《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)52　第五章　第2课时　平面向量基本定理及坐标表示 课件

(共59张PPT)
第五章　平面向量、复数
第2课时　平面向量基本定理及坐标表示
[考试要求]　1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示平面向量共线的条件．
考点一　平面向量基本定理的应用
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
2．基底：若e1，e2______，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
3．平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
不共线
有且只有
不共线
互相垂直
提醒：1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然．
2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0．
[典例1]　(1)设{e1，e2}为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是(　　)
A．e1＋e2和e1－e2 B．4e1＋2e2和2e2－4e1
C．2e1＋e2和e1＋e2 D．e1－2e2和4e2＋2e1
(2)(2025·张家口模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
√
√
(1)C　(2)A　[(1)平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，2e1＋e2＝2，即2e1＋e2和e1＋e2为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．
(2)因为E是AD的中点，所以＝－，所以＝＝
－，又因为D为BC的中点，所以＝)，
因此＝－)＋＝．
故选A．]
反思领悟　本例(1)的关键是判断两向量是否共线．若两向量共线，则不能作为基底．本例(2)的实质是把用不共线向量表示出来，表示过程中运用了向量的加、减、数乘运算法则以及向量共线的充要条件．
巩固迁移1　在△ABC中，＝＝，则＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
√
C　[在△ABC中，＝＝，如图，＝＝
－＝－)＝－＝
－＝－．]
【教用·备选题】
(2024·内江期末)在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若＝x，则x＝(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[由题意，＝＝)，
∵点F在BE上，则存在实数λ，
使得＝λ＋(1－λ)，
∴＝，
又＝x，∴λ＝，解得λ＝，∴x＝＝．
故选C．]
考点二　平面向量的坐标运算
1．向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________________，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝__________________，|a|＝．
2．向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__________________________，||＝．
(x1＋x2，y1＋y2)
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
提醒：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
[常用结论]
(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为．
(2)若△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为．
[典例2]　(1)(多选)(2024·南阳月考)已知O为坐标原点，＝(2，3)，＝(5，－3)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标可以为(　　)
A．(8，－9) B．(4，－1)
C． D．(5，－6)
(2)(2024·六盘水期末)已知A(1，－1)，B(－2，0)，C(0，1)，则＝_________．
√
√
(－4，3)
(1)AB　(2)(－4，3)　[(1)设P(x，y)，因为A(2，3)，B(5，－3)，且点P在直线AB上，故由||＝2||可得以下两种情况：
①＝2，此时有(x－2，y－3)＝2(5－x，－3－y)，解得x＝4，y＝－1．
②＝－2，此时有(x－2，y－3)＝－2(5－x，－3－y)，解得x＝8，
y＝－9．
综上所述，点P的坐标为(4，－1)或(8，－9)．
故选AB．
(2)由题意得＝(－3，1)，＝(－1，2)，故＝(－4，3)．]
反思领悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解．
巩固迁移2　(1)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．
①求3a＋b－3c；
②求M，N的坐标及向量的坐标．
√
(1)D　[如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为1，可得a＝(－1，1)，
b＝(6，2)，
c＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴解得λ＝－2，μ＝－．
∴＝4．故选D．]
(2)[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②设O为坐标原点，∵＝＝3c，
∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
∴M(0，20)．
又∵＝＝－2b，∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，
－4)＝(9，2)，∴N(9，2)，∴＝(9，－18)．
考点三　向量共线的坐标表示
平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b ______________________．
x1y2－x2y1＝0
[典例3]　(1)(2024·玉溪期末)向量a＝(1，1)，b＝(2，λ－1)，c＝(2，－3)，且(a＋b)∥(c－b)，则实数λ＝(　　)
A．5 B．－5
C．2 D．－2
(2)(人教A版必修第二册P33练习T5改编)已知点A(2，1)，B(－2，3)，若＝2，则点D的坐标是________．
√
(0，2)
(1)D　(2)(0，2)　[(1)因为a＝(1，1)，b＝(2，λ－1)，c＝(2，－3)，则a＋b＝(3，λ)，c－b＝(0，－2－λ)，
若(a＋b)∥(c－b)，则3(－2－λ)＝λ×0，解得λ＝－2．故选D．
(2)因为A(2，1)，B(－2，3)，设D(x，y)，则＝(－4，2)，
＝(x－2，y－1)，
由＝2，得(－4，2)＝2(x－2，y－1)＝(2x－4，2y－2)，
则解得∴点D的坐标是(0，2)．]
反思领悟　1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb．
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
巩固迁移3　(1)(2024·文昌期末)已知a＝(3，2)，b＝(－6，x)，若a与b共线，则x＝(　　)
A．－4 B．4
C．9 D．－9
(2)(2024·青浦区期末)已知A(2，0)，B(0，2)，若＝，则点C的坐标是________．
√
　
(1)A　(2)　[(1)因为a＝(3，2)，b＝(－6，x)，a与b共线，
所以3x＝2×(－6)，解得x＝－4．故选A．
(2)设C(x，y)，因为A(2，0)，B(0，2)，
所以＝(x－2，y)，＝(－2，2)，
因为＝，则解得x＝，y＝．]
随堂练习
√
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，若a＋2b与2a－b平行，则实数m＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
B　[因为a＝(－1，2)，b＝(m，1)，所以a＋2b＝(－1，2)＋2(m，1)＝(2m－1，4)，2a－b＝2(－1，2)－(m，1)＝(－m－2，3)．
由a＋2b与2a－b平行，得3(2m－1)＝4(－m－2)，解得m＝－．]
2．在△ABC中，＝，点E是AD的中点，记＝a，＝b，则＝(　　)
A．－a＋b B．－a＋b
C．－a－b D．a－b
√
B　[由题意知＝)＝＝＝－＝－a＋b．]
3．已知点A(－1，0)，B(3，－1)，C(1，2)，＝＝，求点E，F及向量的坐标．
[解]　设点E(a，b)，＝，即(a＋1，b)＝(2，2)，解得
故E．设点F (c，d)，＝，即(c－3，
d＋1)＝(－2，3)，解得故F＝．
【教用·备选题】
1．(2024·酒泉期末)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，3)，若a∥b，则实数m的值等于(　　)
A． B．－
C．6 D．－6
√
B　[因为a＝(1，－2)，b＝(m，3)，a∥b，则－2m＝1×3，解得m＝－．故选B．]
2．(2024·威信县期末)如果{e1，e2}表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是(　　)
A．e2，e1－2e2 B．e1＋2e2，e2＋2e1
C．e1－3e2，6e2－2e1 D．e1－e2，e1－3e2
√
C　[由向量共线定理知，选项A，B和D中的两个向量均不共线，故可以作为基底，因为e1－3e2＝－(6e2－2e1)，即e1－3e2与6e2－2e1共线，所以选项C中的两个向量不能作为一个基底．故选C．]
3．(2024·临沂期末)在△ABC中，点O满足＝2，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点E，F，设＝x＝y，则2x＋y＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
C　[已知E，O，F三点共线，则＝λ＋(1－λ)，
又＝x＝y，则＝，
又＝＝＝)＝，
则
即2x＋y＝3－3λ＋3λ＝3．故选C．]
4．(2024·咸阳期末)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，若＝λ－μ，则λ＋μ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
√
C　[因为正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，
所以＝＝＝)＝＝，
因为＝λ－μ，所以λ＝，μ＝－，
所以λ＋μ＝＝．
故选C．]
5．(2024·遵义期末)已知向量a＝(－1，4)，b＝(2，－1)．
(1)求；
(2)若向量c＝(2，m)，向量ma＋c与向量a＋mb共线，求m的值．
[解]　(1)因为a＝(－1，4)，b＝(2，－1)，
则a－b＝(－3，4)，
故＝＝5．
(2)因为c＝(2，m)，a＝(－1，4)，b＝(2，－1)，
则ma＋c＝(－m＋2，5m)，a＋mb＝(2m－1，－m＋4)，
向量ma＋c与向量a＋mb共线，
则(－m＋2)(－m＋4)＝5m(2m－1)，解得m＝－1或．
课后习题(三十三)　平面向量基本定理及坐标表示
1．(人教A版必修第二册P31例6改编)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则a－b＝(　　)
A．(－2，－1)　　　　　 B．(－2，1)
C．(－1，0) D．(－1，2)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[∵a＝(1，1)，b＝(1，－1)，
∴a＝b＝，
∴a－b＝＝(－1，2)，故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(湘教版必修第二册P28例7改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)
A．(2，2) B．(3，－1)
C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1)
D　[由题意可知＝(3，－3)．
若＝，则P点坐标为(2，2)；
若＝，则P点坐标为(3，1)，故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(人教A版必修第二册P30例5改编)已知 ABCD的顶点A(－1，
－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．
(1，5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，
即解得]
(1，5)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教A版必修第二册P33练习T5改编)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为_________________．
(3，1)或(1，－1)　[∵A(2，0)，B(4，2)，∴＝(2，2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，
∴＝2或＝－2，故＝(1，1)或＝(－1，－1)，故点P坐标为(3，1)或(1，－1)．]
(3，1)或(1，－1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·三沙市期末)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(4，2)
B．e1＝(1，2)，e2＝(－1，－2)
C．e1＝(3，11)，e2＝(2，1)
D．e1＝(2，－6)，e2＝(－1，3)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[对于A，因为e1＝0，所以e1，e2共线，则e1，e2不能作为基底，故A错误；
对于B，因为e1＝－e2，所以e1，e2共线，则e1，e2不能作为基底，故B错误；
对于C，因为3×1－11×2＝－19≠0，所以e1，e2不共线，则e1，e2能作为基底，故C正确；
对于D，因为e1＝－2e2，所以e1，e2共线，则e1，e2不能作为基底，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2024·闽清县期末)已知平面向量a，b满足a＋b＝(2，k)，a－b＝(1，1)．若a∥b，则k＝(　　)
A．－2 B．－
C． D．2
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[因为a＋b＝(2，k)，a－b＝(1，1)，则a＝，b＝，
又因为a∥b，则＝，解得k＝2．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2024·甘肃兰州期末)已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若＝(12，16)，D(－2，－3)，则点E的坐标为(　　)
A．(4，5) B．(1，1)
C．(－5，－7) D．(－8，－11)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[因为D，E分别为AB，AC的中点，所以＝＝(6，8)．
设E(x，y)，又因为D(－2，－3)，所以(x＋2，y＋3)＝(6，8)，
所以解得即点E的坐标为(4，5)．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(2024·浙江宁波月考)在△ABC中，N是BC上的点，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[因为N是BC上的点，故设＝λ，所以＝λ()，即＝，又因为＝＋m，
所以由平面向量基本定理，可得解得故选C．
]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(多选)(2024·邯郸市涉县月考)以A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)三个点为顶点作平行四边形，则第四个顶点D的坐标可以是(　　)
A．(2，3) B．(2，－1)
C．(4，1) D．(－2，－1)
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ACD　[因为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，
以A，B，C三个点为顶点作平行四边形，如图所示：
设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
若＝，则(1，－1)＝(3－x，2－y)，
即解得所以D(2，3)，选项A正确；
若＝，则(3，1)＝(x－1，y)，
即解得
所以D(4，1)，选项C正确；
若＝，则(x，y－1)＝(－2，－2)，
即解得所以D(－2，－1)，选项D正确．
故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2024·海林市月考)平面向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，则a＋2b＝________．
(7，10)　[由题知，a＝(1，2)，b＝(3，4)，则a＋2b＝(1，2)＋(6，8)＝(7，10)．]
(7，10)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2024·朝阳市建平县月考)已知A(－2，4)，B(3，－1)，
C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c．
(1)求满足c＝ma＋nb的实数m，n的值；
(2)若线段BC靠近点B的三等分点为M，求M点的坐标．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
则a＝＝(5，－5)，b＝＝(－6，－3)，c＝＝(1，8)，c＝ma＋nb，则解得m＝－1，n＝－1．
(2)线段BC靠近点B的三等分点为M，则＝，设M(x，y)，
则(x－3，y＋1)＝(－6，－3)＝(－2，－1)，解得x＝1，y＝－2．故M点坐标是(1，－2)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2024·北京市东城区期末)已知点A(5，－2)，B(－1，4)，C(3，3)，M是线段AB的中点．
(1)求点M和的坐标；
(2)若D是x轴上一点，且满足∥，求点D的坐标．
[解]　(1)∵A(5，－2)，B(－1，4)，M是线段AB的中点，
∴M＝(2，1)，
＝(－1，4)－(5，－2)＝(－6，6)．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)设D(x，0)，则＝(x＋1，－4)，＝(－1，－2)，
∵∥，
∴(x＋1)×(－2)－(－4)×(－1)＝0，解得x＝－3，
∴点D的坐标是(－3，0)．
谢 谢 ！