河北省2025年中考数学真题试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．（2025·河北）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A表示下降5°，错误
B表示上升5°，正确
C表示10°，错误
D表示上升15°，错误
故答案为：B
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．（2025·河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴180°-∠ABC=110°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
3．（2025·河北）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
4．（2025·河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cm B．6cm C． D．10cm
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设该化石的实际长度为x
∴，解得x=8
故答案为：C
【分析】设该化石的实际长度为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
5．（2025·河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
其左主视图视图为
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
6．（2025·河北）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴点即为(-2，-3)，再第三象限
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
7．（2025·河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为
∴出现数字3的概率为
∴只能有一个面标有“3”
∴该木块不可能是选项A
故答案为：A
【分析】根据题意求出出现数字3的概率，再结合题意即可求出答案.
8．（2025·河北）若，则（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】分子根据完全平方公式，分母提公因式进行化简，再将a=-3代入即可求出答案.
9．（2025·河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B
A：当时
∵∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
B：当时
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
C：时
∵∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
D：当时
∵∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3=180°
∴∠AEM=∠CDN=∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质可得∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B，再根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025·河北）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4>0
∴当x>0时，y随x的增大而减小
∴当y=2时，x=2
当y=4时，x=1
∴x的范围为
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
11．（2025·河北）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠1
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠ADB=∠A'DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°-，即2∠1=90°-
∴，A错误
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠，B错误
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠C'ED=∠CED
，C错误，D正确
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠ADB=∠1，再根据折叠性质可得∠ADB=∠A'DB，则∠1=∠A'DB，再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
12．（2025·河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线FG的解析式为y= kx+b，代入(-1，1)，(0，-1)
，解得：
∴直线FG的解析式为y=-2x-1，
∵点E(1，2)，
A：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时经过原点，对应的EH经过整点(2，1)，符合题意
B：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时原点在FG下方，对应的EH在整点(2，1)上方，不符合题意
C：当E为时，平移方式为向右平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合题意，
D.当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合颗题意
故答案为：A
【分析】设直线FG的解析式为y= kx+b，根据待定系数法将点(-1，1)，(0，-1)代入解析式可得直线FG的解析式为y=-2x-1，求出点E坐标，再根据函数图象的平移性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·河北）计算： ．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】合并同类项的法则指的是系数和系数相加，字母和字母的指数不变.
14．（2025·河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵平行四边形两个邻边分别长为3和4
∴它的对角线n的取值范围为4-3即为1∴n的值可以为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
15．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
16．（2025·河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．
（参考数据：，）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等
∵数字1-12对应的点均匀分布在同一个圆上
∴相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为360÷12=30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴
即
∴
∵OA=OB，OD⊥AB
∴
∴这条线段的长为
故答案为：
【分析】设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，由题意可得相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为=30°，则∠AOB=150°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOD=75°，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，再根据垂径定理即可求出答案.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（2025·河北）
（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
【答案】（1）解：
不等式两边同时除以2得，
数轴见解析过程；
（2）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴见解析过程；
（3）解：原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：（1）、（2）数轴表示如图：
（3）
解不等式①可得，
解不等式②可得
∴不等式组的解集为
【分析】（1）系数化为1，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）移项，合并同类项，系数化为1，再将解集在数轴上表示出来即可.
（3）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
18．（2025·河北）
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
【答案】（1）解：原计算第一步开始出错；
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则可判断原计算第一步开始出错，根据实数的混合运算即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
19．（2025·河北）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
20．（2025·河北）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
A B C D
调整前单件成本/（元/件) 18 26 20 36
调整后单件成本/（元/件) 方案甲 13 32 m 40
方案乙 16 n 18 32
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前产品的年产量；
（2）直接写出，的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
【答案】（1）解：调整前总产量为40÷20%=200（万件），
所以C产品的产量为200×15%=60（万件），
则A产品的年产量为200-（70+60+40)=30(万件)
（2）解：，
（3）解：方案甲总成本为30×13+70×22+60×25+40×40=5030(万元）
方案乙总成本为30×16+70×28+60×18+40×32=4800(万元）
4800<5030
所以方案乙总成本较低.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：(2)由题意知，
解得：m=25
∵调整前年产量的中位数为
∴
解得：n=28
【分析】（1）根据D产品的年产量及占比可总产量，再求出C产品的产量，再用总产量减去其他产品的产量即可求出答案.
（2）根据平均数与中位数的定义即可求出答案.
（3）分别求出两种方案的总成本，再比较大小即可求出答案.
21．（2025·河北）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴AD=BC=5，∠ADC=90°
∵AE=3，
∴DE=2，
∵DE=DF
∴DE=DF=2
∵OE=OF=2，
∴DE=DF=OE=OF=2，
∴四边形OEDF为正方形，
∴∠EOF=90°
∴
（2）解：连接EF，交BD于点H
∵四边形OEMF为菱形，
∴OE=EM=OF=MF=2，EH⊥MD·
∵OM=OE=OF=2，
∴△OEM，△OFM为等边三角形
∴∠OEM=∠OME=∠OMF=∠OFM=60°
∴
∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴BD平分∠ADC
∴∠ADB=45°
∴△EDH为等腰直角三角形
∴
∴
（3）解：当∠EOF=150°时
当∠EOF=150°时
综上，当∠EOF=150°，的长为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AD=BC=5，∠ADC=90°，再根据边之间的关系可得DE=DF=OE=OF=2，再根据正方形判定定理可得四边形OEDF为正方形，再根据其性质即可求出答案.
（2）连接EF，交BD于点H，根据菱形性质可得OE=EM=OF=MF=2，EH⊥MD，再根据等边三角形判定定理可得△OEM，△OFM为等边三角形，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得EH，再根据正方形性质可得∠ADB=45°，再根据等腰三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论，作出图形，根据弧长公式即可求出答案.
22．（2025·河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴ 该铁棒温度的增加量 40℃
（3）解：设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l
由题意可得：
解得：x=48
则x+20=68
∴ 该铁棒温度的增加量68℃.
【知识点】一元一次方程的其他应用；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·河北）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形的周长为 ；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．
（4）［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
①当时，求的值；
②当最大时，直接写出的长．
【答案】（1）10
（2）解：如图所示
（3）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
②=
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
（2）解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（4）解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据矩形周长即可求出答案.
（2）以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（3）根据矩形性质可得，，根据等腰直角三角形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据直线平行性质可得，再根据垂直平分线性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）①过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据题意可得点是矩形的对角线与的交点，则点是的中点，可得，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据勾股定理可得PQ，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得CQ，BQ，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据正切定义即可求出答案.
②连接交于点，根据题意可得点为和的中点，点在以为直径的上，当与相切时，最大，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系可得，过点作，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得CT，根勾股定理可得CL，再根据切线性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
24．（2025·河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
（1）求，的值及点的坐标．
（2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
（3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点
（3）解：①∵，
当重合时，则
∵是中点，
∴，
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
联立①②得：或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得b，c，再将解析式转换为顶点式，可得顶点坐标.
（2）将代入解析式可得或，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断即可求出答案.
（3）①当重合时，则，根据线段中点坐标可得，再根据待定系数法将点M，C坐标代入即可求出答案.
②将点A坐标代入直线AE可得，则直线的解析式为，再将点C坐标代入抛物线解析式可得，联立直线AE解析式，可得，根据二次方程根与系数的关系可得，则，E，将代入可得①，根据判别式可得②，联立①②，解方程组即可求出答案.
1 / 1河北省2025年中考数学真题试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．（2025·河北）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2025·河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7cm和4cm，笔的实际长度为14cm，则该化石的实际长度为（ ）
A．2cm B．6cm C． D．10cm
5．（2025·河北）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河北）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·河北）若，则（ ）
A． B． C．3 D．6
9．（2025·河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·河北）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·河北）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（2025·河北）计算： ．
14．（2025·河北）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可）
15．（2025·河北）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
16．（2025·河北）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．
（参考数据：，）
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（2025·河北）
（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
18．（2025·河北）
（1）一道习题及其错误的解答过程如下：
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：．
19．（2025·河北）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
20．（2025·河北）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．
下面是该工厂这四种产品的部分信息：
a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．
A B C D
调整前单件成本/（元/件) 18 26 20 36
调整后单件成本/（元/件) 方案甲 13 32 m 40
方案乙 16 n 18 32
说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前产品的年产量；
（2）直接写出，的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
21．（2025·河北）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；
（3）当时，求的长．
22．（2025·河北）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
23．（2025·河北）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形的周长为 ；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．
（4）［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
①当时，求的值；
②当最大时，直接写出的长．
24．（2025·河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
（1）求，的值及点的坐标．
（2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
（3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A表示下降5°，错误
B表示上升5°，正确
C表示10°，错误
D表示上升15°，错误
故答案为：B
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴180°-∠ABC=110°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设该化石的实际长度为x
∴，解得x=8
故答案为：C
【分析】设该化石的实际长度为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
其左主视图视图为
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴点即为(-2，-3)，再第三象限
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为
∴出现数字3的概率为
∴只能有一个面标有“3”
∴该木块不可能是选项A
故答案为：A
【分析】根据题意求出出现数字3的概率，再结合题意即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】分子根据完全平方公式，分母提公因式进行化简，再将a=-3代入即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AE∥BC
∴∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B
A：当时
∵∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
B：当时
∴∠DCN=∠B
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
C：时
∵∠MAE+∠1=180°，∠DCN+∠4=180°
∴∠DCN=∠MAE
∴△MAE∽△DCN，不符合题意；
D：当时
∵∠AEM+∠2=180°，∠CDN+∠3=180°
∴∠AEM=∠CDN=∠CND
∴不能判断△MAE∽△DCN，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据直线平行性质可得∠AEM=∠CND，∠MAE=∠B，再根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵k=4>0
∴当x>0时，y随x的增大而减小
∴当y=2时，x=2
当y=4时，x=1
∴x的范围为
故答案为：B
【分析】根据反比例函数的性质即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠1
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠ADB=∠A'DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°-，即2∠1=90°-
∴，A错误
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠，B错误
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠C'ED=∠CED
，C错误，D正确
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠ADB=∠1，再根据折叠性质可得∠ADB=∠A'DB，则∠1=∠A'DB，再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设直线FG的解析式为y= kx+b，代入(-1，1)，(0，-1)
，解得：
∴直线FG的解析式为y=-2x-1，
∵点E(1，2)，
A：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时经过原点，对应的EH经过整点(2，1)，符合题意
B：当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位
∴直线FG平移后的解析式为
此时原点在FG下方，对应的EH在整点(2，1)上方，不符合题意
C：当E为时，平移方式为向右平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合题意，
D.当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线FG平移后的解析式为
此时点E在正方形内部，不符合颗题意
故答案为：A
【分析】设直线FG的解析式为y= kx+b，根据待定系数法将点(-1，1)，(0，-1)代入解析式可得直线FG的解析式为y=-2x-1，求出点E坐标，再根据函数图象的平移性质逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】合并同类项的法则指的是系数和系数相加，字母和字母的指数不变.
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵平行四边形两个邻边分别长为3和4
∴它的对角线n的取值范围为4-3即为1∴n的值可以为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
15．【答案】99
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：
∴a+b=99
故答案为：99
【分析】根据题意建立方程组，解方程可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；垂径定理；已知正弦值求边长；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O
由图可得，线段AB的长与其他的都不相等
∵数字1-12对应的点均匀分布在同一个圆上
∴相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为360÷12=30°
∴∠AOB=30°×5=150°
∴
∵OD⊥AB
∴∠BOD=75°
∴
即
∴
∵OA=OB，OD⊥AB
∴
∴这条线段的长为
故答案为：
【分析】设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点O，由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，由题意可得相邻两个数字与圆心O的组成的圆心角为=30°，则∠AOB=150°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠BOD=75°，再根据正弦定义建立方程，解方程可得，再根据垂径定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
不等式两边同时除以2得，
数轴见解析过程；
（2）解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴见解析过程；
（3）解：原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：（1）、（2）数轴表示如图：
（3）
解不等式①可得，
解不等式②可得
∴不等式组的解集为
【分析】（1）系数化为1，再将解集在数轴上表示出来即可.
（2）移项，合并同类项，系数化为1，再将解集在数轴上表示出来即可.
（3）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
18．【答案】（1）解：原计算第一步开始出错；
；
（2）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；去括号法则及应用；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据去括号法则可判断原计算第一步开始出错，根据实数的混合运算即可求出答案.
（2）根据绝对值的性质，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
20．【答案】（1）解：调整前总产量为40÷20%=200（万件），
所以C产品的产量为200×15%=60（万件），
则A产品的年产量为200-（70+60+40)=30(万件)
（2）解：，
（3）解：方案甲总成本为30×13+70×22+60×25+40×40=5030(万元）
方案乙总成本为30×16+70×28+60×18+40×32=4800(万元）
4800<5030
所以方案乙总成本较低.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：(2)由题意知，
解得：m=25
∵调整前年产量的中位数为
∴
解得：n=28
【分析】（1）根据D产品的年产量及占比可总产量，再求出C产品的产量，再用总产量减去其他产品的产量即可求出答案.
（2）根据平均数与中位数的定义即可求出答案.
（3）分别求出两种方案的总成本，再比较大小即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴AD=BC=5，∠ADC=90°
∵AE=3，
∴DE=2，
∵DE=DF
∴DE=DF=2
∵OE=OF=2，
∴DE=DF=OE=OF=2，
∴四边形OEDF为正方形，
∴∠EOF=90°
∴
（2）解：连接EF，交BD于点H
∵四边形OEMF为菱形，
∴OE=EM=OF=MF=2，EH⊥MD·
∵OM=OE=OF=2，
∴△OEM，△OFM为等边三角形
∴∠OEM=∠OME=∠OMF=∠OFM=60°
∴
∵四边形ABCD为边长为5的正方形，
∴BD平分∠ADC
∴∠ADB=45°
∴△EDH为等腰直角三角形
∴
∴
（3）解：当∠EOF=150°时
当∠EOF=150°时
综上，当∠EOF=150°，的长为或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得AD=BC=5，∠ADC=90°，再根据边之间的关系可得DE=DF=OE=OF=2，再根据正方形判定定理可得四边形OEDF为正方形，再根据其性质即可求出答案.
（2）连接EF，交BD于点H，根据菱形性质可得OE=EM=OF=MF=2，EH⊥MD，再根据等边三角形判定定理可得△OEM，△OFM为等边三角形，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得EH，再根据正方形性质可得∠ADB=45°，再根据等腰三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）分情况讨论，作出图形，根据弧长公式即可求出答案.
22．【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴ 该铁棒温度的增加量 40℃
（3）解：设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l
由题意可得：
解得：x=48
则x+20=68
∴ 该铁棒温度的增加量68℃.
【知识点】一元一次方程的其他应用；科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）10
（2）解：如图所示
（3）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
②=
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
（2）解：以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（4）解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
【分析】（1）根据矩形性质可得，，再根据矩形周长即可求出答案.
（2）以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
（3）根据矩形性质可得，，根据等腰直角三角形性质可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据直线平行性质可得，再根据垂直平分线性质可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）①过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据题意可得点是矩形的对角线与的交点，则点是的中点，可得，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，再根据勾股定理可得PQ，根据矩形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据边之间的关系可得CQ，BQ，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据正切定义即可求出答案.
②连接交于点，根据题意可得点为和的中点，点在以为直径的上，当与相切时，最大，根据勾股定理可得BD，根据边之间的关系可得，过点作，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得CT，根勾股定理可得CL，再根据切线性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
24．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
（2）解：∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点
（3）解：①∵，
当重合时，则
∵是中点，
∴，
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
联立①②得：或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式可得b，c，再将解析式转换为顶点式，可得顶点坐标.
（2）将代入解析式可得或，再根据抛物线上点的坐标特征进行判断即可求出答案.
（3）①当重合时，则，根据线段中点坐标可得，再根据待定系数法将点M，C坐标代入即可求出答案.
②将点A坐标代入直线AE可得，则直线的解析式为，再将点C坐标代入抛物线解析式可得，联立直线AE解析式，可得，根据二次方程根与系数的关系可得，则，E，将代入可得①，根据判别式可得②，联立①②，解方程组即可求出答案.
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