内蒙古兴安盟、呼伦贝尔2024年中考数学试题
1．（2024·呼伦贝尔）的绝对值是（ ）
A． B．10 C． D．
2．（2024·呼伦贝尔）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·呼伦贝尔）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·呼伦贝尔）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·呼伦贝尔）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
6．（2024·呼伦贝尔）如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·呼伦贝尔）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
8．（2024·呼伦贝尔）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2024·呼伦贝尔）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
10．（2024·呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等.A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( )
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
11．（2024·呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·呼伦贝尔）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024·呼伦贝尔）分解因式： .
14．（2024·呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
15．（2024·呼伦贝尔）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
16．（2024·呼伦贝尔）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 .
17．（2024·呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
18．（2024·呼伦贝尔）计算：．
19．（2024·呼伦贝尔）先化简，再求值：，其中．
20．（2024·呼伦贝尔）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
21．（2024·呼伦贝尔）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6.
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张.请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率.
22．（2024·呼伦贝尔）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
23．（2024·呼伦贝尔）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
24．（2024·呼伦贝尔）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求扇形的面积．
25．（2024·呼伦贝尔）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.
26．（2024·呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式；负整数指数幂；积的乘方运算；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，及负整数指数幂的性质“”进行计算可判断B选项；根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减，进行计算可判断C选项；根据多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，进行计算可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项给出的平面图形为小正方体组成的立体图形的左视图，故此选项不符合题意；
B、此选项给出的平面图形为小正方体组成的立体图形的俯视图，故此选项不符合题意；
C、此选项给出的平面图形不是小正方体组成的立体图形的三视图，故此选项符合题意；
D、此选项给出的平面图形为小正方体组成的立体图形的主视图，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】从前向后看，得到一个几何体的正投影就是其主视图，从左向右看，得到一个几何体的正投影就是其左视图，从上向下看，得到一个几何体的正投影就是其俯视图，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数且n=整数数位-1”是解题的关键．
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，故原事件是不可能事件，故原说法错误；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力，由于具有破坏性，适宜抽样调查，故原说法错误；
C、一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故原说法错误；
D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，故原说法正确.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A选项；调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据此可判断B选项；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断C选项；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】垂线的概念；角度的四则混合运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶C．
【分析】先利用垂直定义得∠BAC=90°，然后结合已知条件及角的构成求出，进而利用二直线平行，同旁内角互补可算出∠B的度数，最后由度分秒的换算求解即可．
7．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
.
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可得，，从而根据有理数的减法法则得a-b＜0，进而再根据二次根式的性质“”及绝对值的代数意义化简，接着按去括号法则去括号，最后合并同类项即可.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得
解之：
∴点P的坐标为
∴点P在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到（x，y）是方程组的解，解方程组求出x，y的值，可得到点P的坐标，据此可得到点P的位置.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
由作图知：平分∠BAC，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故答案为：B．
【分析】由三角形的内角和定理求出∠CAB=60°，由作图知AD平分∠BAC，由角平分线的性质可求，利用含30°的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，则，然后利用同高三角形的面积之比等于对应底之比可求出△ABD的面积.
10．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设B种机器人每小时搬运x千克，A种机器人每小时搬运（x+30）千克，根据题意得
解之：x=60，
经检验x=60是原方程的解，
∴x+30=90，
答：B种机器人每小时搬运60千克，A种机器人每小时搬运90千克
故答案为：D.
【分析】此题的等量关系为：A型机器人每小时搬运的数量=B型机器人每小时搬运的数量+30；900÷A型机器人每小时搬运的数量=600÷B型机器人每小时搬运的数量；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：正方形的边长为2，
∴
∴，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故答案为：A．
【分析】由正方形性质得BC=CD=2，∠ACD=90°，∠CBD=45°，在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BD的长，由轴对称的性质得出DF=CD=2，∠EFE=∠DCB=90°，然后根据线段和差算出BF，进而根据等腰直角三角形的性质求出EF、BE的长，最后根据三角形面积计算公式列式计算即可.
12．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故答案为：C．
【分析】此题是分段函数，第一段该同学从家跑步去体育场，该同学离家的距离随时间x的增大而增大，从图象看当时间x为15分钟时， 离家的距离y为2.5km，从而说明体育场离该同学家2.5千米，据此可判断（1）；第二段该同学在体育场锻炼，从图象得，该同学在15分时到达体育场，在30分钟时开始离开，从而可求出在体育场锻炼的时间，据此可判断（2）；根据路程除以时间等于速度，结合图象提供的信息，分别求出该同学跑步、步行的速速，即可判断（3）；求出该同学的骑行速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出a的值，从而可判断（4）.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（1+2b+b2）=a（1+b）.
故答案为：a（1+b）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴，
∴，即
解得，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式“”分别表示出弧AB与弧CD的长，根据“公路弯道外侧边线比内侧边线多36米”列出方程，然后解方程并按要求取近似数即可．
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由题意可知
x※m=x+3m，
∴x+3m＜2，
x＜-3m+2，
此不等式有且只有一个正整数解，
∴1＜-3m+2≤2
解之：
故答案为：.
【分析】利用定义新运算可知x※m=x+3m，据此可得到关于x的不等式，再求出此不等式的解集，根据此不等式有且只有一个正整数解，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组，然后求出不等式组的解集.
17．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点一垂线型；A字型相似模型
【解析】【解答】解：如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∴S△CEO=
∴，
故答案为：12．
【分析】作轴于，作轴于，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得，由点，的坐标得，，，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ADN∽△ABM，由相似三角形对应边成比例建立方程，求出，AN=1，则，故有D点坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数k的几何意义可得S△CEO=4，最后利用割补法，由梯形及三角形面积计算公式，根据即可求解.
18．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”、绝对值的代数意义分别计算，最后再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】把括号内的整式“x-2”看成分母为1的式子，然后通分计算括号内分式的加法，同时将括号外分式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用平方差公式法分解因式，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简的最简结果利用有理数的加法法则计算可得答案.
20．【答案】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形
，
∴，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴楼的高度为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作DEc⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，则四边形BCFE是矩形，由矩形对边相等得CF=BE，BC=EF，由二直线平行，内错角相等得∠A=30°，∠DCF=45°，从而由∠A的正切函数可求出AE的长，由等腰直角三角形的性质得DF=CF，根据线段和差可求出BE的长，从而得到DF的长，最后根据BC=EF=DE-DF可算出BC的长，得到答案.
21．【答案】（1）解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：；
（2）画树状图，如下，
共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）由题意可知一共有5种结果数，出现4的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
（2）此事件是抽取不放回，据此列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得即则再根据全等三角形判定定理可得再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得再根据菱形周长可得AB，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
23．【答案】（1）解：本次调查的学生共有人，
“文明宣传”的人数有人，
补图如下：
故答案为：200；
（2）解：，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是；
（3）解：，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，利用“整理卫生”的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后用本次调查的总人数减去其余各组人数，求出“文明宣传”的人数，然后补图即可；
（2）用360°乘以“敬老服务”所占百分比即可求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）用该校参加志愿者服务的学生总人数乘以样本中参加“文明宣传”项目人数所占的百分比即可估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
（1）解：本次调查的学生共有人，
“文明宣传”的人数有人，
补图如下：
故答案为：200；
（2）解：，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是，
（3）解：，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角得∠ODA=∠OAD，由同弧所对的圆周角相等得∠F=∠BAD，则∠ODA=∠DAE，由直角三角形的两锐角互余得∠ADE+∠DAE=90°，等量代换得出∠ADE+∠ODA=90°，即OD⊥DE，然后根据垂直半径外端点的值就是圆的切线可得结论；
（2）先用含30°的直角三角形的性质求出，由直角三角形两锐角互余求出，进而根据平角的定义求出∠BDO=30°，利用等边对等角得出∠OBD=∠ODB=30°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半求出∠AOD=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOD是等边三角形，则AD=OD，∠ODA=60°，由角的构成求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，利用∠ADE得余弦函数可求出AD=2，最后利用扇形面积公式“”求解即可．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
25．【答案】（1）根据题意，得，
解得；
（2）当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而减小，
时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用表中数据及已知条件：购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值.
（2）根据题意分情况讨论：当50≤x≤80时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；当80＜x≤120时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；综上所述，可得到y与x的函数解析式及最大利润、超市的进货方案.
26．【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
1 / 1内蒙古兴安盟、呼伦贝尔2024年中考数学试题
1．（2024·呼伦贝尔）的绝对值是（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据一个负数的绝对值等于其相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.
2．（2024·呼伦贝尔）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；多项式乘多项式；负整数指数幂；积的乘方运算；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，及负整数指数幂的性质“”进行计算可判断B选项；根据同分母分式的减法，分母不变，分子相减，进行计算可判断C选项；根据多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，进行计算可判断D选项.
3．（2024·呼伦贝尔）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、此选项给出的平面图形为小正方体组成的立体图形的左视图，故此选项不符合题意；
B、此选项给出的平面图形为小正方体组成的立体图形的俯视图，故此选项不符合题意；
C、此选项给出的平面图形不是小正方体组成的立体图形的三视图，故此选项符合题意；
D、此选项给出的平面图形为小正方体组成的立体图形的主视图，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】从前向后看，得到一个几何体的正投影就是其主视图，从左向右看，得到一个几何体的正投影就是其左视图，从上向下看，得到一个几何体的正投影就是其俯视图，据此逐一判断得出答案.
4．（2024·呼伦贝尔）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数且n=整数数位-1”是解题的关键．
5．（2024·呼伦贝尔）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查．
C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4
D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，故原事件是不可能事件，故原说法错误；
B、调查某批次汽车的抗撞击能力，由于具有破坏性，适宜抽样调查，故原说法错误；
C、一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故原说法错误；
D、在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，故原说法正确.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断A选项；调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据此可判断B选项；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可判断C选项；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此可判断D选项.
6．（2024·呼伦贝尔）如图，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；角度的四则混合运算；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为∶C．
【分析】先利用垂直定义得∠BAC=90°，然后结合已知条件及角的构成求出，进而利用二直线平行，同旁内角互补可算出∠B的度数，最后由度分秒的换算求解即可．
7．（2024·呼伦贝尔）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解∶由数轴知∶，，
∴，
∴
.
故答案为：A．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点可得，，从而根据有理数的减法法则得a-b＜0，进而再根据二次根式的性质“”及绝对值的代数意义化简，接着按去括号法则去括号，最后合并同类项即可.
8．（2024·呼伦贝尔）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点P的位置在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意得
解之：
∴点P的坐标为
∴点P在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用已知可得到（x，y）是方程组的解，解方程组求出x，y的值，可得到点P的坐标，据此可得到点P的位置.
9．（2024·呼伦贝尔）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．8 B．16 C．12 D．24
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
由作图知：平分∠BAC，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又的面积为8，
∴的面积是，
故答案为：B．
【分析】由三角形的内角和定理求出∠CAB=60°，由作图知AD平分∠BAC，由角平分线的性质可求，利用含30°的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，则，然后利用同高三角形的面积之比等于对应底之比可求出△ABD的面积.
10．（2024·呼伦贝尔）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等.A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？( )
A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设B种机器人每小时搬运x千克，A种机器人每小时搬运（x+30）千克，根据题意得
解之：x=60，
经检验x=60是原方程的解，
∴x+30=90，
答：B种机器人每小时搬运60千克，A种机器人每小时搬运90千克
故答案为：D.
【分析】此题的等量关系为：A型机器人每小时搬运的数量=B型机器人每小时搬运的数量+30；900÷A型机器人每小时搬运的数量=600÷B型机器人每小时搬运的数量；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
11．（2024·呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：正方形的边长为2，
∴
∴，
∵与关于直线对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故答案为：A．
【分析】由正方形性质得BC=CD=2，∠ACD=90°，∠CBD=45°，在Rt△BCD中，利用勾股定理算出BD的长，由轴对称的性质得出DF=CD=2，∠EFE=∠DCB=90°，然后根据线段和差算出BF，进而根据等腰直角三角形的性质求出EF、BE的长，最后根据三角形面积计算公式列式计算即可.
12．（2024·呼伦贝尔）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：
（1）体育场离该同学家2.5千米；
（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；
（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；
（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；
该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确；
该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；
若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确，
故答案为：C．
【分析】此题是分段函数，第一段该同学从家跑步去体育场，该同学离家的距离随时间x的增大而增大，从图象看当时间x为15分钟时， 离家的距离y为2.5km，从而说明体育场离该同学家2.5千米，据此可判断（1）；第二段该同学在体育场锻炼，从图象得，该同学在15分时到达体育场，在30分钟时开始离开，从而可求出在体育场锻炼的时间，据此可判断（2）；根据路程除以时间等于速度，结合图象提供的信息，分别求出该同学跑步、步行的速速，即可判断（3）；求出该同学的骑行速度，然后根据路程等于速度乘以时间可求出a的值，从而可判断（4）.
13．（2024·呼伦贝尔）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（1+2b+b2）=a（1+b）.
故答案为：a（1+b）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式.
14．（2024·呼伦贝尔）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作轴于点，则，
由平移性质可知：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴，，
∴，
∵点在第四象限，
∴，
故答案为：．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，由平移性质可知AB=CD，AB∥CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形ABCD是平行四边形，进而根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得∠BAD=90°，BC=AD=2AB，根据同角的余角相等可得∠OBA=∠EAD，从而由“有两组角对应相等的两个三角形相似”得△OAB∽△EDA，由相似三角形对应边成比例得，设，则，，根据DA的长建立方程求得a的值，可得EA、ED及OE的长，从而可得点D的坐标.
15．（2024·呼伦贝尔）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．（取3.14，计算结果精确到0.1）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，
∴，
∴，即
解得，
故答案为：．
【分析】利用弧长公式“”分别表示出弧AB与弧CD的长，根据“公路弯道外侧边线比内侧边线多36米”列出方程，然后解方程并按要求取近似数即可．
16．（2024·呼伦贝尔）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的不等式有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由题意可知
x※m=x+3m，
∴x+3m＜2，
x＜-3m+2，
此不等式有且只有一个正整数解，
∴1＜-3m+2≤2
解之：
故答案为：.
【分析】利用定义新运算可知x※m=x+3m，据此可得到关于x的不等式，再求出此不等式的解集，根据此不等式有且只有一个正整数解，可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组，然后求出不等式组的解集.
17．（2024·呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点一垂线型；A字型相似模型
【解析】【解答】解：如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∴S△CEO=
∴，
故答案为：12．
【分析】作轴于，作轴于，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得，由点，的坐标得，，，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ADN∽△ABM，由相似三角形对应边成比例建立方程，求出，AN=1，则，故有D点坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数k的几何意义可得S△CEO=4，最后利用割补法，由梯形及三角形面积计算公式，根据即可求解.
18．（2024·呼伦贝尔）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”、绝对值的代数意义分别计算，最后再合并同类二次根式及进行有理数的加减法运算即可.
19．（2024·呼伦贝尔）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】把括号内的整式“x-2”看成分母为1的式子，然后通分计算括号内分式的加法，同时将括号外分式的分子利用提取公因式法分解因式，分母利用平方差公式法分解因式，然后根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简的最简结果利用有理数的加法法则计算可得答案.
20．（2024·呼伦贝尔）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：）
【答案】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形
，
∴，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴楼的高度为米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作DEc⊥AB于E，过C作CF⊥DE于F，则四边形BCFE是矩形，由矩形对边相等得CF=BE，BC=EF，由二直线平行，内错角相等得∠A=30°，∠DCF=45°，从而由∠A的正切函数可求出AE的长，由等腰直角三角形的性质得DF=CF，根据线段和差可求出BE的长，从而得到DF的长，最后根据BC=EF=DE-DF可算出BC的长，得到答案.
21．（2024·呼伦贝尔）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6.
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张.请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率.
【答案】（1）解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：；
（2）画树状图，如下，
共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）由题意可知一共有5种结果数，出现4的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
（2）此事件是抽取不放回，据此列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况数，然后利用概率公式进行计算.
22．（2024·呼伦贝尔）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接
（1）求证：四边形是菱形：
（2）若平行四边形的周长为，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得即则再根据全等三角形判定定理可得再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得再根据菱形周长可得AB，根据菱形性质可得再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴即
∴
∵为的中点，
∴
∴，
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是菱形；
（2）解：∵
∴
∵平行四边形的周长为22，
∴菱形的周长为：
∴
∵四边形是菱形，
∴
又
∴是等边三角形，
∵．
23．（2024·呼伦贝尔）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
【答案】（1）解：本次调查的学生共有人，
“文明宣传”的人数有人，
补图如下：
故答案为：200；
（2）解：，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是；
（3）解：，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，利用“整理卫生”的人数除以所占百分比求出调查的总人数，然后用本次调查的总人数减去其余各组人数，求出“文明宣传”的人数，然后补图即可；
（2）用360°乘以“敬老服务”所占百分比即可求“敬老服务”对应的圆心角的度数；
（3）用该校参加志愿者服务的学生总人数乘以样本中参加“文明宣传”项目人数所占的百分比即可估计参加“文明宣传”项目的学生人数．
（1）解：本次调查的学生共有人，
“文明宣传”的人数有人，
补图如下：
故答案为：200；
（2）解：，
∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是，
（3）解：，
∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人．
24．（2024·呼伦贝尔）如图，在中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求扇形的面积．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接OD，利用等边对等角得∠ODA=∠OAD，由同弧所对的圆周角相等得∠F=∠BAD，则∠ODA=∠DAE，由直角三角形的两锐角互余得∠ADE+∠DAE=90°，等量代换得出∠ADE+∠ODA=90°，即OD⊥DE，然后根据垂直半径外端点的值就是圆的切线可得结论；
（2）先用含30°的直角三角形的性质求出，由直角三角形两锐角互余求出，进而根据平角的定义求出∠BDO=30°，利用等边对等角得出∠OBD=∠ODB=30°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的一半求出∠AOD=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AOD是等边三角形，则AD=OD，∠ODA=60°，由角的构成求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，利用∠ADE得余弦函数可求出AD=2，最后利用扇形面积公式“”求解即可．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又是的半径；
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
∴扇形的面积为．
25．（2024·呼伦贝尔）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲 a 22
乙 b 25
该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.
【答案】（1）根据题意，得，
解得；
（2）当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
当时，
根据题意，得，
，
y随x的增大而减小，
时，y有最大值，最大值为，
即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元；
综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元.
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用表中数据及已知条件：购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值.
（2）根据题意分情况讨论：当50≤x≤80时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；当80＜x≤120时，可得到y与x的函数解析式，利用一次函数的性质可求出此时y的最大值；综上所述，可得到y与x的函数解析式及最大利润、超市的进货方案.
26．（2024·呼伦贝尔）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式及点的坐标；
（2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）哟提议可得抛物线y=ax2+bx+c经过点（0，0）、（4，0）及（1，3），从而利用待定系数法可求出抛物线的解析式；利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令直线AB解析式中的x=0算出对应的函数y的值，即可求出C的坐标；
（2）①根据点的坐标与图形性质设P（m，-m2+4m）(1＜m＜4)，则点D（m，-m+4），根据平面内两点间的距离公式表示出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；
②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠A=PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，易得BP∥x轴，根据点的坐标与图形性质得P点的纵坐标为3，将y=3代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，即可求出点P的坐标；当△PBD∽△AOC时，过点B作BF⊥PD于点F，由等腰直角三角形的性质可得BP=BD，PF=DF=BF，据此建立方程求解得出m的值，即可求出点P的坐标，综上可得答案.
（1）解：把，，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：①设，则，
∴
，
∴当时，有最大值为；
②∵，，
∴，
又，
∴，
又轴，
∴轴，
∴，
当时，如图，
∴，
∴轴，
∴P的纵坐标为3，
把代入，得，
解得，，
∴，
∴，
∴P的坐标为；
当时，如图，过B作于F，
则，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴P的坐标为
综上，当P的坐标为或时，与相似．
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