1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
——高二数学人教B版(2019)选择性必修一同步课时作业
1.若,在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.已知是直线l的方向向量,是平面的法向量,若,则( )
A. B. C., D.,
3.已知直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,若,则t值为( )
A.-3 B.1 C. D.
4.空间中,已知两条直线m,n,其方向向量分别为,,则“”是“m与n所成角为”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
5.如图,已知多面体中,底面是边长为2的正方形,,,平面,平面,,若异而直线与所成的角的余弦值为,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,若直线、所成的角等于,则( )
A.0 B. C. D.2
7.(多选)已知,,是空间中的三个点,则( )
A.向量的模长为4
B.直线的一个方向向量为
C.向量在向量方向上的投影向量为
D.若,则A,B,C,D四点共面
8.(多选)给出下列命题,其中是真命题的是( )
A.若直线l的方向向量,直线m的方向向量,则l与m垂直
B.若直线l的方向向量,平面的法向量,则或
C.若平面,的法向量分别为,,则
D.若向量,,则向量在上的投影向量
9.(多选)已知空间中三点,,,则( )
A.与是共线向量
B.直线AB的一个方向向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面ABC的一个法向量是
10.已知直线l过点,,且是直线l的一个方向向量,则__________.
11.已知异面直线,的方向向量分别为,,则,的夹角大小为__________.
12.已知,在直线l上,写出直线l的一个方向向量:_________.(坐标表示)
13.在平行六面体中,,,,O是与的交点.以为空间的一个基底,求直线OA的一个方向向量.
14.如图,在三棱锥中,E是CD的中点,点F在AE上,且.设,求直线AE,BF的方向向量.
15.如图,,坐标原点O是的中点,点的坐标为,点D在平面上,且,.
(1)求向量的坐标;
(2)求与的夹角的余弦值.
答案以及解析
1.答案:B
解析:因为A,B在直线l上,所以,与共线的向量可以是直线l的一个方向向量,其他选项经验证与均不共线.故选:B.
2.答案:C
解析:,,,解得,,所以C正确.故选:C.
3.答案:A
解析:因为直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,,
所以,设,则,,所以,.故选:A.
4.答案:A
解析:由,可以推出m与n所成角为,但m与n所成角为时,或,
所以是m与n所成角为的充分不必要条件.故选:A.
5.答案:C
解析:以点A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,所以,,
,可得,所以,,所以,可得.故选:C.
6.答案:B
解析:由题意可得,解得.故选:B.
7.答案:BD
解析:,,,,,
对于A:,故A错误;
对于B:直线的方向向量与共线,而,直线的一个方向向量是,故B正确;
对于C:,,向量在向量方向上的投影向量为,故C错误;
对于D:,,与不共线,,,
设存在唯一实数对使得,
则,,,
存在唯一实数对使得,与、共面,即A,B,C,D四点共面,故D正确.故选:BD.
8.答案:ABD
解析:对于A,,则,所以直线l与m垂直,故A是真命题;
对于B,,则,所以或,故B是真命题;
对于C,,所以不成立,故C是假命题;
对于D,在上的投影为,则向量在上的投影向量,故D是真命题.故选:ABD.
9.答案:BCD
解析:空间中三点,,,
对于A,,,显然,即与不是共线向量,A不正确;
对于B,因,则直线AB的一个方向向量是,B正确;
对于C,,则,C正确;
对于D,由选项A知,向量,不共线,令,
则,即,
因此是平面ABC的一个法向量,D正确.故选:BCD
10.答案:
解析:由题意,得.因为是直线l的一个方向向量,所以,所以,所以所以.
11.答案:
解析:因为,故,所以,故,的夹角大小为.
12.答案:(答案不唯一)
解析:由于,,所以直线l的一个方向向量.故答案为:(答案不唯一).
13.答案:
解析:因为,,,如图,
,因为,,
所以,所以直线OA的一个方向向量为.
14.答案:见解析
解析:如答图,连接BE,取直线AE,BF的方向向量,
.
.
15.答案:(1)
(2)
解析:(1)过点D作于点E,由题意,,,则,
,所以,
因为,O是的中点,所以,所以.
(2),所以,,所以,,
所以,则与的夹角的余弦值为
.