《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)48　第四章　阶段提能(八)　解三角形 课件

(共35张PPT)
第四章　三角函数与解三角形
阶段提能(八)　解三角形
1．(人教A版必修第二册P47例8)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
题号
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[解]　由正弦定理，得
sin C＝＝＝．
因为c>b，B＝30°，所以30°于是C＝45°，或C＝135°．
题号
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(1)当C＝45°时，A＝105°．
此时a＝＝
＝
＝
＝
＝＋1．
(2)当C＝135°时，A＝15°．
此时a＝＝
＝
＝
＝
＝－1．
题号
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题号
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2．(人教B版必修第四册P10例4)如图所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积．
题号
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[解]　连接AC，如图所示．
在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cos B，
AC2＝AD2＋CD2－2AD×CD cos D．
又因为B＋D＝180°，所以cos D＝cos (180°－B)＝－cos B，
因此22＋(4)2－2×2×4cos B＝(2)2＋42＋2×2×4cos B．
解得cos B＝0，因此cos D＝0，则B＝D＝90°．
所以四边形ABCD的面积为×2×4×4×2＝4()．
题号
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3．(人教A版必修第二册P52习题6.4T8)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．
题号
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[解]　由题意，∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，
∴∠CBD＝π－α－β，
∴在△BCD中，由正弦定理得，
＝，
∴＝＝，
解得BC＝，
∵在点C测得塔顶A的仰角为θ，
∴∠ACB＝θ，
∴AB＝BC tan θ＝．
∴塔高AB为．
题号
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4．(北师大版必修第二册P124例12)如图所示，直线a表示海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在点A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，监测点A，C分别在8 s和20 s后相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中传播速度的大小为1.5 km/s．
(1)设PA＝x km，用x分别表示PB，PC，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(精确到0.01 km)
题号
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[解]　(1)依题意，PA－PB＝1.5×8＝12(km)，PC－PB＝1.5×20＝30(km)．
因此PB＝(x－12)km，PC＝(18＋x)km．
在△PAB中，AB＝20 km，cos ∠PAB＝
＝＝．
同理cos ∠PAC＝．
由cos ∠PAB＝cos ∠PAC，得＝．
解得x＝．
(2)如图所示，过点P作a的垂线，垂足为D．
在Rt△PDA中，PD＝PA cos ∠APD＝PA cos ∠PAB＝x·．
所以PD＝＝≈17.71(km)．
因此，静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km．
题号
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题号
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5．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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C　[因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin Asin C＝sin2B＝．
由余弦定理可得：b2＝a2＋c2－2ac cosB＝a2＋c2－ac＝ac，
即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，
所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，
因为A，C为三角形内角，则sin A>0，sin C>0，则sin A＋sin C＝．
故选C．]
题号
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6．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－
sin B)，则∠C＝(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
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B　[由正弦定理得(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)可化为(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，
即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理的推论可得，cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝．
故选B．]
题号
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7．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)
A．346 B．373
C．446 D．473
√
题号
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B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝．
在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，则BD＝A′B′＝．
又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373．]
题号
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8．(2024·春季上海卷)在△ABC中，BC＝2，A＝，B＝，则AB＝________．
　[在△ABC中，A＋B＋C＝π，C＝，sin C＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝，由正弦定理＝，BC＝2，A＝，则AB＝＝＝．]
　
题号
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9．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝________．
－1　[设CD＝2BD＝2m>0，
则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，
－1　
题号
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所以＝
＝
＝4－
≥4－＝4－2，当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立，所以当取最小值时，BD＝m＝－1．]
题号
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10．(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为S1，S2，S3，且S1－S2＋S3＝，sin B＝．
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝，求b．
题号
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[解]　(1)∵边长为a的正三角形的面积为a2，
∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝，即ac cos B＝1，
由sin B＝，得cos B＝，∴ac＝＝，
故S△ABC＝ac sin B＝＝．
(2)由正弦定理得：＝＝＝＝，故b＝sin B＝．
题号
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11．(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
题号
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[解]　法一：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin ＝sin ，
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA＞0，
所以sin A＝．
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝＝3，
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2．
题号
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由(1)得，tan A＝3＞，所以＜A＜，
又A＋B＝，所以B＞，
即C＜B，所以AB＜AC，所以AC＝2．
设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BC sin C，
即5h＝2×3，
解得h＝6，
所以AB边上的高为6．
题号
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法二：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝．
因为2sin (A－C)＝sin B，
所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)，
所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C，
所以sin A cos C＝3cos A sin C，
易得cos A cos C≠0，所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3，
又sin A＞0，所以sin A＝＝．
题号
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(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3＞0，所以A为锐角，
所以cos A＝，所以sin B＝sin ＝(cos A＋sin A)＝＝，由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2＝6．
题号
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12．(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为，D为BC的中点，且AD＝1．
(1)若∠ADC＝，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c．
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[解]　(1)因为D为BC的中点，
所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2××1×DC×＝，
解得DC＝2，
所以BD＝DC＝2，a＝4．
因为∠ADC＝，所以∠ADB＝．
在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝．
在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，
所以b＝．
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，
所以tanB＝＝．
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(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC．
因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，
得＝－，即1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，
所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2．
在△ABC中，由余弦定理的推论，得cos ∠BAC＝＝＝－，
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所以S△ABC＝bc sin ∠BAC
＝bc
＝bc
＝
＝，解得bc＝4．
则由 解得b＝c＝2．
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谢 谢 ！