(共16张PPT)
1.利用相似的直角三角形，探索并理解正切的概念.
2.能根据正切的定义公式进行相关计算.
理解正切的概念
根据正切的定义公式进行相关计算.
难点
重点
如图，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距灯塔多少千米？（结果保留两位小数）
事实上，求轮船距灯塔的距离，就是在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠BAC＝55°，AC=5 km，求BC长度的问题.
解决此问题，需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系.
知识点 正切的概念
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，
即
对
边
A
B
C
c
a
邻边b
斜边
正切的表示
“tanA”是一个完整的符号，单独写符号tan是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” .
1.省去“∠”的情况：当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，如：tan A，tan α .
2.不能省去“∠”的情况：当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，如：tan ∠ ABC，tan ∠ 1 .
在Rt△ABC中，∠C＝90°.
（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．
（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列
各式正确的是（ ）
A.tanA= B.tanA=
CtanC= DtanC=
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，
tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），
则tan α = .
O
P( 3 , 4 )
A
1.如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
1.5
A
B
C
D
3
解：∵△ABC是等腰直角三角形， BD⊥AC，
∴CD＝1.5，
∴
2.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，
∵BD=5，AD=12.
∴ .
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，
∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，
∵ M、N两点关于对角线AC对称,
∴ DM=1BN=DM=1.
tan∠AND=tan∠DNC= .
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，
与三角形边的长短无关(共20张PPT)
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第1课时 正 切
练基础
知识点1 正切的定义
D
D
3. 如图，已知P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（12，5），则tan α=_______.
4.（教材P106练习T2改编）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=7.5，则tan A的值是_______.
【变式】 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c=3a，则tan B的值为________.
知识点2 已知锐角的正切值求线段的长度
A
5
知识点3 特殊角的正切值
B
C
9.（邢台信都期中）如图，若tan 30°的值用一个点在数轴上表示，则这个点的位置可能落在段 （ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
A
10. 计算：
（1）tan 30°tan 60°-tan 45°tan 60°； （2）3tan 30°+ | tan 60°-2 | .
练提升
C
45°或60°
14.（新情境 数学文化）（湖南张家界中考）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了
中国古代数学的成就. 如图，已知大正方形ABCD的面积是
100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan ∠ADF=________.
练素养
60°
26.1 锐角三角函数
课题 第1课时 正切 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P104-106
教学目标 ⒈通过实例使学生理解并认识锐角三角函数正切的概念 ⒉正确理解正切符号的含义，掌握锐角三角函数正切的表示； 3.学会根据定义求锐角的正切值 4.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边的比值也都固定这一事实．
教学重难点 重点：理解正切的定义. 难点：能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.直角三角形两锐角、三边之间的关系： 如图1，在Rt △ABC中，∠C＝90°. 两锐角关系：∠A+∠B＝90°. 三边关系：AC 2 + BC 2 ＝AB2. 如图，轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上,轮船向东航行5 km达到Ｃ处时，灯塔在轮船的正北方，此时轮船距灯塔多少千米？ 复习回顾已学的三角形的边角关系，便于学习本节课新知识. 通过实际情境引入本节课要学的新知识，让学生体会数学与实际生活的联系，提高学习兴趣.
2.实践探究，学习新知 【探究】 1.在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么与有什么关系.能解释一下吗？ 学生活动：学生回答＝. 2.如图所示，已知∠EAF<90°，BC⊥AF，B'C'⊥AF，垂足分别为C，C'.与具有怎样的关系 学生活动：学生回答＝. 教师活动:总结：在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A(小于90°)确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的. 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与∠A的邻边的比都是一个固定值. 【总结】 ∠A的正切的定义: 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c. ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝＝. 师生活动：教师提问，学生回答. 思考： (1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体 学生回答：tan A表示的是一个整体. (2)当∠A的大小变化时，tan A是否变化 学生回答：tan A随着∠A的大小变化而变化. (3)tan A有单位吗 学生回答：tan A是一个比值，没有单位. (4)∠B的正切怎么表示 tan A与tan B之间有怎样的关系 学生回答：tan B=，tan A tan B=1 (5)要求一个锐角的正切值，我们需要知道直角三角形中的哪些边 学生回答：需要知道这个锐角的对边和邻边. (6)若知道直角三角形的斜边和一直角边，你能求一个锐角的正切值吗 学生回答：根据勾股定理求出另一直角边，再根据正切定义求解. 【注意】 1.正切是一个比值，没有单位. 2.正切值只与角的大小有关，与三角形的大小无关. 3.tan A是一个整体符号，不能写成tan A，tan A不表示“tan”乘以“A ”. 4.当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC. 5.tan2A表示(tan A)2，而不能写成tan A2. 【例题】 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)如图(1)所示，∠A=30°，求tan A，tan B的值. (2)如图(2)所示，∠A=45°，求tan A的值. （1） （2） 解：(1)在Rt△ABC中， ∵ ∠A=30°， ∴ ∠B＝60°，且a＝. ∴ b＝. ∴ ， . (2)在Rt△ABC中， ∵∠A=45°，∴a=b. ∴tan A=tan 45°＝. 这样，就得到 tan 30°＝，tan 45°=1，tan 60°＝. 把分析问题的过程设置成小问题的形式,通过教师的引导或者小组合作交流,学生层层递进的方式分析并解决问题,降低了学习难度,进一步培养学生分析问题的能力. 通过归纳总结，明确正切的定义. 通过一个个小问题慢慢引出三角形正切的注意事项. 通过例题的训练，让学生进一步熟悉在直角三角形中如何求锐角的正切，提高学生对所学知识的应用意识.
3.学以致用，应用新知 考点1 正切的定义 练习1 如图，在中，，，，，则( )
A. B. C. D. 答案：C 变式训练1 已知在中，，tan A=，BC=8，则AC的长为______. 答案：16 考点2 特殊锐角的正切值 练习2 求tan 30°tan 60°+tan 45°tan 60°. 解：原式=×+1× =1+ 变式训练2 若tan(α+10°)=1，则锐角α的度数为（ ） A.40° B.35° C.20° D.10° 答案：B 巩固求三角形正切值的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则tan A等于( ) A. B. C. D. 答案：B 2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值 ( ) A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 答案：A 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tan B的值是( ) A. B.3 C. D.2 答案：D 4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=，BC=12，则AC等于 . 答案：9 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tan A＝ . 答案： 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____. 答案： 8.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若tan A=，BC=9，求AB的长; (2)若tan B=，AC=16，求AB的长. 解：（1）∵tan A＝， 又BC=9，∴AC=12. 由勾股定理可得AB＝＝15. ∴AB的长为15. （2）∵tan B=，AC＝16，∴ BC＝12. 由勾股定理可得AB＝＝20. ∴ AB的长为20. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识：正切 锐角∠A的正切： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作tan A， tan A＝ ＝. 【注意】 tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P106练习，习题A组，B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 26.1 锐角三角函数 第1课时 正切 【探究】 正切： 在Rt△ABC中，∠C=90°. tan A＝ ＝. 例1 例2 提纲掣领，重点突出.
教后反思 三角函数不同于已学过的一次函数、反比例函数、二次函数,它的概念、形式和应用方式都不同,因此在最初学习如何应用时较为“别扭”,学生还处于模仿阶段,既要重视对题目的理解、形成一定的解题思路,也要重视书写格式. 反思，更进一步提升.
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