确；
B、，B选项错误；
C、，C选项错误；
D、，D选项错误；
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘法，底数不变，指数相加，A选项正确，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，B选项错误，根据幂的除法，底数不变，指数相减，C选项错误，根据同类项之和，同类项不变，系数相加，D选项错误.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵ 72，75，76 ，78，80，82，
∴中位数为：，
故答案为：B.
【分析】
根据中位数的可知，奇数的中位数为最中间，偶数的中位数为最中间两个数的平均数.
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由不等式组
解得：①，
②x<6，
∴3≤x<6，
∴x=3，4，5
∴3+4+5=12
故答案为：A.
【分析】
解不等式组，分别求出不等式x的值，在求出不等式组的解集.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH关于点O位似 ，
∴，
∵，
∴；
故答案为：C.
【分析】
根据图形为位似图形，面积比等于相似比是平方即可求得.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有大马x匹，小马y匹， 根据 大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦 ，列方程得：
故答案为：D.
【分析】
根据 ：现有一百匹马，一百片瓦，大马一匹可以驮三片瓦，小马三匹可以驮一片瓦 ，设有大马x匹，小马y匹，找到等量关系求解.
9．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过点D作DG⊥AB于点G，
∵M、N分别为DF、EF的中点，
∴MN是△DEF的中位线，
∴，
∴当DE最小时，MN最小，
此时点E与点G重合，即MN的最小值为的长，
∵四边形ABCD是菱形：
∴AD=AB=4，
∴∠DAG=90°-∠A=30°
∴，
∴，
∴MN的最小值为，
故答案为：A.
【分析】连接DE，过点D作DG⊥AB于点G，证明MN是△DEF的中位线，得，当DE最小时MN最小，此时点E与点G重合，即MN的最小值为的长，再由菱形的性质得AD=AB=4，进而由直角三角形的性质得，然后由勾股定理求出，即可得出结论.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，
标记A、B、C、D如图②所示，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，
设AB=CD=x，
∴
∴S2=4S△ACD=2x2，
∵S1=S2，S1+S2=m2
∴4x2=m2，
∴m=2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2
∴x2+(x+n)2=m2，
∴x2+(x+n)2=4x2，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，如图2，设AB=CD=x，则可以用x表示出S2，又由于S1=S2，S1+S2=m2，所以可以得到m与x的关系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，最后根据等量代换进行运算即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∵x-2≠0，
∴x≠2，
∵
∴x-1=0；
∴x=1；
故答案为：1.
【分析】
根据已知条件，分式的值为零，要满足分母x-2≠0，x-1=0求解.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：一枚质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6，其中奇数为1，3，5，
则抛掷该骰子一次，朝上一面的数字是奇数的概率等于，
故答案为：.
【分析】
根据概率公式：概率=所求情况数：总情况数可得.
14．【答案】3
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵由题意知，半圆形纸片的半径为6，
∴圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于半圆的周长，
2π×6÷2=6π，
∵圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长，
圆锥的底面半径可以通过底面周长除以2π得到，
∴6π÷2π=3
故答案为：3.
【分析】
根据圆锥的综合计算：圆锥的底面圆周长=侧面展开扇形的弧长=2πr，其中r为圆锥的底面半径.
15．【答案】115°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=30° ，
∵ 将△ABC绕点C顺时针旋转80°得到△DEC ，
∴∠ACE=80°，∠ECD=30°，∠DEC=∠B，
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=80°+30°=110°，
∴AC=DC，
∴△ACD为等腰三角形，
∴∠CAD=∠EDC=(180°-∠ACD)=×70=35°，
在△DEC中，
∠DEC=∠B=180°-∠ECD-∠EDC=180°-30°-35°=115°
故答案为：115°.
【分析】
根据旋转的性质，图形旋转一定角度，图形的边和角不改变，∠DEC=∠B，根据等腰三角的判定和性质，AC=DC，∠CAD=∠EDC求解.
16．【答案】252
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DF=4CF，
∴DF：DC=4：5，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=DC，AB//CD，
∴△DFG∽△BAG，
∴FG：AG=DG：BG=DF：AB=4：5，
∵△GEF的面积：△GEA的面积=FG：AG，S△GEF=20，
∴△GEA的面积=25，
∴△AEF的面积=20+25=45，
∵B、F关于AE对称，
∴△ABE的面积=△AEF的面积=45
∴△ABG的面积=45+25=70，
∵△ABG的面积：△ABD的面积=BG：BD=5：9，
∴△ABD当面积=126，
∴矩形ABCD的面积=2×126=252.
故答案为：252.
【分析】由矩形的性质推出AB=DC，AB//CD，判定△DFG∽△BAG，推出FG：AG=DG：BG=DF：AB=4：5，由三角形的面积公式求出△GEA的面积=25，得到△AEF的面积=20+25=45，由B、F关于AE对称，得到△ABE的面积=△AEF的面积=45，求出△ABG的面积= 70，△ABD的面积=126，即可得到矩形ABCD的面积.
17．【答案】解：原式=1-2-2=-3
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
根据整式的混合运算，从左依次先计算同级别的值，的值，的值，再算减法.
18．【答案】解：原式=
当 时，
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据代数式的化简求值，先通分，在化简，把a=2代入化简的代数式求解.
19．【答案】（1）解：∵∴在Rt△ABD中，
（2）解：∵， ，
∴，
∵， E为BC的中点
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【分析】
（1）根据直角三角函数，角与直角边的关系，求AD的长；
（2）由已知条件，根据勾股定理在Rt△ABD，求出BD的值，根据等腰三角形三线合一，，根据角之间的关系和直角三角函数，求出 tan∠EAC的值.
20．【答案】（1）84；85；20
（2）解：七年级：（人）；八年级：（人）
（人）
答：七、八两个年级得分在A组的共有460人
（3）解：八年级在此次人工智能科普检测中表现更好，
理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，
说明八年级学生掌握的较好；
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级10人的得分：48，57，69，72，84，84，86，91，92，96 ，众数为a=84；
八年级10人，其中B组有4人，得分为 84，85，85，86；由扇形统计图可知 C组有3人，D组有1人，A组有2人，根据中位数的概念可知，b=；
八年级一共是10人，在B组一共是4人，得分分别是 84，85，85，86 ，∴B组所占的份数为：，由扇形统计图可知，∴A组所占的份数为：1-30%-10%-40%=20%，∴m=20
【分析】
（1）根据众数的概念，中位数的概念，以及根据扇形统计图求解；
（2）根据样本百分比估计总体，七年级样本总数乘以七年级在A组的占比，得到七年级的得分在A组的人数，八年级根据样本总数乘以扇形统计图中A所占的百分数可得；
（3）根据中位数和众数的数值高低判断即可.
21．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵
∴
∴在中，CD是斜边AB上的中线
∴
∴
∴
∴CD为的中位线
∴
其他正确证明，均可得分。
【知识点】勾股定理；作图-平行线；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）延长AC，过B点画一天直线BE与CD平行，根据平行线的性质，即可得到 ∠CBE=∠BCD ；
（2）根据勾股定理，得到AB的长，根据直角三角形的斜边中线和三角形的中位线求解.
22．【答案】（1）50；1
（2）解：由（1）可知，m=1(h)，a=50(km)
看图可知
0~1h，甲车匀速行驶，设直线解析式为=kx
则当x=1h，=50
∴k=50，
∴=50x，0≤x＜1
1~2h，甲车停止状态，则y=50，1≤x＜2
2~3h，甲车继续匀速行驶，设直线解析式为=kx+b
，
解得k=50，b=-50
∴=50x-50，2≤x≤7
∴
（3）解：
①当 时，，
②当 时，，
∴2.4-2=0.4h 或 3.6-2=1.6h
∴当乙车 0.4 或 1.6h 行驶时，两车恰好相距 30km
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）根据甲车中途休息1小时，根据图形可知，m=2-1=1，列方程得解得a=50；
根据甲车中途休息1小时，根据图形可知，m=2-1=1；
【分析】
（1）根据甲车途中休息了1h，根据图形可以推断出，m的值应该是1，根据匀速运动，速度=，根据图形，建立等量关系，，a=50；
（2）根据图形列出甲车的分段函数表达式；
（3）根据函数图象列出乙车一次函数表达式，根据已知条件，根据未知数x的取值范围，确定x的值.
23．【答案】（1）解：由题意可得，
（2）解：由题意可得，
设 ，，∴
∴把 代入 ，得 ∴
（3）解：①当 时，当 时，，（舍）
②当 时，当 时，，，，
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）根据二次函数的对称轴公式，以及点坐标，求出二次函数表达式；
（2）根据二次函数图象向上平移m，以及A，B坐标的特点， BO=2AO ，求出A点坐标的值，代入额次函数求解；
（3）根据二次函数解析式有最大值，根据x的取值范围当，当时，代入二次函数，求出n的值.
24．【答案】（1）证明：法一：设，则
∵
∴
∴
∴
即
法二：连结BC
∵，
∴
∴
∴
∴
∴AB是直径
∴
∴
即
（2）解：连接 AD
①
∴AD2 =BD·HD
∵点H恰好是BD的中点
∴BD=2HD
∴2AD2= BD·2HD = BD2
∴AD = BD
∴BD =AC
②∵
∴
∵AB是直径
∴
∴
∴
∵
∴
∴DH = DE
∴
∴AD = BE
∵，
∴
∴
∴
∴点E是AB的黄金分割点
∴
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-直角三角形；圆周角的概念
【解析】【分析】
（1）法一，根据已知条件和内角和定理以及等边三角形的关系，可以求证即可得出结论；
法二，做辅助线连结BC，根据圆周角和圆心角的关系，，根据三角形相似的判定可以求证出，根据三角形相似，得出，即可求证；
（2）①根据弧相等所对的角相等，边相等，根据三角形的判定定理，，根据三角形形相似，，根据点H恰好是BD的中点，即可得到结论；
②根据弧相等，所对应的角相等，根据直径所对的角为直角以及角度的关系，求证出，根据全等的判定，，根据三角形相似判定，得出，根据点E与AB的关系，即可得出结论.
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