《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)53　第五章　第3课时　平面向量的数量积及其应用 课件

(共75张PPT)
第五章　平面向量、复数
第3课时　平面向量的数量积及其应用
[考试要求]　1．理解平面向量的数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
考点一　平面向量的数量积的运算
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是__________．
当θ＝时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝0时，a与b共线且____；
当θ＝__时，a与b共线且反向．
[0，π]
同向
π
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝__．
|a||b|cos θ
0
[常用结论]
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
[典例1]　(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则＝(　　)
A． B．3
C．2 D．5
√
√
(3)(2024·辽阳期中)中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图(扇形AOB截去扇形COD剩余的部分)，已知OA＝7，OC＝3，∠AOB＝120°，则＝(　　)
A．－8
B．－8
C．8
D．8
√
(1)B　(2)B　(3)B　[(1)由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．
(2)法一：由题意知，＝＝＝＝－，所以＝＝||2－||2，由题意知||＝||＝2，所以＝4－1＝3，故选B．
法二：以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则 E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(1，2)，＝(－1，2)，
所以＝－1＋4＝3，故选B．
(3)根据题意，可得〈〉＝∠AOB＝120°，
因为OA＝7，OC＝3，所以||＝7－3＝4，同理||＝4，
因此，＝||·||cos 120°＝4×4×＝－8．故选B．]
反思领悟　数量积a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．解题时一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
巩固迁移1　(1)(2024·乌兰浩特市期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝3，则的值为(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
√
(2)(2024·曲靖期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，b＝2，c＝1，则＝(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
√
(1)C　(2)C　[(1)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，所以A(0，0)，B(2，0)，E(2，2)，设F (m，4)(0≤m≤2)，
所以＝(m，4)，＝(2，0)，
所以＝2m＝3，解得m＝，
所以＝(2，2)·＝11．
故选C．
(2)由题意，A＝，b＝2，c＝1，
则＝||·||cos (π－A)＝－bc cos A＝－2×1×＝－1．
故选C．]
考点二　投影向量
平面向量的数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b____，叫做向量a在向量b上的________，记为_________．
投影
投影向量
|a|cos θ e
提醒：(1)设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝．
(2)|a|cos θ是a在b方向上的投影的数量，所以a·b＝|b||a|cos θ是|b|与a在b方向上的投影的数量的乘积．
[典例2]　(1)(2024·泉州检测)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a＋b在a方向上的投影向量为(　　)
A．a B．b
C．2a D．2b
(2)(2024·榆林期末)已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
√
(1)A　(2)B　[(1)由已知条件得|a＋b|2＝|a－b|2，
即a·b＝0．
又a＋b在a方向上的投影向量为·(|a＋b|·cos 〈a＋b，a〉)＝＝＝a．故选A．
(2)因为在边长为2的正方形ABCD中，
点E，F分别为AB，BC的中点，
所以||＝||＝1，
且在方向上的投影的数量为2，
所以＝1×2＝2．
故选B．]
反思领悟　本例(1)中，a＋b在a方向上的投影向量为，它是一个向量，且与a共线；本例(2)中，是||与在方向上的投影的数量||cos ∠FAE的乘积，由图易知在上的投影的数量为||＝2，大大减少了运算量．
巩固迁移2　已知|a|＝2，|b|＝10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a上的投影向量为________．
－a　[向量b在向量a上的投影向量为|b|·cos 120°·＝10×a＝－a．]
－a　
【教用·备选题】
(2025·豫南名校模拟)如图，这是用来构造无理数，…的图形，已知P是平面四边形ABCD内(包含边界)一点，则的取值范围是(　　)
A． B．[－1，]
C． D．
√
D　[如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，
所以CE＝．
由图可知，当P在线段AB上时，||·cos ∠PCB有最大值1，当P在点D处时，||·cos ∠PCB有最小值－，又||＝1，所以的取值范围是．
故选D．]
考点三　平面向量的数量积的应用
1．向量的数量积的运算律
(1)a·b＝______．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝____________．
(3)(a＋b)·c＝______________．
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c
2．平面向量的数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__________________．
(2)模：|a|＝＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
x1x2＋y1y2
(4)两非零向量a⊥b a·b＝0 ______________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)(当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立)．
x1x2＋y1y2＝0
[常用结论]　有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不同向；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0．
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不反向；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π．
考向1　向量的模
[典例3]　(2025·江苏无锡模拟)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，)，x∈R，则|b＋xa|的最小值是(　　)
A．1 B．0
C．2 D．4
√
A　[因为b＋xa＝(1，)＋x(0，－1)＝(1，－x)，
所以|b＋xa|＝，
因为x∈R，所以|b＋xa|＝≥1，当且仅当x＝时，等号成立．
故选A．]
反思领悟　求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝＝．
巩固迁移3　(2024·辽宁期末)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，0)，则|a－2b|＝(　　)
A．3 B．2
C． D．3
√
A　[因为a＝(－1，3)，b＝(1，0)，则a－2b＝(－3，3)，
故|a－2b|＝＝3．
故选A．]
考向2　平面向量的夹角
[典例4]　(2024·双鸭山期末)已知a＝(1，x)，b＝(2，－4)，若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
√
C　[∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)，a与b的夹角为锐角，
∴a·b＝2－4x>0，且x≠－2，
解得x＜，且x≠－2，
∴实数x的取值范围为．
故选C．]
反思领悟　求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝；(2)坐标法．
巩固迁移4　(人教A版必修第二册P61复习参考题6T13(4)改编)已知向量a，b满足|a|＝|b|，且a，b的夹角为，则b与a－b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[∵|a|＝|b|，〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a||b|＝b2，b·(a－b)＝a·b－b2＝－b2，
|a－b|＝＝＝
＝|b|，
∴cos 〈b，a－b〉＝＝＝－，且〈b，a－b〉∈[0，π]，
∴b与a－b的夹角为．故选D．]
考向3　向量的垂直
[典例5]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
√
D　[因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．
故选D．]
反思领悟　两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
巩固迁移5　(1)(2024·绵阳期末)已知平面向量a＝(x－1，4)，b＝(2，x＋3)，若a⊥b，则x＝(　　)
A．－2 　　 B．－ 　　 C． 　　D．5
(2)(2024·琼海月考)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，－2)，c＝(3，
－1)，若a与λb－c垂直，则实数λ的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
√
√
(1)B　(2)D　[(1)因为a＝(x－1，4)，b＝(2，x＋3)，a⊥b，
所以a·b＝2(x－1)＋4(x＋3)＝0，解得x＝－．故选B．
(2)因为b＝(1，－2)，c＝(3，－1)，所以λb－c＝(λ－3，－2λ＋1)，
因为a与λb－c垂直，所以a·(λb－c)＝－λ＋3－6λ＋3＝0，解得λ＝．故选D．]
随堂练习
√
1．(2024·玉溪期末)已知平面向量a＝(0，1)，b＝(－2，4)，则a·b＝(　　)
A．2 B．4
C．－2 D．4－2
B　[∵a＝(0，1)，b＝(－2，4)，
∴a·b＝0×(－2)＋1×4＝4．
故选B．]
2．(2024·温州一模)已知向量a＝(0，4)，b＝(－3，－3)，则a在b上的投影向量的坐标是(　　)
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(0，－3) D．(0，3)
√
B　[a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·＝＝b＝－b＝(2，2)．故选B．]
3．(2025·重庆市沙坪坝区模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝(　　)
A．2 B．3
C．2 D．
√
C　[因为a＝(3，1)，b＝(－2，x)，则a＋b＝(1，1＋x)，
又因为a⊥(a＋b)，则a·(a＋b)＝3＋1＋x＝0，解得x＝－4，
故|b|＝＝2．故选C．]
4．(2024·重庆市松江区期末)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(2，－1)，则|a|2－|b|2＝________．
1　[因为a＋b＝(2，3)，a－b＝(2，－1)，
所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝2×2＋3×(－1)＝1，
即|a|2－|b|2＝1．]
1
【教用·备选题】
1．(2025·西藏模拟)已知平面向量a＝(1，)，b＝(，1)，且a⊥(b－λa)，则实数λ的值为(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[因为a＝(1，)，b＝(，1)，则a2＝1＋3＝4，a·b＝＝2，
又因为a⊥(b－λa)，则a·(b－λa)＝a·b－λa2＝2－4λ＝0，解得
λ＝．故选B．]
2．(2024·儋州期末)平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则|a－2b|＝(　　)
A． B．13
C． D．21
√
A　[因为|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，
解得a·b＝a2＝1，所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×1＋4×4＝13，
所以|a－2b|＝．
故选A．]
3．(2024·大理州期末)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，2)，|a－b|＝，则向量a在向量b方向上的投影向量为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
√
B　[根据题意，因为b＝(1，2)，所以|b|＝＝，
又|a－b|＝，所以(a－b)2＝7，即a2－2a·b＋b2＝7，
即12－2a·b＋()2＝7，所以a·b＝－，
所以向量a在向量b方向上的投影向量为＝－b＝．
故选B．]
4．(2024·临沂期末)已知两个单位向量e1与e2的夹角为，设a＝2e1＋e2，b＝te1－3e2．
(1)求|a＋b|的最小值；
(2)若a与b的夹角为钝角，求t的取值范围．
[解]　(1)由a＝2e1＋e2，b＝te1－3e2，可得a＋b＝(2＋t)e1－2e2，
又e1与e2是单位向量，且夹角为，
则|a＋b|＝
＝＝，
故当t＝－1时，|a＋b|的最小值为．
(2)由a与b的夹角为钝角，可得a·b<0且a与b不共线，
则有解得t<且t≠－6，
故t的取值范围是(－∞，－6)．
课后习题(三十四)　平面向量的数量积及其应用
1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
A　[|a|＝＝5，|b|＝＝13．
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
－e　[向量b在向量a上的投影向量为·e＝－e．]
－e
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2　[由题意得，a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2．]
2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
8　[取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，
所以＝||||·cos∠BAC＝||·||＝||2＝8．]
8
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
5．(2024·辽源期末)已知向量a＝(－1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，则|b|＝(　　)
A．2 B．4
C．4 D．8
√
C　[根据题意，向量a＝(－1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，
则有a·b＝－x＋8＝0，则x＝8，故|b|＝＝4，故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6．(2025·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为(　　)
A．b B．－2b
C．－b D．－b
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[因为a，b是两个互相垂直的单位向量，
所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，
所以向量a－2b在向量b上的投影向量为
＝－2b．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
7．(2025·济宁模拟)如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则＝(　　)
A．0 B．4
C．8 D．－4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[由题图中的垂直关系，可得在上的投影数量为||，所以＝||2，只需求出△ABC的高即可．由已知可得AD＝AB·sin B＝2，所以＝||2＝4．
故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
8．(多选)(2024·遂宁月考)已知a＝(t，－2)，b＝(－4，t)，则(　　)
A．若a∥b，则t＝±2
B．若a⊥b，则t＝0
C．|a－b|的最小值为
D．若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0，＋∞)
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
ABC　[对于A，若a∥b，则t2－8＝0，
解得t＝±2，故A正确；
对于B，若a⊥b，则a·b＝－4t－2t＝0，解得t＝0，故B正确；
对于C，a－b＝(t＋4，－2－t)，
则|a－b|＝
＝＝，
当t＝－3时，|a－b|min＝，故C正确；
对于D，因为向量a与向量b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，
由a·b＝－4t－2t<0，得t>0，由a∥b得t＝±2，
所以t的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)，故D错误．
故选ABC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
9．(2025·济南模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b等于(　　)
A．(－3，－4) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(－4，－3)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
D　[设b＝(x，y)，
∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①
∵b与向量(1，0)的夹角为钝角，∴x<0，②
又|b|＝＝5，③
由①②③解得
∴b＝(－4，－3)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
10．(2024·北京西城区期末)在△ABC中，A＝60°，AC＝6，AB＝4，则＝________，||＝________．
12
4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12　4　[△ABC中，A＝60°，AC＝6，AB＝4，
则＝||||cos 〈〉＝6×4×cos 60°＝12，
因为＝＝－2，
所以()2＝(－2)2＝－4＋4＝16－4×12＋4×36＝112，
所以||＝＝4．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2024·成都期末)已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a的夹角为，则＝________．
　
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
　[根据题意，设|a|＝m，|b|＝n，若a⊥b，则|a＋2b|＝＝，又由a＋2b与a的夹角为，则cos 〈a＋2b，a〉＝＝＝＝，变形可得：m＝2n，则＝＝．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
12．(2024·琼海月考)已知向量a＝(1，1)，b＝(3，－4)．
(1)求|a＋2b|；
(2)已知|c|＝2，且(2a＋c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
[解]　(1)由向量a＝(1，1)，b＝(3，－4)，得a＋2b＝(1，1)＋2(3，－4)＝(7，－7)，
所以|a＋2b|＝＝7．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
(2)由|c|＝2，(2a＋c)⊥c，
得(2a＋c)·c＝2a·c＋c2＝2a·c＋4＝0，
解得a·c＝－2，
由a＝(1，1)，得|a|＝，所以cos 〈a，c〉＝＝＝－，
又〈a，c〉∈[0，π]，所以〈a，c〉＝，
所以向量a与向量c的夹角为．
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