27.4 正多边形和圆（含详解）九年级数学华东师大版（2012）下册课后培优检测
文档属性
| 名称 | 27.4 正多边形和圆（含详解）九年级数学华东师大版（2012）下册课后培优检测 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 973.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-02 21:57:09 | ||
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文档简介
27.4 正多边形和圆——九年级数学华东师大版（2012）下册课后培优检测
1.一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为( )
A. B.1 C. D.
2.如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )
A.1 B. C.2 D.
3.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为( )
A. B. C. D.
4.如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若，则表示实数a的点落在数轴上(如图2)标有四段中的( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
5.若正六边形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别是( )
A.4， B.4，2 C.，2 D.，
6.在下列命题中，正确的是( )
A.任何三角形有且只有一个内切圆
B.三点确定一个圆
C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
7.如图，是的内接正三角BC形，四边形ACEF是的内接正四边形.若线段BC恰是的一个内接正n边形的一条边，则( )
A.16 B.12 C.10 D.8
8.如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离( )
A. B. C.1 D.
9.如图，已知点A是半径为3的上任意一点，以点A为圆心，为半径做弧，交于点B，以点B为圆心，为半径做弧交于点C，同上述作图方法逆时针做出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的周长为_________________.
10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为.若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为___________.
11.如图，是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与的切点，则的度数为_______°.
12.图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图.其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点.若，则_____________.
13.如图，等腰三角形ABC的顶角.和底边BC相切于BC的中点D，并与两腰AC，AB分别相交于E，F，G，H四点，其中G，F分别是两腰AB，AC的中点.求证：五边形DEFGH是正五边形.
14.如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点P.若的半径为1，
(1)求的长；
(2)求的度数.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图，是等边三角形，边长为2，作于点D，
为等边的内切圆，
，
，
，
，
，
故选：C.
2.答案：C
解析：连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵正六边形的周长是12，
∴，
∴的半径是2
故选：C
3.答案：D
解析：连接与交于点O，
为正六边形，
，，
为等边三角形，
，
即正六边形的边长为，
故选：D.
4.答案：C
解析：如图所示，连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和中心构成的三角形都是等边三角形，
∴，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴中，，，
∴，
∴中，，则，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，即，
∴.
故选：C.
5.答案：A
解析：如图，连接，，，
六边形是边长为4的正六边形，
是等边三角形，
，
，
边长为4的正六边形外接圆的半径为4，其内切圆的半径为.
故选：A.
6.答案：A
解析：A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；
B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；
C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；
D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误.
故选：A.
7.答案：B
解析：连接BO，CO，如图，
由题意可得，，，则，，.
8.答案：A
解析：连接OB，OD，OE，
E为的中点，
，，
正方形内接于，
，
，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
，
根据勾股定理可得：，
设，则，
根据勾股定理可得：，，
，
解得：，
即，
，
故选：A.
9.答案：
解析：的半径为3，
根据作图过程可得：，
这个多边形的周长为：，
即这个多边形的周长为.
故答案为：.
10.答案：
解析：如图，连接OA，OB，则，过点A作于点C，则，正八边形的面积为，，，即的估计值为.
11.答案：36
解析：如图，连接OM，ON.
M，N，F分别是AE，AB，CD与的切点，
，，
，
，
，
，
故答案为：36.
12.答案：/
解析：连接，，过C作于T，
在正八边形中，，，
，
，，
，，
，则，
，
，
，
在中，，，
等腰直角三角形，则，
由勾股定理得，
，则，
，
故答案为：.
13.答案：证明见解析
解析：证明：G，F分别是AB，AC的中点，，，
，且，，
.
.
如图所示，连接GD，OH，OD.
G，D分别是AB，BC的中点，.
，.
..
又，，.
.
同理，，.
.
.
G，H，D，E，F为的五等分点，
五边形DEFGH是正五边形.
14.答案：(1)
(2)
解析：（1）如图，连接，，与交于点Q，
由题意可知，，，
多边形是正八边形，
，
，
，
；
（2）所对的圆心角为，
所对的圆周角为，
，
.
1.一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为( )
A. B.1 C. D.
2.如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )
A.1 B. C.2 D.
3.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的边长为( )
A. B. C. D.
4.如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若，则表示实数a的点落在数轴上(如图2)标有四段中的( )
A.段① B.段② C.段③ D.段④
5.若正六边形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别是( )
A.4， B.4，2 C.，2 D.，
6.在下列命题中，正确的是( )
A.任何三角形有且只有一个内切圆
B.三点确定一个圆
C.三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等
D.垂直于半径的直线一定是这个圆的切线
7.如图，是的内接正三角BC形，四边形ACEF是的内接正四边形.若线段BC恰是的一个内接正n边形的一条边，则( )
A.16 B.12 C.10 D.8
8.如图，正方形内接于，E为的中点，直线交于点F，如果的半径为，则点O到的距离( )
A. B. C.1 D.
9.如图，已知点A是半径为3的上任意一点，以点A为圆心，为半径做弧，交于点B，以点B为圆心，为半径做弧交于点C，同上述作图方法逆时针做出点D，E，F，依次连接，则这个多边形的周长为_________________.
10.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416.如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为.若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为___________.
11.如图，是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与的切点，则的度数为_______°.
12.图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图.其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点.若，则_____________.
13.如图，等腰三角形ABC的顶角.和底边BC相切于BC的中点D，并与两腰AC，AB分别相交于E，F，G，H四点，其中G，F分别是两腰AB，AC的中点.求证：五边形DEFGH是正五边形.
14.如图所示，已知正八边形内接于，连接、，相交于点P.若的半径为1，
(1)求的长；
(2)求的度数.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图，是等边三角形，边长为2，作于点D，
为等边的内切圆，
，
，
，
，
，
故选：C.
2.答案：C
解析：连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵正六边形的周长是12，
∴，
∴的半径是2
故选：C
3.答案：D
解析：连接与交于点O，
为正六边形，
，，
为等边三角形，
，
即正六边形的边长为，
故选：D.
4.答案：C
解析：如图所示，连接BE、CE，CF，则O为正六边形的中心，
∵正六边形的每个中心角都是60°，
∴每条边和中心构成的三角形都是等边三角形，
∴，
∵正六边形的每个内角都是120°，
∴中，，，
∴，
∴中，，则，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∵，即，
∴.
故选：C.
5.答案：A
解析：如图，连接，，，
六边形是边长为4的正六边形，
是等边三角形，
，
，
边长为4的正六边形外接圆的半径为4，其内切圆的半径为.
故选：A.
6.答案：A
解析：A、任何三角形有且只有一个内切圆，则A正确；
B、不共线的三点确定一个圆，则B错误；
C、三角形内心到三边的距离相等，则C错误；
D、过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，则D错误.
故选：A.
7.答案：B
解析：连接BO，CO，如图，
由题意可得，，，则，，.
8.答案：A
解析：连接OB，OD，OE，
E为的中点，
，，
正方形内接于，
，
，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
，
根据勾股定理可得：，
设，则，
根据勾股定理可得：，，
，
解得：，
即，
，
故选：A.
9.答案：
解析：的半径为3，
根据作图过程可得：，
这个多边形的周长为：，
即这个多边形的周长为.
故答案为：.
10.答案：
解析：如图，连接OA，OB，则，过点A作于点C，则，正八边形的面积为，，，即的估计值为.
11.答案：36
解析：如图，连接OM，ON.
M，N，F分别是AE，AB，CD与的切点，
，，
，
，
，
，
故答案为：36.
12.答案：/
解析：连接，，过C作于T，
在正八边形中，，，
，
，，
，，
，则，
，
，
，
在中，，，
等腰直角三角形，则，
由勾股定理得，
，则，
，
故答案为：.
13.答案：证明见解析
解析：证明：G，F分别是AB，AC的中点，，，
，且，，
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.
如图所示，连接GD，OH，OD.
G，D分别是AB，BC的中点，.
，.
..
又，，.
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同理，，.
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G，H，D，E，F为的五等分点，
五边形DEFGH是正五边形.
14.答案：(1)
(2)
解析：（1）如图，连接，，与交于点Q，
由题意可知，，，
多边形是正八边形，
，
，
，
；
（2）所对的圆心角为，
所对的圆周角为，
，
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