高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章2.2基本不等式 同步练习(含答案)

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名称 高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章2.2基本不等式 同步练习(含答案)
格式 docx
文件大小 49.1KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-03 17:48:05

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文档简介

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高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章
2.2基本不等式
一、单选题
1.(2020高二上·怀仁月考)已知 ,且 ,则 的最小值是(  )
A.2 B.6 C.3 D.9
2.(2021高一下·运城期末)向量 , ,其中 , 且 ,则 的最小值为(  )
A.9 B.8 C.7 D.
3.(2019高二上·阳江月考)设 ,且 ,则 的最小值为(  )
A.1 B.4 C.2 D.
4.(2022高一上·张掖期中)若正数x,y满足,则的最小值是(  )
A.6 B. C. D.
5.(2022高一上·兖州期中)已知a>b>c,若恒成立,则m的最大值为(  )
A.3 B.4 C.8 D.9
6.(2023高一下·重庆市期中)已知点在线段上(不含端点),是直线外一点,且,则的最小值是(  )
A. B. C. D.
7.(2020高二上·徐州期末)已知 , , ,且 ,则 的最小值为(  )
A.8 B.9 C.12 D.16
二、多选题
8.(2022高一上·深圳月考)已知,,且,则(  )
A.的取值范围是 B.的取值范围是
C.的最小值是3 D.的最小值是
9.(2022高一上·湖北期中)若正数a,b满足,则的值可能为(  )
A.4 B.6 C.8 D.10
三、填空题
10.(2021高一上·白城期中)已知 ,且 ,则 的最大值是   
11.(2021高一上·昌吉期中)若,则的最小值为   ,此时   .
12.(2021·浦东模拟)对于任意的正实数 , ,则 的取值范围为   .
13.(2022高一上·黄冈期末)若函数在区间[1,2]上的最小值为3,则的最小值为   .
14.(2020高二上·浙江期中)若实数 和 满足 ,则 的取值范围为   .
15.(2019·通州模拟)若 ,且 ,则 的最小值为   .
16.(2021高二下·苏州月考)已知正数 , 满足 ,则 的最小值是   .
四、解答题
17.(2020高一上·池州期中)
(1)若 是正常数, ,求证: (当且仅当 时等号成立).
(2)求函数 的最小值,并求此时 的值.
18.(2018高一上·滁州期中)某商品上市30天内每件的销售价格 元与时间 天函数关系是 该商品的日销售量 件与时间 天函数关系是 .
(1)求该商品上市第20天的日销售金额;
(2)求这个商品的日销售金额的最大值.
19.(2020·芜湖模拟)设 ,且 .
(1)证明: ;
(2)求 的最小值.
20.(2017·晋中模拟)已知a>0,b>0,c>0函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c.
(1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>5的解集;
(2)若f(x)的最小值为5时,求a+b+c的值,并求 的最小值.
21.(2021高三上·宜春月考)已知 、 、 为正数,且满足 .证明:
(1) ;
(2) .
22.(2020高一上·南京期中)已知函数 , .
(1)当 时,求函数 , 的最大值;
(2)令 ,求证:对任意给定的非零实数 ,存在惟一的实数 使得 成立的充要条件是 .
23.(2022·开封模拟)已知正数a,b,c满足.
(1)求证:;
(2)求证:.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】基本不等式
2.【答案】A
【知识点】基本不等式
3.【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
4.【答案】B
【知识点】基本不等式
5.【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
6.【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7.【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
8.【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9.【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
10.【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
11.【答案】3;2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
12.【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
13.【答案】
【知识点】基本不等式
14.【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
15.【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
16.【答案】9
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
17.【答案】(1)解:
,当且仅当 时,即 时等号成立.
(2)解: ,当且仅当 时,即 时等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
18.【答案】(1)解:该产品上市第20天的销售价格为30元,日销售量为25件 , 所以该商品上市第20天的日销售金额是30×25=750元
(2)解:日销售金额为y元,则y=QP 当 , 时, = , 所以当x=15时,y取得的最大值为900元; 当 , 时, = , 所以当x=20时,y取得的最大值为750元, 综上第15天时,这个商品的日销售金额最大,最大值为900元
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
19.【答案】(1)证明:证明:因为 ,
当且仅当 时,等号成立,
又∵ ,∴ ;
(2)解:由(1)知: ,
当且仅当 且 即 、 时,等号成立,
所以 有最小值 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
20.【答案】(1)解:当a=b=c=1时,不等式f(x)>5即|x+1|+|x﹣1|+1>5,化为:|x+1|+|x﹣1|>4.
①x≥1时,化为:x+1+x﹣1>4,解得x>2.
②﹣1<x<1时,化为:x+1﹣(x﹣1)>4,化为:0>2,解得x∈ .
③x≤﹣1时,化为:﹣(x+1)﹣(x﹣1)>4,化为:x<﹣2.
综上可得:不等式f(x)>5的解集为:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
(2)解:不妨设a≥b>0.
①x>b时,f(x)=x+a+x﹣b+c=2x+a﹣b+c,
②﹣a≤x≤b时,f(x)=a+x﹣(x﹣b)+c=a+b+c,
③x<﹣a时,f(x)=﹣(a+x)+b﹣x+c=﹣2x﹣a+b+c.
可知:﹣a≤x≤b时,f(x)取得最小值a+b+c=5.
∴ = (a+b+c) ≥ × = ,当且仅当a═b=c= 时取等号.
∴ 的最小值为
【知识点】基本不等式
21.【答案】(1)证明:∵ 、 、 为正数, ,


∴ ;
(当且仅当 时取等)
(2)由 ; ;

将上述三个不等式相加得: ,
又 , , ,
同理,将上述三个不等式相加得: ,
而 ,∴ ,当且仅当 时,等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
22.【答案】(1)解:当 时,函数 , ,
令 ,则 ,
此时 ,由 ,
即 ,
当且仅当 ,即 时取等号,
综上,当 时, 最大值是 .
(2)解:充分性:当 时, ,
当 时, 在 单调递增,且 ,
当 时, 在 单调递减,且 ,
若 ,则存在惟一的 ,使得 ,同理 时也成立,
必要性:当 时, ,
当 时, 在 上的值域为 ,显然不符合题意,因此 ,
当 时, 在 的取值集合 ,
, 的对称轴 , 在 上递减, ,所以 的取值集合 ,
①若 , 且在 上单调递增,要使 ,
则 ,且 ,有 .
②若 , 且在 上单调递减,要使 ,
则 ,且 ,有 .
综上: .
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;基本不等式在最值问题中的应用
23.【答案】(1)证明:∵,
当且仅当a=b=c时,等号成立,
设,∴,
即,解得,
∵a,b,c为正数,∴,
∴.
(2)证明:∵
由(1)可得,∴
∴,
∵,当且仅当时,等号成立.
∴,当且仅当时,等号成立.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
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