《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)44　第四章　第7课时　正弦定理、余弦定理 课件

(共63张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
第7课时　正弦定理、余弦定理
[考试要求]　1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．理解三角形的面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
考点一　利用正、余弦定理解三角形正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝______________________________；
b2＝______________________________；
c2＝______________________________
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
定理 正弦定理 余弦定理
变形 (1)a＝2R sin A， b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝________________； (3)＝＝2R cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
sin A∶sin B∶sin C
[常用结论]
(1)三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝．
(2)三角形中的三角函数关系
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝－cos C；
③sin ＝cos ；④cos ＝sin ．
[典例1]　(1)(2024·成都诊断)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a tan B＝，b sin A＝4，则a的值为(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)(2024·南昌调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c sin A＝a cos C，c＝2，ab＝8，则a＋b的值是(　　)
A．6 B．8
C．4 D．2
√
√
(1)B　(2)A　[(1)由正弦定理得＝，则b sin A＝a sin B＝4，
又a tan B＝，所以cos B＝，
则sin B＝，所以a＝5．
故选B．
(2)由c sin A＝a cos C及正弦定理可得
sin C sin A＝sin A cos C，因为sin A≠0，所以sin C＝cos C，
可得tan C＝，又C∈(0，π)，所以C＝．
又c＝2，ab＝8，
所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，可得
12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，
所以a＋b＝6．故选A．]
反思领悟　解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
巩固迁移1　(1)(人教A版必修第二册P48练习T2改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，b＝，B＝，则A＝(　　)
A． B．
C．或 D．或
(2)(2024·江门蓬江区月考)在△ABC中，已知AB＝4，BC＝5，AC＝6，则cos A＝(　　)
A．　B． 　　C． 　　D．－
√
√
(3)在△ABC中，已知三个内角A，B，C满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos C＝________．
(1)A　(2)C　(3)－　[(1)根据正弦定理＝，得＝，
故sin A＝．
因为0又因为a－　
(2)在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝．
故选C．
(3)由正弦定理及题意得a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a＝2k，k＞0，则b＝3k，c＝4k，
则cos C＝＝＝－．]
射影定理：设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B，b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A．
[典例]　(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　)
A．　B． 　　 C．　　D．
√
C　[法一(正弦定理法)：由a cos B－b cos A＝c结合正弦定理得
sin A cos B－sin B cos A＝sin C，
得sin (A－B)＝sin C＝sin (A＋B)，
即sin A cos B－cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，
即sin B cos A＝0．
在△ABC中，sin B≠0，∴cos A＝0，即A＝．
则B＝π－A－C＝π－＝．故选C．
法二(余弦定理法)：由a cos B－b cos A＝c结合余弦定理的推论得a·－b·＝c，
化简得b2＋c2＝a2，∴A＝．
则B＝π－A－C＝π－＝．故选C．
法三(射影定理法)：由a cos B－b cos A＝c结合射影定理a cos B＋b cos A＝c，得b cos A＝0．
在△ABC中，b≠0，∴cos A＝0，即A＝，
则B＝π－＝．故选C．]
反思领悟　比较三种解法，显然，“射影定理法”更简洁，而且计算量小．但是，无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，否则会造成漏解．
应用体验　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若c cos B＋b cos C＝a sin A，S＝(b2＋a2－c2)，则B＝(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
√
B　[由c cos B＋b cos C＝a sin A，结合射影定理
c cos B＋b cos C＝a得a＝a sin A，即a(sin A－1)＝0．
在△ABC中，a≠0，∴sin A＝1，即A＝．
由S＝(b2＋a2－c2)＝ab sin C，
得tan C＝．
∵0∴B＝π－A－C＝π－＝．故选B．]
考点二　与三角形面积有关的问题
三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ab sin C＝_______________＝________________；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
acsin B
bcsin A
[常用结论]
三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B．
[典例2]　(1)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　　)
A．6 B．8
C．24 D．48
(2)(2024·天津北辰区三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos C＋c cos A＝．
①求角B的大小；
②若△ABC的面积为，b＝3，求△ABC的周长．
√
(1)C　[∵BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，
∴根据余弦定理知，
BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC cos ∠BAC，
∴64＝100＋AB2－2AB×10×，
∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC为直角三角形，∴AB⊥BC．
∴S△ABC＝AB·BC＝×6×8＝24．故选C．]
(2)[解]　①由a cos C＋c cos A＝，结合正弦定理，可得sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin B＝，
而sin B>0，则cos B＝，由0②由△ABC的面积为，可得ac sin B＝ac＝，即ac＝2，
由b＝3，B＝，结合余弦定理，可得9＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝(a＋c)2－6，
解得a＋c＝，
则△ABC的周长为a＋c＋b＝＋3．
反思领悟　(1)三角形面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
巩固迁移2　(2024·西安鄠邑区三模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝．
(1)求A；
(2)若b＋c＝a，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解]　(1)由＝
＝2sin A cos A，
又＝＝sin A，
所以2sin A cos A＝sin A，又A∈(0，π)，sin A≠0，
所以cos A＝，则A＝．
(2)因为△ABC的面积为，
所以bc sin A＝，解得bc＝，
由余弦定理可得a2＝c2＋b2－2bc cos A＝c2＋b2－bc＝(b＋c)2－3bc，
因为b＋c＝a，
所以a2＝(a)2－8，
解得a＝2，则b＋c＝2，
所以△ABC周长为2＋2．
考点三　判断三角形的形状
[典例3]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　　　 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
√
A　[法一(化角为边)：因为b cos C＋c cos B＝b·＋c·＝＝a，所以a sin A＝a，即sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二(化边为角)：因为bcos C＋ccos B＝asin A，
所以sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，
所以sinA＝sin2A，
又sinA≠0，
故sin A＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．
法三(射影定理)：b cos C＋c cos B＝a＝a sin A，
所以sin A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．]
【教用·备选题】
母题探究　若本例条件变为＝，判断△ABC的形状．
[解]　由＝，得＝，
所以sin A cos A＝cos B sin B，所以sin 2A＝sin 2B．
因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
反思领悟　判断三角形形状的两种思路
(1)通过正、余弦定理，化边为角，如本例法二，a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C等，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行判断．
(2)利用正、余弦定理，化角为边，如本例法一，cos C＝，cos B＝等，通过代数恒等变换，找出三边之间的关系进行判断．
巩固迁移3　(1)(2024·深圳期中)在△ABC中，若a sin B＝b cos A，
且sin C＝2sin A cos B，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形　
C．等腰三角形 D．等边三角形
(2)(2024·渭南临渭区三模)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cos C＋c cos B＝b，且a＝c cos B，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形　
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
√
√
(1)D　(2)D　[(1)因为a sin B＝b cos A，
则sin A sin B＝sin B cos A，
因为sin B≠0，
则tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，
又sin C＝2sin A cos B，则sin A cos B＋cos A sin B＝2sin A cos B，
即sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin (A－B)＝0，
又－π＜A－B＜π，则A＝B，即A＝B＝C＝，
即△ABC一定是等边三角形．故选D．
(2)法一：由余弦定理及b cos C＋c cos B＝b，
得b·＋c·＝b，
化简可得2a2＝2ab，即a＝b，
由余弦定理及a＝c cos B，得a＝c·，
化简可得a2＋b2＝c2，
所以C为直角，
所以△ABC是等腰直角三角形．
故选D．
法二：由正弦定理及b cos C＋c cos B＝b，
得sin B cos C＋sin C cos B＝sin B，
即sin (B＋C)＝sin B，
所以sin A＝sin B，
所以a＝b．
由余弦定理及a＝c cos B，得a＝c·，
化简可得a2＋b2＝c2，
所以C为直角，
所以△ABC是等腰直角三角形．故选D．]
随堂练习
√
1．(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为(　　)
A．120° B．90°
C．60° D．45°
A　[由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－．
又A∈(0，π)，∴A＝120°．]
2．(2025·岳阳湘阴县校级模拟)在不等边△ABC中，a2＜b2＋c2，则A的取值范围是(　　)
A．90°＜A＜180° B．45°＜A＜90°
C．60°＜A＜90° D．0°＜A＜90°
√
D　[∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，∴cos A＞0，∴A＜90°，
又∵0°故选D．]
3．(2025·重庆永川区模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a cos B＝c，则该三角形一定是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形　
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
√
A　[∵c＝2a cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin A·cos B，
∴sin (A＋B)＝2sin A cos B，可得sin (A－B)＝0．
又－π＜A－B＜π，∴A－B＝0．
故△ABC的形状是等腰三角形．
故选A．]
4．(2024·上海虹口区期中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝6，则sin C＝________．
　[因为a＝4，b＝5，c＝6，
所以cos C＝＝＝，则sin C＝＝．]
　
课后习题(三十)　正弦定理、余弦定理
1．(苏教版必修第二册P114本章测试T4改编)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c2＝a2＋b2－ab，则C＝(　　)
A．60° B．30°
C．60°或120° D．120°
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[∵c2＝a2＋b2－ab，∴a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理的推论得cosC＝＝，
又∵0°√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，B＝70°
B．a＝60，c＝48，B＝60°
C．a＝7，b＝5，A＝80°
D．a＝14，b＝16，A＝45°
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[对于A，已知两角及其中一角的对边，三角形确定，只有一解；对于B，已知两边及其夹角，用余弦定理，只有一解；对于C，已知两边及其中一边的对角，且已知的是两边中较大边所对的角，所以不可能有两解；对于D，b sin A＝16sin 45°＝8题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(人教B版必修第四册P12习题9－1AT4改编)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝，则C＝__．
　[由正弦定理，得sin C＝＝＝，所以C＝或C＝，因为B＝，所以0　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(北师大版必修第二册P118例5改编)在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　令＝k，由正弦定理，得
a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C．
代入已知条件，得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C．
又因为A，B，C∈(0，π)，所以A＝B＝C．
故△ABC为等边三角形．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2025·成都模拟)在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，则AB＝
(　　)
A． B．
C． D．7
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，
所以由余弦定理可得
AB＝
＝＝7．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2024·攀枝花东区校级月考)在△ABC中，a＝，b＝1，B＝，则角A＝(　　)
A． B．或
C． D．或
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为a＝，b＝1，B＝，
由正弦定理＝，
即sin A＝＝sin ＝，因为0＜A＜π，所以A＝或，
因为a＞b，故A＞B，
即两解均符合题意．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2024·南平延平区期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝6，A＝，则此三角形(　　)
A．无解 B．一解　
C．两解 D．解的个数不确定
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝．
因为a＜b，所以A＜B．
又因为B∈(0，π)，所以B＝或B＝，
故此三角形有两解．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2025·重庆模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为B＝，b＝6，a2＋c2＝3ac，
所以由余弦定理可得36＝a2＋c2－2ac×＝a2＋c2＋ac＝3ac＋ac＝4ac，
所以ac＝9，
则△ABC的面积S＝ac sin B＝×9×＝．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(多选)(2024·南充仪陇县月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则下列结论中正确的是(　　)
A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7
B．△ABC为钝角三角形　
C．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是3
D．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
BCD　[因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0．
A中，可得(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5k∶7k∶6k＝5∶7∶6，所以A不正确；
B中，可得C为最大角，由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝－＜0，
可得角C为钝角，所以该三角形为钝角三角形，所以B正确；
C中，因为a＋b＋c＝18，又a∶b∶c＝2∶3∶4，可得a＝4，b＝6，c＝8，由B选项的分析，可得sin C＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×6×＝3，所以C正确；
D中，由正弦定理可得＝2R，可得R＝＝，
则S△ABC＝ab sin C＝(a＋b＋c)r＝(2k＋3k＋4k)r，
即·2k·3k·＝r，可得r＝，所以5R＝，16r＝，即5R＝16r，所以D正确．
故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2025·丽江模拟)已知在△ABC中，A＝120°，且AB＝3，AC＝5，D是BC上的一点，且AD⊥AB，则BD＝________．
　[在△ABC中，A＝120°，且AB＝3，AC＝5，
由余弦定理得BC2＝9＋25－2×3×5×＝49，即BC＝7，
则cos B＝＝＝，
又cos B＝，所以BD＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2024·昆明五华区月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝b cos C＋c sin B，则B＝________；若△ABC的面积S△ABC＝2，a＋c＝5，则b＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[因为a＝b cos C＋c sin B，所以sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，所以sin (B＋C)＝sin B cos C＋sin C sin B，
即cos B sin C＝sin C sin B，因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以tan B＝，又B∈(0，π)，所以B＝．
由S△ABC＝2，可得ac sin B＝2，则ac＝8，
又a＋c＝5，则由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac＝26，解得b＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2024·贵阳云岩区校级一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a＝2c cos B＋b．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，a＋b＝5，求△ABC的面积．
[解]　(1)因为2a＝2c cos B＋b，由余弦定理可得2a＝2c·＋b，整理可得a2＋b2－c2＝ab．
由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C，所以cos C＝，
又C∈(0，π)，所以角C为．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)因为c＝，a＋b＝5，由(1)可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，
即7＝25－3ab，解得ab＝6，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×＝．
谢 谢 ！