1.1.2 空间向量基本定理(含解析)——高二数学人教B版(2019)选择性必修一同步课时作业

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名称 1.1.2 空间向量基本定理(含解析)——高二数学人教B版(2019)选择性必修一同步课时作业
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-02 21:53:47

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1.1.2 空间向量基本定理
——高二数学人教B版(2019)选择性必修一同步课时作业
1.已知空间向量,,则下列向量可以与,构成空间向量的一组基底的是( )
A. B. C. D.
2.已知是空间的一个基底,则可以与向量,构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
3.若向量是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:,我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为,则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
4.在下列命题中正确的是( )
A.已知,,是空间三个向量,则空间任意一个向量总可以唯一表示为
B.若,所在的直线是异面直线,则,不共面
C.若三个向量,,两两共面,则,,共面
D.已知A,B,C三点不共线,若,则A,B,C,D四点共面
5.已知是单位正交基底,且,则的坐标为( )
A. B. C. D.
6.在正方体中,若点M是侧面的中心,则在基下的坐标为( )
A. B. C. D.
7.(多选)关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.已知,,则在上的投影向量为
B.已知两个向量,且,则
C.设是空间中的一组基底,则也是空间的一组基底
D.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
8.(多选)给出下列命题,其中正确的有( )
A.空间中任意两个向量一定共面
B.若空间向量,,则与的夹角为钝角
C.若是空间的一个基底,则,,中任意两个向量不共线
D.若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
9.(多选)下列说法正确的是( )
A.若A,B,C,D是空间任意四点,则有
B.单位正交基底中的基向量模为1,且互相垂直
C.将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点轨迹是一个圆
D.若空间向量,,满足,,则
10.在四棱锥PABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,,,,,试用基底表示向量________.
11.若是空间的一个基底,且向量,,不能构成空间的一个基底,则实数___________.
12.已知,,,均为空间向量,其中,,,若从,,,这4个向量中任取3个向量,均能构成空间中的一组基底,则向量的坐标可以为__________.
13.在平行六面体中,,,,,.M为的中点,若,,.
(1)用基底表示向量;
(2)求向量的长度.
14.如图,在空间四边形ABCD中,,,,E为BC的中点,F在CD上,且.
(1)以,,为基底,表示;
(2),,,,,求.
15.如图,在空间四边形中,点D为的中点,,设,,.
(1)试用向量,,表示向量,;
(2)若,,求的值.
答案以及解析
1.答案:B
解析:对于A,由于基底向量不能是零向量,故A错误,
对于B,由于与,不共面,符合基底要求,故B正确,
对于C,,故,,共面,不符合要求,C错误,
对于D,,故,,共面,不符合要求,D错误,故选:B
2.答案:A
解析:对于A选项,不存在,使得成立,故能构成空间的另一个基底;
对于B选项,,故不能构成空间的另一个基底;
对于C选项,,故不能构成空间的另一个基底;
对于D选项,,故不能构成空间的另一个基底.故选:A.
3.答案:D
解析:设,又,
,解得,即.所以向量在基底下的斜坐标为.故选:D.
4.答案:D
解析:对于A,若,,三个向量共面,在平面,则空间中不在平面的向量不能用,,表示,所以A错误,
对于B,因为向量是自由向量,是可以自由平移,所以当,所在直线是异面直线时,,有可能共面,所以B错误,
对于C,当三个向量,,两两共面时,如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面,但这3个向量不共面,所以C错误,
对于D,因为A,B,C三点不共线,,且,所以A,B,C,D四点共面,所以D正确,故选:D
5.答案:A
解析:根据空间向量坐标的定义知的坐标为.故选:A
6.答案:D
解析:连接(图略),由题可知,M为的中点,
,在基下的坐标为.故选:D
7.答案:BC
解析:对于A,因为,,所以,,所以在上的投影向量为,故A错误;
对于B,因为,所以因为,,所以,
解得,所以,故B正确;
对于C,设是空间中的一组基底,则,,不共面,假设,,共面,则,显然无解,所以,,不共面,则也是空间的一组基底,故C正确;
对于D,,但,则P,A,B,C四点不共面,故D错误.故选:BC.
8.答案:ACD
解析:对于A,因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合,成为同一个平面的两个向量,故A正确;
对于B,,故B不正确;
对于C,基底的性质知,空间基底是由非零且不共面的三个向量构成,故C正确;
对于D,由是空间的一个基底,设,显然不存在实数x,y使得成立,所以,,一定不共面,则也是空间的一个基底,故D正确;故选:ACD.
9.答案:ABD
解析:对于A:若A,B,C,D是空间任意四点,则有,A选项正确;
对于B:单位正交基底中的基向量模为1,且互相垂直,B选项正确;
对于C,根据空间向量的定义,空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个球面,故C选项错误;
对于D,根据向量相等的定义,空间向量,,满足,,则明显成立,故D选项正确.故选:ABD.
10.答案:
解析:因为,所以,又,
所以故答案为:
11.答案:-1
解析:由,,不能构成空间的一个基底,则存在,使得,即,所以,解得.故答案为:-1.
12.答案:(答案不唯一)
解析:∵,,,∴,∴,,
∴可以构成空间的单位正交基底,设,则,∵从,,,这4个向量中任取3个向量,均能构成空间中的一组基底,∴与,,中的任意两个向量均不共面,根据平面向量基本定理可得x,y,z均不为零,∴向量的坐标可以为(答案不唯一).故答案为:(答案不唯一).
13.答案:(1)
(2)
解析:(1)由题意可得,
故.
(2)由条件得,,,,,,

14.答案:(1)
(2)
解析:(1)

(2)由(1)得,
15.答案:(1),
(2)
解析:(1),
.
(2)因为,,,
所以,
所以,

所以