高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章2.1等式性质与不等式性质 同步练习（含答案）

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高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章2.1等式性质与不等式性质
一、单选题
1．（2024高一上·浙江期中）若实数满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·洛阳期末）设 ， ，则 ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
3．（2022高一上·河南月考）已知，则（　　）
A． B．
C． D．的大小无法确定
4．下列不等式中不成立的是（　　）
A．﹣1＞﹣2 B．﹣1＜2 C．﹣1≥﹣1 D．﹣1≤﹣2
5．（2024高一上·北京市期中）对，表示不超过x的最大整数，我们把，称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，，则
6．（2019高一下·丽水期末）若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高三上·九龙期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成的无字证明为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．（2025高一下·潍坊月考）下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
9．（2023高一上·忠县月考） 生活经验告诉我们， 克糖水中有克糖， 且， 若再添加克糖后， 糖水会更甜， 于是得出一个不等式：. 趣称之为“糖水不等式”. 根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（　　）
A．若 ， 则与的大小关系随的变化而变化
B．若 ， 则
C．若 ， 则
D．若 ， 则一定有
三、填空题
10．（2022高一上·通榆月考）已知，则与的大小关系为　 　.
11．（2023高一上·马龙期中）若且，则　 　0．（填“”、“”或“”）
12．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A与B的大小关系为　 　．
13．若a＞b＞c＞0，则，，，c从小到大的顺序是　 　 ．
14．（2022高一上·杨浦期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是　 　.
15．（2018高二下·滦南期末）设 ， 则 与 的大小关系是　 　．
四、解答题
16．（2023高一上·佛山期中）已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
17．（2023高一上·五华开学考）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
18．（2023高一上·重庆市月考）
（1）已知，，求，的取值范围
（2）已知，且，，试比较与的大小.
19．（2016高一上·浦东期中）比较 与（ ）2的大小．
20．（2024高二下·顺义期中）已知集合，对于，，定义与之间的距离为．
（1）已知，写出所有的，使得；
（2）已知，若，并且，求的最大值；
（3）设集合中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证
21．（2023高一上·吉林月考）阅读材料：
（1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.
在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸
（2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质．
解答问题：
已知a，b，c是三角形的三边，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
2．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
3．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
5．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式
6．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
7．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
8．【答案】B,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
9．【答案】C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
10．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
11．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
12．【答案】A＞B
【知识点】不等关系与不等式
13．【答案】c＜＜＜
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
14．【答案】
【知识点】不等关系与不等式
15．【答案】A≥B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
16．【答案】（1）解：集合，．
或，
时，，
（2）解：若，则，
当时，，解得，成立；
当时，，
解得，
综上实数的取值范围为
【知识点】交、并、补集的混合运算；不等关系与不等式
17．【答案】（1）解：设足球单价为 元， 则篮球单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的解， 符合题意，
.
故足球单价为 60 元， 篮球单价为 90 元.
（2）解：设学校可以购买 个篮球，
由题意得：
，
即，
解得；
为整数，
最大为 116 .
故学校最多可以购买 116 个篮球.
【知识点】不等关系与不等式
18．【答案】（1）解：∵，，
∴，.
∴.
又，
∴
（2）解：，
因为且，，
所以；
又因为，所以，，
所以．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
19．【答案】解： ﹣（ ）2= ﹣ （a2+b2+2ab）= （a2+b2﹣2ab）= （a﹣b）2≥0，
∴ ≥（ ）2
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
20．【答案】（1）解：已知，，且，
所以的所有情形有：、、、；
（2）解：设，，
因为，则，
同理可得，
当时，；
当时，.
当，时，上式等号成立.
综上所述，；
（3）证明：记，
我们证明．一方面显然有．另一方面，且，
假设他们满足．则由定义有，
与中不同元素间距离至少为相矛盾．
从而．
这表明中任意两元素不相等．从而．
又中元素有个分量，至多有个元素．
从而．
【知识点】元素与集合的关系；不等关系与不等式
21．【答案】（1）解：依题意，得，，
要证“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，即证成立，
即证成立，整理得，即证，
，显然成立，不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越咸”.
（2）解：因为a，b，c是三角形的三边，则，
由材料（1）知，，
同理，，由材料（2）得：
，，所以原不等式成立．
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
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