高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式测试（提高版）（含解析）

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高中数学人教A版（2019） 必修一
第二章 一元二次函数、方程和不等式测试（提高版）
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）（2024高二上·湖州期末）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（5分）（2025高一下·清远期中）已知一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为[1，2]，则cx2+bx+a≤0的解集为（　　）
A． B．[1，2] C．[-2，-1] D．
3．（5分）（2025·中山模拟）若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是
A．4 B．8 C．2 D．4
4．（5分）（2024高一上·松江月考）一元二次方程 有解是一元二次不等式 有解的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．（5分）（2025高二下·宁江月考）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（　　）
A．13 B．12 C．9 D．6
6．（5分）（2024高三上·丰城月考）已知，，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）（2024高一上·四川期末）某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（　　）
A．50 B．60 C．70 D．80
8．（5分）（2023高一上·益阳期末）函数 的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）（2025高一上·市中区期末）已知关于的不等式的解集为，则（　　）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
10．（5分）（2024高三上·长春模拟）十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下面结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则有最小值
C．若，则 D．若，则有最大值2
11．（5分）（2024高一上·青秀月考）下列函数中，最小值是2的是（　　）
A． B．y= +
C． D．y= +
12．（5分）（2023·东方模拟）下列各式中，最小值是2的有（　　）
A． B． C． D．
三、填空题(共4题；共21分)
13．（5分）（2024高一上·南宁期末）已知，则函数的最小值为　 　.
14．（5分）（2024高一上·望城期末）下列说法中错误的是　 　（填序号）
①命题“，有”的否定是“”，有”；
②已知，，，则的最小值为；
③设，命题“若，则”的否命题是真命题；
④已知，，若命题为真命题，则的取值范围是.
15．（5分）（2022高一上·丰城期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集是　 　；
16．（6分）（2025·深圳模拟）已知，则在　 　时，取得最小值为　 　．
四、解答题(共6题；共69分)
17．（11分）（2024高一上·广州期中）集合，．
（1）求，；
（2）若集合，，求的取值范围．
18．（12分）（2024高一上·广州月考）（1）比较与的大小．
（2）若，，且，求的取值范围．
（3）当取什么值时，一元二次不等式对一切实数都成立？
19．（12分）（2024高一上·广州月考）已知关于 的不等式 的解集为 .
（1）（6分）求 的值；
（2）（6分）当 ， ，且满足 时，有 恒成立，求 的取值范围.
20．（12分）（2023高一上·吉林期中）已知正实数满足．
（1）（6分）求的最大值；
（2）（6分）证明：．
21．（10分）（2024高二下·石家庄期末）已知函数，（）．
（1）（3分）当时，求不等式的解集；
（2）（3分）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）（4分）若对任意，存在，使得，求的取值范围．
22．（12分）（2024高二下·高碑店月考）设函数 .
（1）（6分）若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集；
（2）（6分）当 时，对任意的 都有 成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
2．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
3．【答案】B
【知识点】基本不等式
4．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
5．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义
6．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
7．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
10．【答案】A,B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
11．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
12．【答案】A,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
13．【答案】
【知识点】基本不等式
14．【答案】①④
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；基本不等式
15．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
16．【答案】3；6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
17．【答案】解：（1）因为，
或，或，
所以或，或；
（2）当时，显然，此时，即；
当时，由题意有或，解得，
综上，.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
18．【答案】解：（1）
．
（2）正数，，
，
，
，
或，
，
所以的取值范围：，．
（3）由题意知，一元二次不等式，所以，
当时，应满足，
解得，
所以，当时，一元二次不等式
对一切实数都成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用不等式的性质比较数（式）的大小；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】（1）解：解一：因为不等式 的解集为 或 ，所以1和b是方程 的两个实数根且 ，所以 ，解得解二：因为不等式 的解集为 或 ，所以1和b是方程 的两个实数根且 ，由1是 的根，有 ，
将 代入 ，得 或 ，
（2）解：由 Ⅰ 知 ，于是有 ，
故 ，
当 时，左式等号成立，
依题意必有 ，即 ，
得 ，
所以k的取值范围为
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
20．【答案】（1）解：因为，所以，
则，解得，即，
当且仅当时，等号成立．故的最大值为9．
（2）证明：因为，
解得或（舍去），当且仅当时，等号成立．
故，即得证．
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的证明
21．【答案】（1）解：当时，不等式为，整理可得，
即，解得或，
则不等式的解集为或；
（2）解： 因为任意，不等式恒成立，所以不等式的解集是，
即，解得，
则的取值范围是；
（3）解：当时，，
又，
①当，即时，对任意，，所以，不等式组无解；
②当，即时，对任意，，所以解得；
③当，即时，对任意，，
所以不等式组无解；
④当，即时，对任意，，所以，不等式组无解，
综上可知，实数的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
22．【答案】（1）解：因为不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的解
由韦达定理得： ，
故不等式 为 .
解不等式 得其解集为 .
（2）解： 时，
据题意 ， 恒成立，
则可转化为
设 ，则 ，
关于 递减，
所以 ，∴ .
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
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