2.2.1双曲线及其标准方程 同步练习（含解析）——高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时作业

2.2.1双曲线及其标准方程
——高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时作业
1.已知双曲线经过点，，则其标准方程为( )
A. B.
C. D.或
2.若圆与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明、清两代为高峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
4.已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知，为定点，动点P满足，当和时，点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线
6.已知P为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，M为的内心.若，则的面积为( )
A. B.10 C.8 D.6
7.设点F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为( )
A.5 B. C.7 D.9
8.设m是不为零的实数，则“”是“方程表示的曲线为双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.（多选）已知双曲线(，)的两个顶点分别为，，P，Q的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为( )
A. B. C. D.
10.（多选）已知方程和（其中且，），它们所表示的曲线在同一平面直角坐标系中可能出现的是( )
A. B.
C. D.
11.已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为___________.
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过点的弦AB的长为5，若，则的周长是__________.
13.若方程表示双曲线，则实数m的取值范围____.
14.经过点和的双曲线的标准方程是________.
15.已知双曲线，焦距为6，右顶点到渐近线的距离为.
1.求曲线E的方程；
2.过右焦点F作一条直线与双曲线E的右支相交于两点，若存在唯一的点，使得，求m的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：设双曲线方程为，
则，
解得，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
2.答案：B
解析：将代入解得A，B点坐标分别为，，
因为A，B两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在y轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.
故选：B.
3.答案：D
解析：由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点在该双曲线上.设该双曲线的标准方程为（，），则解得所以该双曲线的标准方程是.故选D.
4.答案：A
解析：由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.
故选：A.
5.答案：D
解析：，当时，，点P的轨迹为双曲线的一支；当时，，点P的轨迹为方向上以为端点的一条射线.
6.答案：B
解析：设内切圆的半径为R.由双曲线的标准方程可知，，.因为，所以，即，所以，所以.故选B.
7.答案：D
解析：由双曲线的方程，可知，，则，所以，.因为点在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为，连接，，又点P是双曲线右支上的动点，所以由双曲线定义可得，.而，则两式相加得，当且仅当A，P，三点共线时，等号成立，则的最小值为9.故选D.
8.答案：A
解析：由方程表示的曲线为双曲线得，解得或，所以“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分不必要条件.故选A.
9.答案：AB
解析：四边形的面积为，，得.记四边形内切圆半径为r，则，得.又，.又，结合，可得或双曲线C的方程为或.故选AB.
10.答案：AC
解析：方程，即.方程，即，表示的直线的斜率为，在y轴上的截距为.对于A选项，根据椭圆的特征，得，则此时直线的斜率，在y轴上的截距，观察此选项中的图像可知A正确.
对于B选项，根据椭圆的特征，得，则此时直线的斜率，在y轴上的截距，观察此选项中的图像可知B错误.
对于C选项，根据双曲线的特征，得，，则此时直线的斜率，在y轴上的截距，观察此选项中的图像可知C正确.
对于D选项，根据双曲线的特征，得，，则此时直线的斜率，观察此选项中的图像可知D错误.故选AC.
11.答案：
解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以解得.所以实数m的取值范围为.
12.答案：26
解析：的周长.
13.答案：或
解析：因为方程表示双曲线，则，的系数异号，
而恒成立，
所以，解得或，
故答案为：或.
14.答案：
解析：设双曲线的方程为，则，解得，
故双曲线的标准方程为.
故答案为:
15.答案：1.由题意可得，解得，
∴曲线E的方程为
2.由1可知，
令，
若直线与x轴垂直，
则，
此时，显然不满足题意.
∴可设直线的方程为，
联立方程可得，
解得，
由题意可知，
或.
，
即
∴
由题意可知关于m的方程有且仅有一个实数根，
∴，
化简得，解得，
当时，把代入(*)式，解得，
当时，把代入(*)式，解得，
综上所述， .