冀教版九年级数学上册第二十六章解直角三角形26.1锐角三角函数第1课时 课件(共36张PPT)+教案

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名称 冀教版九年级数学上册第二十六章解直角三角形26.1锐角三角函数第1课时 课件(共36张PPT)+教案
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文件大小 4.0MB
资源类型 试卷
版本资源 冀教版
科目 数学
更新时间 2025-07-05 14:51:09

文档简介

(共16张PPT)
1.利用相似的直角三角形,探索并理解正切的概念.
2.能根据正切的定义公式进行相关计算.
理解正切的概念
根据正切的定义公式进行相关计算.
难点
重点
如图,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米?(结果保留两位小数)
事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题.
解决此问题,需要用到将要学习的直角三角形边角之间的关系.
知识点 正切的概念
思考
在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作:tanA ,



A
B
C
c
a
邻边b
斜边
正切的表示
“tanA”是一个完整的符号,单独写符号tan是没有意义的,表达时有时要省去角的符号“∠” .
1.省去“∠”的情况:当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时,如:tan A,tan α .
2.不能省去“∠”的情况:当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时,如:tan ∠ ABC,tan ∠ 1 .
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图(1),∠A=30°,求tanA,tanB的值.
(2)如图(2),∠A=45°,求tanA的值.
例1
1.在△ABC中,已知AC=5,BC=4,AB=3.那么下列
各式正确的是( )
A.tanA= B.tanA=
CtanC= DtanC=
A
2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,
tanA的值( )
A.扩大100倍 B.缩小
C.不变 D.不能确定
C
3. 如图, P是平面直角坐标系上的一点,且点P的坐标为(3,4),
则tan α = .
O
P( 3 , 4 )
A
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗?
1.5
A
B
C
D
3
解:∵△ABC是等腰直角三角形, BD⊥AC,
∴CD=1.5,

2.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∴在Rt△ABD中,
∵BD=5,AD=12.
∴ .
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1,求tan∠ADN的值.
解:由正方形的性质可知,
∠ADN=∠DNC,BC=DC=4,
∵ M、N两点关于对角线AC对称,
∴ DM=1BN=DM=1.
tan∠AND=tan∠DNC= .
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关,
与三角形边的长短无关(共20张PPT)
第二十六章 解直角三角形
26.1 锐角三角函数
第1课时 正 切
练基础
知识点1 正切的定义

D
D
3. 如图,已知P是∠α的边OA上一点,且点P的坐标为(12,5),则tan α=_______.

4.(教材P106练习T2改编)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=7.5,则tan A的值是_______.
【变式】 在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且c=3a,则tan B的值为________.


知识点2 已知锐角的正切值求线段的长度
A
5



知识点3 特殊角的正切值
B

C
9.(邢台信都期中)如图,若tan 30°的值用一个点在数轴上表示,则这个点的位置可能落在段 (  )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
A
10. 计算:
(1)tan 30°tan 60°-tan 45°tan 60°; (2)3tan 30°+ | tan 60°-2 | .

练提升
C



45°或60°
14.(新情境 数学文化)(湖南张家界中考)我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时,用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形,这个图被称为“弦图”,它体现了
中国古代数学的成就. 如图,已知大正方形ABCD的面积是
100,小正方形EFGH的面积是4,那么tan ∠ADF=________.



练素养
60°
26.1 锐角三角函数
课题 第1课时 正切 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P104-106
教学目标 ⒈通过实例使学生理解并认识锐角三角函数正切的概念 ⒉正确理解正切符号的含义,掌握锐角三角函数正切的表示; 3.学会根据定义求锐角的正切值 4.使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边与邻边的比值也都固定这一事实.
教学重难点 重点:理解正切的定义. 难点:能够根据直角三角形的边角关系,用正切进行简单的计算.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计(教学过程) 设计意图
1.创设情景,导入新课 【复习回顾】 1.直角三角形两锐角、三边之间的关系: 如图1,在Rt △ABC中,∠C=90°. 两锐角关系:∠A+∠B=90°. 三边关系:AC 2 + BC 2 =AB2. 如图,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上,轮船向东航行5 km达到C处时,灯塔在轮船的正北方,此时轮船距灯塔多少千米? 复习回顾已学的三角形的边角关系,便于学习本节课新知识. 通过实际情境引入本节课要学的新知识,让学生体会数学与实际生活的联系,提高学习兴趣.
2.实践探究,学习新知 【探究】 1.在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,∠A=∠A′=α,那么与有什么关系.能解释一下吗? 学生活动:学生回答=. 2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'.与具有怎样的关系 学生活动:学生回答=. 教师活动:总结:在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的. 这就是说,在Rt△ABC中,当锐角∠A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与∠A的邻边的比都是一个固定值. 【总结】 ∠A的正切的定义: 在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A的对边为a,∠A的邻边为b,斜边为c. ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A, 即tan A==. 师生活动:教师提问,学生回答. 思考: (1)∠A的正切tan A表示的是tan 与A的乘积还是一个整体 学生回答:tan A表示的是一个整体. (2)当∠A的大小变化时,tan A是否变化 学生回答:tan A随着∠A的大小变化而变化. (3)tan A有单位吗 学生回答:tan A是一个比值,没有单位. (4)∠B的正切怎么表示 tan A与tan B之间有怎样的关系 学生回答:tan B=,tan A tan B=1 (5)要求一个锐角的正切值,我们需要知道直角三角形中的哪些边 学生回答:需要知道这个锐角的对边和邻边. (6)若知道直角三角形的斜边和一直角边,你能求一个锐角的正切值吗 学生回答:根据勾股定理求出另一直角边,再根据正切定义求解. 【注意】 1.正切是一个比值,没有单位. 2.正切值只与角的大小有关,与三角形的大小无关. 3.tan A是一个整体符号,不能写成tan A,tan A不表示“tan”乘以“A ”. 4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如tan∠ABC. 5.tan2A表示(tan A)2,而不能写成tan A2. 【例题】 例1 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值. (2)如图(2)所示,∠A=45°,求tan A的值. (1) (2) 解:(1)在Rt△ABC中, ∵ ∠A=30°, ∴ ∠B=60°,且a=. ∴ b=. ∴ , . (2)在Rt△ABC中, ∵∠A=45°,∴a=b. ∴tan A=tan 45°=. 这样,就得到 tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=. 把分析问题的过程设置成小问题的形式,通过教师的引导或者小组合作交流,学生层层递进的方式分析并解决问题,降低了学习难度,进一步培养学生分析问题的能力. 通过归纳总结,明确正切的定义. 通过一个个小问题慢慢引出三角形正切的注意事项. 通过例题的训练,让学生进一步熟悉在直角三角形中如何求锐角的正切,提高学生对所学知识的应用意识.
3.学以致用,应用新知 考点1 正切的定义 练习1 如图,在中,,,,,则( )
A. B. C. D. 答案:C 变式训练1 已知在中,,tan A=,BC=8,则AC的长为______. 答案:16 考点2 特殊锐角的正切值 练习2 求tan 30°tan 60°+tan 45°tan 60°. 解:原式=×+1× =1+ 变式训练2 若tan(α+10°)=1,则锐角α的度数为( ) A.40° B.35° C.20° D.10° 答案:B 巩固求三角形正切值的方法,加深对所学知识的理解,提高学生知识的综合运用能力.
4.随堂训练,巩固新知 1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,三边分别为a,b,c,则tan A等于(  ) A.     B.      C.       D. 答案:B 2.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正切值 (  ) A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 答案:A 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tan B的值是(  ) A.   B.3    C.   D.2 答案:D 4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,BC=12,则AC等于    . 答案:9 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,,则tan A=    . 答案:                      7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD=____. 答案: 8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)若tan A=,BC=9,求AB的长; (2)若tan B=,AC=16,求AB的长. 解:(1)∵tan A=, 又BC=9,∴AC=12. 由勾股定理可得AB==15. ∴AB的长为15. (2)∵tan B=,AC=16,∴ BC=12. 由勾股定理可得AB==20. ∴ AB的长为20. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.
5.课堂小结,自我完善 本节课所学知识:正切 锐角∠A的正切: 如图,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做 ∠A的正切,记作tan A, tan A= =. 【注意】 tan A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P106练习,习题A组,B组 课后练习巩固,让所学知识得以运用,提高计算能力和做题效率.
板书设计 26.1 锐角三角函数 第1课时 正切 【探究】       正切: 在Rt△ABC中,∠C=90°.   tan A= =. 例1 例2 提纲掣领,重点突出.
教后反思 三角函数不同于已学过的一次函数、反比例函数、二次函数,它的概念、形式和应用方式都不同,因此在最初学习如何应用时较为“别扭”,学生还处于模仿阶段,既要重视对题目的理解、形成一定的解题思路,也要重视书写格式. 反思,更进一步提升.
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