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第二十五章 图形的相似
25.4 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定定理3
练基础
知识点1 三条边对应成比例的两个三角形相似
1. （教材P81练习T1改编）若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的边可能是 （ ）
A. DE=6，DF=8，EF=10
B. DE=9，EF=18，DF=25
C. DE=1，EF=2，DF=2.5
D. DE=6，DF=10，EF=12
D
2. 如图所示，网格中相似的两个三角形是 （ ）
A. ①与③ B. ②与③ C. ①与④ D. ③与④
A
【变式】 下列四个三角形中，与左图中△ABC相似的是 （ ）
B
D
40°
5.（原创题 科技发展）在数字农业发展规划中，李主任想把本村一块三边长分别为40 m、50 m、70 m的三角形地块在电脑上画出来. 若他画的最长边为7 cm，则另两边长分别为________和________时，所画的三角形与实际三角形地块相似.
4 cm
5 cm
6. 如图，已知点O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点. 求证：△ABC∽△DEF.
7. （衡水安平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， CD是斜边AB上的高. 若要得到CD2=BD·AD这个结论，可证明 （ ）
A. △ADC∽△ACB B. △BDC∽△BCA
C. △ADC∽△CDB D. 无法判断
C
知识点2 两个直角三角形相似
9. 如图，点B，A，E在同一条直线上，AD⊥BD，CE⊥AE，垂足分别为D，E，AB=3CA，BD=3AE. 求证:△ABD∽△CAE.
10.（新情境 传统文化)中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚. 如图是中国象棋的部分棋盘示意图. 根据“马走日”的规则，要使“马”“炮”“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“车”“相”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”下一步应该落在位置 （ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
练提升
B
11.（新趋势 材料阅读题)如图，在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫作格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形. 现从△ABC的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与△ABC相似的有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
【解析】如图，根据“三条边对应成比例的两个三角形相似”，可知△ABC∽△CDA，△ABC∽△BCE，△ABC∽△CBF，即与△ABC相似的三角形有3个.
12. 如图，在1×5的正方形的网格中有四边形ABCD，其中∠BDC的度数为________.
135°
13.如图，AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由.
解：∠ABD=∠ACE. 理由如下：
∵AB∶AD=BC∶DE=AC∶AE，∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE.
∵AB∶AD=AC∶AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD=∠ACE.
14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个与△ABC相似的三角形，且它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点（要求：不写作法与证明）.
解：如图，△P2P4P5即为所求.
练素养
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
∠A=∠A′25.4 相似三角形的判定
课题 第3课时 相似三角形的判定定理3 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P79-82
教学目标 1.掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 2.培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系. 3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力.
教学重难点 重点：三角形相似的判定定理3及应用. 难点：三角形相似的判定定理3的发现和证明.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 1.复习相似三角形的定义和三角形相似的预备定理以及相似三角形的判定定理1和2. 2.我们还学习了哪些判定三角形全等的定理？ 师生活动：教师提问,学生回答． 复习旧知识，为本节课打下基础，引导学生类比全等三角形判定方法探索三角形相似的条件，让在学生原有的知识基础上探究，让学生有信心.采用类比的方法思考，降低知识难度。鼓励学生大胆猜想，为后续学习铺垫.
2.实践探究，学习新知 【探究】 1.如图，在半透明的纸上画一个△ABC，使AB=1.5 cm，AC=2.5 cm，BC=2 cm，在画一个△A'B'C',使得A'B'=3 cm，A'C'=5 cm，B'C'=4 cm. 2.比较△ABC和△A'B'C'各个角，它们对应相等吗？这两个三角相似吗？ 3.我们可以初步确定猜想：三边对应成比例的两个三角形相似. 分析证明，形成定理 （1）提问：我们通过实验操作得到的猜想在任意情况下都成立吗？ 让学生体会到：需要证明。进而让学生画出图形，写出已知、求证. （2）分析思路：写完已知、求证后，放手让学生探寻证明思路. 证明：在△ABC的边AB上，截取AD=A′B′,过点D作DE∥BC交AC于点E， ∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， 在△A′B′C′和△ADE中， ∵，且AE=A′B′ , ∴， 又∵， ∴A′C′=AE , B′C′=DE. ∴△A′B′C′≌△ADE. ∴△ABC∽△A′B′C′. 【归纳总结】 相似三角形的判定定理3： 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例,两三角形相似. 符号语言： ∵， ∴△ABC∽△A′B′C′. 【例题】 例1 已知，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°， . 求证：Rt△ABC~Rt△A′B′C′. 证明：设，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 根据勾股定理，得 BC=. ∴. ∴Rt△ABC~Rt△A′B′C′. 【总结】 由例1可以得到： 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 努力挖掘教材中隐含的探究因素，创设情景，让学生主动的参与实践，体验和感悟科学探究的过程和方法,通过归纳总结相似三角形判定方法. 通过归纳总结，使学生掌握相似三角形的判定定理3的内容以及证明方法. 引入k值法进一步得到直角三角形相似的判定方法.
3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形的判定定理3 练习1 在△ABC和△A′B′C′中，已知： （1）AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm， A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm． （2）AB＝12 cm， BC＝15 cm，AC＝24 cm， A′B′＝16 cm，B′C′＝20 cm，A′C′＝32 cm． 试判定△ABC与△A′B′C′是否相似，说明理由. 解：（1）∵，，， ∴≠= ， ∴△ABC与△A′B′C′不相似. （2）∵，，， ∴ ∴△ABC与△A′B′C′相似. 变式训练1 如图在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由. 解：由图可知，A1B1=2，A2B2=，B1C1=2，B2C2=， A1C1=4，A2C2=2， ∴，，， ∴. ∴△A1B1C1~△A2B2C2. 考点2 直角三角形相似的判定 练习2 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP． 证明：设PC=1， 则AD=CD=4，DQ=QC=2，PQ=，AQ=2， ∴，， ∴ ∴△ADQ∽△QCP. 变式训练2 如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似 请说明理由. 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90°， 设BP=x cm， 若△ABP~△CDP， ∴， ∴， ∴x=84； 若△ABP~△PDC， ∴， ∴， ∴x1=20，x2=120， 综上所述：当BP=84 cm或20 cm或120 cm时，可以使图中的两个三角形相似. 及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生学以致用的意识.
4.随堂训练，巩固新知 1．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，CA＝5 cm，A′B′＝4.5 cm，B′C′＝2.5 cm，C′A′＝4 cm，则下列说法错误的是( ) A.△ABC和△A′B′C′相似 B.AB和A′B′是对应边 C.∠C和∠C′是对应角 D.BC和B′C′是对应边 答案：D 2.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与图25－4－14中△ABC相似的三角形所在的网格图形是( ) 答案：B 3.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形木框( ) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断是否相似 答案：A 4.如图所示，要使△ABC∽△DEF，则x＝________． 答案：40 5.如图，AB⊥BC于点B，AC⊥CD于点C，AB＝4，AC＝6，当AD＝________时，△ABC∽△ACD. 答案：9 6.如图，点B，A，E在同一条直线上，AD⊥BD，CE⊥AE，垂足分别为D，E，AB＝3AC，BD＝3AE. 求证：△ABD∽△CAE. 证明：∵AD⊥BD，CE⊥AE， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°. ∵AB＝3AC，BD＝3AE， ∴＝3，＝3，∴＝， ∴△ABD∽△CAE. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 本节课学习了哪些知识？你有什么收获？ 学生自己整理与回顾，师生共同概括总结. （1）三边成比例的两个三角形相似. （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）两角对应相等的两个三角形相似. 教师强调：相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法的联系和区别。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆.
6.布置作业 课本P81练习，习题A组，P82习题B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 25.4 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理3 1.相似三角形的判定定理3： 三条边对应成比例的两个三角形相似； 2.直角三角形相似的判定定理： 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节课主要研究的是相似三角形的判定定理（3），由于上节课已经研究了相似三角形判定定理（1）（2），而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的新旧联系，以帮助学生形成认知上的正迁移。教学的方式过于单一，学生的参与面较低.主要是我没有调动好他们的情绪，说明我对课堂的驾驭能力还需要提高。在今后的教学中，还有许多需要改进的地方，恳请老师们提出宝贵的意见和建议. 反思，更进一步提升.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共15张PPT)
重点
难点
1.理解“三条边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法.
2.会运用“三条边对应成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.
运用相似三角形的判定定理3解决简单的有关问题.
相似三角形的判定定理3的探索及证明过程.
判定三角形相似的方法都有哪些？
(1)定义法：对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.
(2)定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
(3)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似.
(4)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
思考:类比全等三角形的判定方法，还有其他判定三角形全等的方法吗？
′
′
′
如果 ,猜想△ABC∽△A′B′C′ 是否成立？
有效利用判别定理去求证.
知识点 三角形相似的判别定理3
已知:如图△ABC和△A′B′C′中, .
求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
证明：在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC , ∴ ,
∵AD=A′B′,∴ ,
又∵ ，
∴ .
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′,
∴△ABC∽△A′B′C′.
三角形相似的判定定理3
三条边对应成比例的两个三角形相似.
A
B
C
D
E
F
符号语言：
在△ABC与△DEF中,
∵ ,
∴ △ ABC∽△DEF.
归纳总结
例3 已知:如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
归纳总结
符号语言：
在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,
∵ ,
∴ Rt△ ABC∽Rt△A′B′C′.
1.如图,已知△ABC与△DEF中,AB=5,BC=12,AC=8, DE=10,则当DF=____,EF=____时,△ABC∽△DEF.
16
24
A
B
C
D
E
F
5
8
12
10
相似
3:5或3:7或5:7
C
2.如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，
且满足 ,则△ABD与△ACE_____.
(填“相似”或者“不相似”)．
3.已知△ABC的三边长分别为7.5，9和10.5,△DEF的一边长为5.当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似( )
A.4,5 B.5,6 C.6,7 D.7,8
4. 在△ABC中,AB∶BC∶CA＝3∶5∶7.在△DEF中,若DE＝6 cm,且EF1.如图，在正方形网格上有两个三角形 和 ，
求证:△ ∽△ .
证明：设小正方形边长为1，则 ， .
由勾股定理可得： .
∴ ,
,
∴ ,
∴△ ∽△ .
2.已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,AC=2 ,BC=4,点D在BC边上，且∠CAD=∠B.
(1)求AD的长.
(2)取AD，AB的中点E，F联结CE，CF，EF，
求证： △CEF∽△ADB.
(1)解:
∴△ACB∽△DCA, Rt△ABC,
∴AD=5.
(2)证明:点E,F分别是AD,AB的中点,
在Rt△ACD中，E是AD中点，
同理
∴△CEF∽△ADB.
判定三角形相似的方法
定义法:
对应角相等、对应边成比例的的两个三角形叫做相似三角形.
判定方法１:
平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.
判定方法2:
两角对应相等的两个三角形相似.
判定方法3:
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定方法4：
三条边对应成比例的两个三角形相似.
（直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.）
