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第二十五章 图形的相似
25.4 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
练基础
知识点 两角对应相等的两个三角形相似
1. 如图所示,三个三角形中,相似的是 ( )
A. (1)和(2) B. (2)和(3)
C. (1)和(3) D. (1)和(2)和(3)
B
2. (教材P75A组T2改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,则图中的相似三角形共有 ( )
A. 4对 B. 3对
C. 2对 D. 1对
B
3.(邯郸邯山期末)如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且∠ADE=∠ACB. 若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
C
4. (新趋势 开放性问题)如图,已知点B,E,C,F在同一条直线上,∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是 .(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)
∠B=∠DEC(答案不唯一)
5. 如图,已知在 ABCD中,E为AB的中点,连接DE交对角线AC于点F. 若AF的长为3,则FC的长为___________.
6
6.(石家庄高邑期中)如图,∠1=∠2,∠AED=∠C. 求证:△ABC∽△ADE.
证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC.
又∵∠AED=∠C,∴△ABC∽△ADE.
7.(新趋势 过程性学习)如图,在△ABC中,AB=2,BC=5,且∠ABC=2∠C,为了求边AC的长,小亮想出了一个办法,将边BC反向延长至点D,使DB=AB,连接AD,从而小亮发现图中存在一对相似三角形,问题便迎刃而解了!
(1)请你找出图中存在的一对相似三角形,并进行证明;
(2)求边AC的长.
8.(易错题)下面两个三角形不一定相似的是 ( )
A. 有一组角是对顶角的两个三角形
B. 有一个锐角相等的两个直角三角形
C. 有一个角是100°的两个等腰三角形
D. 边长不相等的两个等边三角形
练提升
A
9. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE BC,且∠DCE=∠B,那么下列各判断中,错误的是 ( )
A. △ADE∽△ABC
B. △ADE∽△ACD
C. △DEC∽△CDB
D. △ADE∽△DCB
D
10.(邢台信都期末)在△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,用尺规作图在AB上取一点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是 ( )
C
【解析】当CD是AB的垂线时,∠BDC=∠CDA=90°.
又∵∠ACD+∠BCD=∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠A,∴△ACD∽△CBD.
观察四个选项,C项中的CD是AB的垂线,符合要求.
11. (易错题)(教材P75“做一做”改编)如图,点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B,C重合的一定点,过点M作直线截△ABC,使截得的三角形与原△ABC相似,这样的直线共有________条.
【解析】∵截得的三角形与△ABC相似,
∴可以过点M作AB的垂线MD1,或作AC的垂线MD2,或作BC的垂线MD3(如图),沿这三条线所截得的三角形满足题意.
∴这样的直线共有3条.
3
12. 如图,已知四边形ABCD为菱形,点E在线段AC的延长线上,且∠ACD=∠ABE. 若AB=6,AC=4,则AE=________.
9
13. (广西贵港中考)尺规作图.(只保留作图痕迹,不要求写出作法)如图,已知△ABC,且AB>AC.
(1)在AB边上求作点D,使DB=DC;
(2)在AC边上求作点E,使△ADE∽△ACB.
解:(1)如图,作线段BC的垂直平分线交AB于点D,点D即为所求.
(2)如图,作∠ADT=∠ACB,射线DT交AC于点E,点E即为所求.
14. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点F. 求证:△CAF∽△ABF.
证明:∵EF是AD的垂直平分线,
∴AF=DF. ∴∠ADF=∠DAF.
∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∴∠ADF+∠CAD=∠DAF+∠BAD. ∴∠ACF=∠BAF.
又∵∠BFA=∠AFC,∴△CAF∽△ABF.
15. (新趋势 探究性问题)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,P为BC上的动点,小慧拿含45°角的透明三角尺,使45°角的顶点落在点P处,三角尺可绕P点旋转.
练素养
(1)如图1,当三角尺的两边分别交AB,AC于点E,F时,求证:△BPE∽△CFP;
(1)证明:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,∴∠BPE+∠BEP=135°.
∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,
∴∠BPE+∠CPF=135°.∴∠BEP=∠CPF.
又∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP.
(2)将三角尺绕点P旋转到图2情形时,三角尺的两边分别交BA的延长线、边AC于点E,F,则△BPE与△CFP还相似吗?请说明理由.
(2)解:△BPE∽△CFP. 理由如下:
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°,∴∠BPE+∠BEP=135°.
∵∠EPF=45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°,
∴∠BPE+∠CPF=135°.∴∠BEP=∠CPF.
又∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CFP.25.4 相似三角形的判定
课题 第1课时 相似三角形判定定理1 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P73-76
教学目标 1.理解“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法; 2.应用“两角对应相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似并解决简单问题; 3.在探究过程中培养学生合作交流的能力.
教学重难点 重点:掌握相似三角形的判定定理. 难点:会用相似三角形的判定定理判断两个三角形是否相似.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计(教学过程) 设计意图
1.创设情景,导入新课 【复习回顾】 教师活动:提问. 1.什么叫相似三角形? 2.判定两个三角形相似是否必须同时满足这六个元素? 3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等,那么当两角对应相等而夹边不相等时,这两个三角形之间有什么关系呢? 学生活动:口答老师提出的问题. 复习巩固旧知识,扫清学习过程中的障碍,为导入新课做铺垫.
2.实践探究,学习新知 【观察思考】 问题:(1)有一个角对应相等的两个三角形一定相似吗? (2)有两个角对应相等的两个三角形一定相似? (3)上面的这两组三角形分别有什么共同特征? (4)它们是否相似? 【探究】 每人分别以∠1,∠2为两个内角,任意画一个三角形.同桌为一组,通过测量、计算,判断你们两个人所画的三角形是否相似? 我们发现:有两个角对应相等的两个三角形相似. 【例题】 例1 如图所示,在△ABC与△A′B′C′中,若∠A=∠A′,∠B=∠B′,试猜想:△ABC与△A′B′C′是否相似?并证明你的结论. 想一想:①能否用定义来证明,根据已知条件能否证明对应线段比例? ②考虑预备定理进行证明,需要构造出符合条件的图形:作出平行线. ③你能想到几种作辅助线的方法?画图展示. 证明:在△ABC的边AB上截取AD=A′B′,过点D作DE∥BC,交AC于点E, 则有△ADE∽△ABC. ∵∠ADE=∠B,∠B=∠B′, ∴∠ADE=∠B′. 又∠A=∠A′,AD=A′B′, ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 容易看出两个等腰直角三角形相似,当只有一对角相等时,所画的三角形是不相似的.根据要求画出两对角相等时,所画的三角形是相似的. 师生活动:师生归纳:两角对应相等的两个三角形相似. 例2 如图,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC. 求证:△ADE~△DBF. 证明:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B, 又∵DF∥AC, ∴∠A=∠BDF. ∴△ADE~△DBF. 先由两个具备条件的特殊三角形开始,让学生去直观感受,再演绎推理. 再转化为具备条件的两个任意三角形,让学生动手感知命题的合理性. 四个问题由易到难依次加深,先直观判断两个直角三角形是否相似,再动手实际操作,从实践中得出正确结论,这样学生对知识的理解较深,最后推理证明相似三角形的判定定理. 初步应用定理证明,规范做题格式,增强学生的逻辑思维能力,引导学生从不同的角度思考问题,拓展学生的思维.
3.学以致用,应用新知 考点1 相似三角形的判定定理1 练习1 如图,AB,CD相交于点O,AC∥BD. 求证∶△OAC~△OBD. 证明:∵AC∥BD, ∴∠A=∠B,∠C=∠D, ∴△OAC~△OBD. 变式训练1 如图,在中,.在边上找一点,使得.(不写作法,保留作图痕迹). 解:如图所示,过点C作CP⊥AB于P,点P即为所求; ∵∠PCB=∠A=90°-∠B,∠APC=∠CPB=90°, ∴△PBC~△PCA. 巩固用判定定理1证明三角形相似的方法,加深对所学知识的理解,提高学生知识的综合运用能力.
4.随堂训练,巩固新知 1. 如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠ACD=∠B,那么下列判断中,不正确的是( ) A.△ADE~△ABC B.△CDE~△BCD C.△ADE~△ACD D.△ADE~△DBC 答案:D 2.如图,E、F分别为矩形ABCD的边AD,CD上的点, ∠BEF=90°,则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是( )
A.①② B.②③ C.①②③ D.①④ 答案:A 3.如图,E是 ABCD边CD延长线上一点,BE交AD于F,则图中的相似三角形共有( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 答案:B 如图,已知∠A=∠BCD=∠E=60°,则图中相似三角形是__________.
答案:△ABC~△ECD. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,点D是边AC上的动点(点D不与点A,C重合),当∠BDC=______度时,△ABC~△BDC.
答案:70 6.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高.求证:△ACD~△ABC.
证明:∵Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高, ∴∠ADC=∠ACB=90°, ∵∠A=∠A, ∴△ACD~△ABC. 7.如图,∠ABD=∠C,AD=2,AC=8,求AB 的长. 解:∵ ∠A=∠A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD∽△ACB, ∴ AB∶AC=AD∶AB, ∴ AB2=AD·AC. ∵ AD=2,AC=8, ∴ AB=4. 知识的综合运用,通过本环节的学习,让学生巩固所学知识.
5.课堂小结,自我完善 本节课所学知识:三角形相似的判定定理1. 定理1:两角对应相等的两个三角形相似. 符号语言表示: 在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′, 那么△ABC∽△A′B′C′. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P75练习,习题A组,P76习题B组. 课后练习巩固,让所学知识得以运用,提高计算能力和做题效率.
板书设计 25.4 相似三角形的判定 第1课时 1.相似三角形的判定:两角对应相等的两个三角形相似. 符号语言表示:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′, 那么△ABC∽△A′B′C′. 2.相似三角形的判定方法: 方法1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似. 方法2:两角对应相等的两个三角形相似. 提纲掣领,重点突出.
教后反思 本课以学生的自主探究为主线,课堂上学生亲身体验“实验操作——探索发现——推理论证”获得知识的过程,体现了学生的主体地位,本节课绝大部分学生对判定定理的应用掌握得不错,在解题过程中,引导学生体会一题多解、一题多变等数学学习方法.但学生认识图形的能力,合情推理的能力有待提升. 反思,更进一步提升.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
重点
难点
1.掌握相似三角形的判定定理1.
2.理解相似三角形判定定理1的推导过程,并能运用定理解决简单的有关问题.
运用相似三角形的判定定理1解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理1的探索及证明过程.
怎样判定两个三角形相似?
(1)定义法
对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.
相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法,又是它的一个性质.
(2)用平行线判定三角形相似的定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似.
利用定理判定两个三角形相似时,只需“平行”这一个条件就能判定.
三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.
能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢?
我们知道,有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.当两角对应相等而夹角不相等时,这两个三角形之间有什么关系呢?
1.如图(1),这两个等腰直角三角形相似吗?说说理由.
2.如图(2),这两个直角三角形相似吗?说说理由.
3.如果两个三角形有两组对应角相等,那么它们是否相似?
知识点 两角对应相等的两个三角形相似 .
思 考 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′, ∠B=∠B′.
求证: △ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定定理1
两角对应相等的两个三角形相似.
几何语言:
∵在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′, ∠B=∠B′,
∴ △ABC∽△A′B′C′.
例1 已知:如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC.
求证:△ADE∽△DBF.
证明:∵DE//BC,∴∠ADE=∠B.
又∵DF//AC,
∴∠A=∠BDF.
∴△ADE∽△DBF.
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是( )
A.∠A=∠D=40°,∠B=∠E=60°,AB=DE
B.∠A=∠D=60°,∠B= 40°,∠E=80°
C.∠A=∠B=∠D=∠E=60°
D.∠B=∠E=70°,AB∶DE=AC∶DF
2.下列描述的两个三角形相似吗?请判断正误.
(1)两个等边三角形相似.( )
(2)两个直角三角形相似.( )
(3)两个等腰直角三角形相似.( )
(4)有一个角为50°的两个等腰三角形相似.( )
(5)有一个角为100°的两个等腰三角形相似.( )
D
√
×
√
√
×
3.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,试说明:△ADE∽△EFC.
解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∵EF∥AB,
∴∠B=∠EFC,
∴∠ADE=∠EFC,
∴ △ADE∽△EFC.
4.如图,∠ABD=∠C,AD=2,AC=8,求AB的长.
解:∵∠A=∠A,∠ABD=∠C,
∴△ABD∽△ACB,
∴AB∶AC=AD∶AB,
∴AB2=AD·AC.
∵AD=2,AC=8,
∴AB=4.
1.△ABC中,D是AB上的点,且∠ACD=∠B,试说明
(1)△ABC与△ADE相似.
(2)AD=4,AC=6,求AB.
解:(1)在△ABC与△ADE中,
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ADE.
(2)∵△ABC∽△ADE ,
∴ ,
又∵ AD=4,AC=6,
∴AB=9.
A
B
C
D
(E)
2.已知,如图在△ABC中,AB=AC,DE//BC,点F在边A,C上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE.
求证:(1) △DEF∽△BDE .
(2) DG·DF=DB·EF .
证明:
相似三角形的判定定理1
两角对应相等的两个三角形相似.
几何语言:
∵在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′, ∠B=∠B′,
∴ △ABC∽△A′B′C′.