(共19张PPT)
第二十五章 图形的相似
25.4 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
练基础
知识点 两角对应相等的两个三角形相似
1. 如图所示，三个三角形中，相似的是 （ ）
A. （1）和（2） B. （2）和（3）
C. （1）和（3） D. （1）和（2）和（3）
B
2. （教材P75A组T2改编）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，则图中的相似三角形共有 （ ）
A. 4对 B. 3对
C. 2对 D. 1对
B
3.（邯郸邯山期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且∠ADE=∠ACB. 若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是 （ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
C
4. （新趋势 开放性问题）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 .（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
∠B=∠DEC（答案不唯一）
5. 如图，已知在 ABCD中，E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F. 若AF的长为3，则FC的长为___________.
6
6.（石家庄高邑期中）如图，∠1=∠2，∠AED=∠C. 求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC.
又∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE.
7.（新趋势 过程性学习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=5，且∠ABC=2∠C，为了求边AC的长，小亮想出了一个办法，将边BC反向延长至点D，使DB=AB，连接AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
（1）请你找出图中存在的一对相似三角形，并进行证明；
（2）求边AC的长.
8.（易错题）下面两个三角形不一定相似的是 （ ）
A. 有一组角是对顶角的两个三角形
B. 有一个锐角相等的两个直角三角形
C. 有一个角是100°的两个等腰三角形
D. 边长不相等的两个等边三角形
练提升
A
9. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE BC，且∠DCE=∠B，那么下列各判断中，错误的是 （ ）
A. △ADE∽△ABC
B. △ADE∽△ACD
C. △DEC∽△CDB
D. △ADE∽△DCB
D
10.（邢台信都期末）在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，用尺规作图在AB上取一点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是 （ ）
C
【解析】当CD是AB的垂线时，∠BDC=∠CDA=90°.
又∵∠ACD+∠BCD=∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠A，∴△ACD∽△CBD.
观察四个选项，C项中的CD是AB的垂线，符合要求.
11. （易错题）（教材P75“做一做”改编）如图，点M是Rt△ABC的斜边BC上不与B，C重合的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，这样的直线共有________条.
【解析】∵截得的三角形与△ABC相似，
∴可以过点M作AB的垂线MD1，或作AC的垂线MD2，或作BC的垂线MD3（如图），沿这三条线所截得的三角形满足题意.
∴这样的直线共有3条.
3
12. 如图，已知四边形ABCD为菱形，点E在线段AC的延长线上，且∠ACD=∠ABE. 若AB=6，AC=4，则AE=________.
9
13. （广西贵港中考）尺规作图.（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知△ABC，且AB>AC.
（1）在AB边上求作点D，使DB=DC；
（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB.
解：（1）如图，作线段BC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求.
（2）如图，作∠ADT=∠ACB，射线DT交AC于点E，点E即为所求.
14. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F. 求证：△CAF∽△ABF.
证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF. ∴∠ADF=∠DAF.
∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.
∴∠ADF+∠CAD=∠DAF+∠BAD. ∴∠ACF=∠BAF.
又∵∠BFA=∠AFC，∴△CAF∽△ABF.
15. （新趋势 探究性问题）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角尺，使45°角的顶点落在点P处，三角尺可绕P点旋转.
练素养
（1）如图1，当三角尺的两边分别交AB，AC于点E，F时，求证：△BPE∽△CFP；
（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°.
∵∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°.∴∠BEP=∠CPF.
又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP.
（2）将三角尺绕点P旋转到图2情形时，三角尺的两边分别交BA的延长线、边AC于点E，F，则△BPE与△CFP还相似吗？请说明理由.
（2）解：△BPE∽△CFP. 理由如下：
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°.
∵∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°.∴∠BEP=∠CPF.
又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP.25.4 相似三角形的判定
课题 第1课时 相似三角形判定定理1 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P73-76
教学目标 1.理解“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法； 2.应用“两角对应相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似并解决简单问题； 3.在探究过程中培养学生合作交流的能力．
教学重难点 重点：掌握相似三角形的判定定理. 难点：会用相似三角形的判定定理判断两个三角形是否相似.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 教师活动：提问. 1.什么叫相似三角形？ 2.判定两个三角形相似是否必须同时满足这六个元素？ 3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，那么当两角对应相等而夹边不相等时，这两个三角形之间有什么关系呢？ 学生活动：口答老师提出的问题. 复习巩固旧知识，扫清学习过程中的障碍，为导入新课做铺垫.
2.实践探究，学习新知 【观察思考】 问题：（1）有一个角对应相等的两个三角形一定相似吗？ （2）有两个角对应相等的两个三角形一定相似？ （3）上面的这两组三角形分别有什么共同特征？ （4）它们是否相似？ 【探究】 每人分别以∠1，∠2为两个内角，任意画一个三角形.同桌为一组，通过测量、计算，判断你们两个人所画的三角形是否相似？ 我们发现：有两个角对应相等的两个三角形相似. 【例题】 例1 如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，试猜想：△ABC与△A′B′C′是否相似？并证明你的结论． 想一想：①能否用定义来证明，根据已知条件能否证明对应线段比例？ ②考虑预备定理进行证明，需要构造出符合条件的图形：作出平行线． ③你能想到几种作辅助线的方法？画图展示． 证明：在△ABC的边AB上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC. ∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠B′， ∴∠ADE＝∠B′. 又∠A＝∠A′，AD＝A′B′， ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. 容易看出两个等腰直角三角形相似，当只有一对角相等时，所画的三角形是不相似的．根据要求画出两对角相等时，所画的三角形是相似的． 师生活动：师生归纳：两角对应相等的两个三角形相似． 例2 如图，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC. 求证：△ADE~△DBF. 证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B， 又∵DF∥AC， ∴∠A=∠BDF. ∴△ADE~△DBF. 先由两个具备条件的特殊三角形开始，让学生去直观感受，再演绎推理. 再转化为具备条件的两个任意三角形，让学生动手感知命题的合理性. 四个问题由易到难依次加深，先直观判断两个直角三角形是否相似，再动手实际操作，从实践中得出正确结论，这样学生对知识的理解较深，最后推理证明相似三角形的判定定理． 初步应用定理证明，规范做题格式，增强学生的逻辑思维能力，引导学生从不同的角度思考问题，拓展学生的思维.
3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形的判定定理1 练习1 如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD． 求证∶△OAC~△OBD. 证明：∵AC∥BD， ∴∠A=∠B，∠C=∠D， ∴△OAC~△OBD. 变式训练1 如图，在中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 解:如图所示，过点C作CP⊥AB于P，点P即为所求； ∵∠PCB=∠A=90°-∠B，∠APC=∠CPB=90°， ∴△PBC~△PCA. 巩固用判定定理1证明三角形相似的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB,AC上，DE∥BC，∠ACD=∠B，那么下列判断中，不正确的是（ ） A.△ADE~△ABC B.△CDE~△BCD C.△ADE~△ACD D.△ADE~△DBC 答案：D 2.如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，CD上的点， ∠BEF=90°，则图中①、②、③、④四个三角形中一定相似的是（ ）
A.①② B.②③ C.①②③ D.①④ 答案：A 3.如图，E是 ABCD边CD延长线上一点，BE交AD于F，则图中的相似三角形共有（ ）
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 答案：B 如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，则图中相似三角形是__________．
答案：△ABC~△ECD. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A，C重合），当∠BDC=______度时，△ABC~△BDC．
答案：70 6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：△ACD~△ABC．
证明：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=∠ACB=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ACD~△ABC. 7.如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB 的长. 解：∵ ∠A＝∠A，∠ABD＝∠C， ∴ △ABD∽△ACB， ∴ AB∶AC＝AD∶AB， ∴ AB2＝AD·AC. ∵ AD＝2，AC＝8， ∴ AB＝4. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识：三角形相似的判定定理1. 定理1：两角对应相等的两个三角形相似. 符号语言表示： 在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， 那么△ABC∽△A′B′C′. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P75练习，习题A组，P76习题B组. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 25.4 相似三角形的判定 第1课时 1.相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， 那么△ABC∽△A′B′C′. 2.相似三角形的判定方法： 方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似. 方法2：两角对应相等的两个三角形相似. 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本课以学生的自主探究为主线，课堂上学生亲身体验“实验操作——探索发现——推理论证”获得知识的过程，体现了学生的主体地位，本节课绝大部分学生对判定定理的应用掌握得不错，在解题过程中，引导学生体会一题多解、一题多变等数学学习方法．但学生认识图形的能力，合情推理的能力有待提升． 反思，更进一步提升.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
重点
难点
1.掌握相似三角形的判定定理1.
2.理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题.
运用相似三角形的判定定理1解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理1的探索及证明过程.
怎样判定两个三角形相似？
(1)定义法
对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.
相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.
(2)用平行线判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
利用定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.
三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似.
能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢？
我们知道，有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.当两角对应相等而夹角不相等时，这两个三角形之间有什么关系呢？
1.如图（1），这两个等腰直角三角形相似吗？说说理由.
2.如图（2），这两个直角三角形相似吗？说说理由.
3.如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？
知识点 两角对应相等的两个三角形相似 .
思 考 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′.
求证： △ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定定理1
两角对应相等的两个三角形相似.
几何语言：
∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′，
∴ △ABC∽△A′B′C′.
例1 已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.
求证：△ADE∽△DBF.
证明：∵DE//BC，∴∠ADE＝∠B.
又∵DF//AC，
∴∠A＝∠BDF.
∴△ADE∽△DBF.
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ）
A.∠A＝∠D＝40°，∠B＝∠E＝60°，AB＝DE
B.∠A＝∠D＝60°，∠B＝ 40°，∠E＝80°
C.∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝60°
D.∠B＝∠E＝70°，AB∶DE＝AC∶DF
2.下列描述的两个三角形相似吗？请判断正误.
（1）两个等边三角形相似.（ ）
（2）两个直角三角形相似.（ ）
（3）两个等腰直角三角形相似.（ ）
（4）有一个角为50°的两个等腰三角形相似.（ ）
（5）有一个角为100°的两个等腰三角形相似.（ ）
D
√
×
√
√
×
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明：△ADE∽△EFC.
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∴ △ADE∽△EFC.
4.如图，∠ABD＝∠C，AD＝2，AC＝8，求AB的长.
解：∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB∶AC＝AD∶AB，
∴AB2＝AD·AC.
∵AD＝2，AC＝8，
∴AB＝4.
1.△ABC中，D是AB上的点，且∠ACD＝∠B，试说明
(1)△ABC与△ADE相似.
(2)AD=4,AC=6,求AB.
解：(1)在△ABC与△ADE中，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADE.
(2)∵△ABC∽△ADE ,
∴ ,
又∵ AD=4,AC=6,
∴AB=9.
A
B
C
D
（E）
2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE.
求证:(1) △DEF∽△BDE .
(2) DG·DF=DB·EF .
证明：
相似三角形的判定定理1
两角对应相等的两个三角形相似.
几何语言：
∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′，
∴ △ABC∽△A′B′C′.
