《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)33　第三章　规范答题一　导数及其应用 课件

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第三章　一元函数的导数及其应用
规范答题一　导数及其应用
[典例]　(15分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
明条件，顺思路
①由题意，求切线，故求导．(ex)′＝ex；x′＝1；c′＝0
②已知切点(1，f (1))，还需求出切线斜率k＝f ′(1)，得切线方程y－
f (1)＝f ′(1)(x－1)．
明条件，顺思路
③由已知f (x)有极小值且极小值小于0，需研究函数的单调性得极值．
④由f ′(x)＝ex－a＝0是否有解进行讨论．
明条件，顺思路
⑤由f (x)的极小值为f (ln a)＝a－a ln a－a3<0(a>0)为超越不等式(不易解)，故借助新函数单调性求解．
⑥g(a)在(0，＋∞)上单调递减，联想函数单调性定义的应用，即g(a)<0＝g(x0)，观察验证知x0＝1时g(1)＝0．
规范答，抢得分
解：(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，
∴f ′(x)＝ex－1，……………………………………………………(1分)
则f ′(1)＝e－1，……………………………………………………(2分)
f (1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，………………………(3分)
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．
………………………………………………………………………(5分)
规范答，抢得分
(2)易知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－a，…………………(6分)
当a≤0时，f ′(x)>0，函数f (x)在R上单调递增，无极值；………(7分)
当a>0时，由f ′(x)>0，得x>ln a，
由f ′(x)<0，得x所以函数f (x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f (x)的极小值为f (ln a)＝a－a ln a－a3．………(9分)
由题意知a－a ln a－a3<0(a>0)等价于1－ln a－a2<0(a>0)，…(10分)
规范答，抢得分
令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)，
则g′(a)＝－－2a<0，……………………………………………(12分)
所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减．…………………………(13分)
又g(1)＝0，故当00，
当a>1时，g(a)<0＝g(1)，
故实数a的取值范围为(1，＋∞)．………………………………(15分)
点关键，防陷阱
①记清求导公式；
②“在某点”“过某点”求切线时的解法区别．
切线问题常用的三个关系：
①切点(x0，y0)在切线上；
②切点(x0，y0)在曲线上；
③k＝f ′(x0)．
点关键，防陷阱
研究单调性，定义域优先原则．
f ′(x)的符号与a的取值有关．
当a≤0时，f ′(x)恒正；
当a>0时，f ′(x)＝0有解．进行讨论得单调性、极值．
点关键，防陷阱
超越不等式及超越方程，常构造函数结合单调性求解．
[思考：此时能否借助两函数图象求解？]
g(x1)x2．
谢 谢 ！