1.1 菱形的性质与判定（含详解）2025-206学年数学北师大版（2012）九年级上册课后培优检测

1.1 菱形的性质与判定
1.下列条件中,能判断四边形是菱形的是( )
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直平分
2.如果菱形的两条对角线的长分别为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于( )
A.5 B.4 C.3 D.
3.如图，在中，，将线段沿方向向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形，则a的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.小明用四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案，其中是菱形的有( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图,在菱形中,,,点E在边上,连接,将沿折叠,若点B落在延长线上的点F处,则的长为( )
A.2 B. C. D.
6.如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交，于点E，F，下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，菱形中，，点O是对角线的中点，点E，F分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点O重合时，的长是( )
A. B.2 C.3 D.6
8.如图,在平面直角坐标系中,菱形的对角线的中点O在坐标原点上,,,轴,将菱形绕点O顺时针旋转,每秒旋转,则第秒旋转结束时,点D的对应点的坐标是( )
A. B. C. D.
9.如图,菱形的对角线交于原点O,若点B的坐标为,点D的坐标为,则的值为______.
10.如图,在菱形ABCD中,,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则等于______°.
11.如图,四边形中,E,F,G,H分别是边、、、的中点.若四边形为菱形,则对角线、应满足条件______.
12.如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，，则的长为______.

13.已知：如图，在菱形中，E，F是对角线上两点，连接，，.求证：.
14.如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为对角线互相平分的四边形为平行四边形,且对角线互相垂直的平行四边形为菱形,
所以对角线互相垂直平分的四边形是菱形,
故选D.
2.答案：D
解析：∵
∴
∴，
∴，
∵菱形的两条对角线的长分别为1和5
∴
故选：D
3.答案：A
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∵将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，为菱形，
此时.
故选：A
4.答案：D
解析：四个全等的含角的直角三角板拼成如图所示的三个图案中，
第一个与第三个四边形的四条边都相等，
∴第一个与第三个图形是菱形，
如图，
由四个全等的含角的直角三角板拼成的四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴,，
∴,
∴，
∴四边形是菱形；
故选D
5.答案：D
解析：由折叠的性质可知,,,
在菱形中,,,
,,
,
,
,
,
,
故选：D.
6.答案：D
解析：根据作图可知：垂直平分，
，
点O为的对称中心，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，故B正确；
，
，故A正确；
四边形是菱形，
，故C正确；
与不一定相等，故D错误，
故选：D.
7.答案：C
解析：连接，
∵四边形是菱形，
∴， .
∵点O是的中点，
∴O是、交点（菱形对角线互相平分）.
由于沿翻折得到，点与点O重合，
∴， .
∵
∴，
∴，
∴，
∴、
故选：C.
8.答案：C
解析：如图所示,过点B作轴于点E,
四边形是菱形,
.
,
是等边三角形.
,.
是对角线的中点,
.
轴,
.
轴,
.
.
.
.
菱形绕点O顺时针旋转,每秒旋转,
第秒旋转结束时,菱形旋转了.
,
旋转了周半,此时点D到达了点B的初始位置.
点D的对应点的坐标是.
故选：C.
9.答案：
解析：∵四边形是菱形,且对角线交于原点O,
∴点与点关于原点成中心对称,
,,
.
故答案为：.
10.答案：15
解析：如图,连接BF.
∵四边形是菱形,
∴,
∴,,
∵EF垂直平分线段AB,
∴,
∴,
∵B、D关于直线AC对称,
∴,
∴.
故选答案为：15.
11.答案：
解析：应满足的条件为：.
证明：∵E,F,G,H分别是边、、、的中点,
∴在中,为的中位线,所以且；
同理且,同理可得,
则且,
∴四边形为平行四边形,又,所以,
∴四边形为菱形.
故答案为：.
12.答案：
解析：如图所示，连接交于G，连接.

∵四边形是平行四边形，
∴，即.
∴.
∵以点B为圆心，的长为半径作弧交于点E，
∴.
根据作图过程可知是的平分线.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴四边形是平行四边形.
∴平行四边形是菱形.
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
13.答案：见解析
解析：四边形是菱形，E，F是对角线上两点，
，.
，
，
即.
在和中，，
，
.
14.答案：(1)见解析；
(2)
解析：∵，
∴，
∵AC平分∠BAD，
∴，
∴，
∴，
∵AB=AD，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，AC=8，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理可知，
，
∴菱形的面积，
∵，
∴菱形面积，
∴.