《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)57　第六章　第1课时　数列的概念与简单表示法 课件

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第六章　数列
第六章　数列
第六章　数列
必修1 中国特色社会主义
第六章　数列
等比数列是高考的重点和热点，一是考查利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低难度题；二是考查等比数列的证明、等比数列的性质、通项公式及前n项和等，多以解答题形式呈现，难度中等．
必修1 中国特色社会主义
第六章　数列
(12分)(2024·全国甲卷T18)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
[阅读与思考]　(1)第1步：根据数列中an和Sn的关系求数列{an}的递推关系．
因为4Sn＝3an＋4，①
所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4，②……………………………(1分)
则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，
即an＝－3an－1．……………………………………………………(3分)
第2步：求出a1．
当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，
………………………………………………………………………(4分)
第3步：求数列{an}的通项公式．
所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，
所以an＝4×(－3)n-1．………………………………………………(5分)
(2)第1步：求出数列{bn}的通项公式．
因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，…………(7分)
第2步：利用错位相减法求Tn．
所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，
3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，………………………(8分)
两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n
＝4＋4×－4n·3n
＝－2＋(2－4n)·3n，……………………………………………(11分)
所以Tn＝1＋(2n－1)·3n．………………………………………(12分)
必修1 中国特色社会主义
第六章　数列
归纳总结：若一个数列的通项公式为anbn的形式，其中数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则求数列{anbn}的前n项和时，可以利用错位相减法．
必修1 中国特色社会主义
第六章　数列
本题第(1)问源自人教A版教材选择性必修第二册P56复习参考题4T12(1)．这一问教材习题和高考题在解法上完全相同，难度相当，都是考查由数列的递推关系式求数列的通项公式．本题第(2)问源自人教A版教材选择性必修第二册P56复习参考题4T11(2)．教材习题第(1)问求得an＝2n－1后，则第(2)问cn＝(2n－1)·3n-1与高考题第(2)问bn＝4n·3n-1的通项公式都是等差数列与等比数列“积”的形式，用“错位相减法”求和．高考题难度稍高于教材习题，在于多了一步幂运算，即bn＝
(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝(－1)n-1n×4×(－1)n-1×3n-1＝
(－1)2(n-1)n×4×3n-1＝4n×3n-1．
必修1 中国特色社会主义
第六章　数列
试题评价：本题以数列的前n项和与通项之间的关系为载体，考查数列问题中已知数列的递推关系的条件下，求数列的通项公式及错位相减法求和，属于课程学习情境，难度中等，体现了数学运算、逻辑推理的数学核心素养．
附：1．(人教A版选择性必修第二册复习参考题4P56T12(1))已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式．
2．(人教A版选择性必修第二册复习参考题4P56T11(2))已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．(2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
第1课时　数列的概念与简单表示法
[考试要求]　1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
考点一　由an与Sn的关系求通项公式
1．数列的定义
一般地，把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝__________________叫做数列的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
提醒：若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
确定的顺序
a1＋a2＋…＋an
S1
Sn－Sn－1
[典例1]　(1)(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n＋1，那么{an}的通项公式是
(2)(2024·全国甲卷节选)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．求{an}的通项公式．
an＝
__________________．
(1)an＝　[当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＋1＝4，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋1－[2(n－1)2＋(n－1)＋1]＝4n－1．
由于a1＝4不满足上式，
所以an＝]
(2)[解]　因为2Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3，
所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比数列的公比q＝，
故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝．
【教用·备选题】
母题探究　本例(1)中，若Sn＝2n2＋n，求an．
[解]　当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，
由于a1＝3满足上式，
所以an＝4n－1(n∈N*)．
反思领悟　本例(1)由Sn＝2n2＋n＋1求an时，先分n＝1，n≥2两种情况讨论，然后验证能否合并为同一个表达式；本例(2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含an，an＋1的关系式5an＝3an＋1，再求解．
巩固迁移1　(1)(2024·抚州临川二中月考)已知数列{an}，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________．
(2)(2024·榆林模拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝
－2n-1
_____________．
(1)－2n-1　(2)　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1．
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1．②
①－②，得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．
(2)当n＝1时，a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1，②
由①－②，得nan＝2n－2n-1＝2n-1，
∴an＝(n≥2)．
显然a1＝2不满足上式，
∴an＝]
考点二　由数列的递推关系求通项公式
1．数列有三种表示法，它们分别是______、______和________．
2．通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
3．递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
列表法
图象法
解析式法
一个式子
[典例2]　(1)(2024·南阳月考)已知数列{an}满足an＋1＝an，a1＝1，则a11＝(　　)
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·济南历下区模拟)围棋起源于中国，至今已有4 000多年的历史．在围棋中，对于一些复杂的死活问题，比如在判断自己单个眼内的气数是否满足需求时，可利用数列通项的递推方法来计算．假设大小为n的眼有an口气，大小为n＋1的眼有an＋1口气，则an与an＋1满足的关系是a1＝1，a2＝2，an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，则{an}的通项公式为
_________________．
an＝
(1)B　(2)an＝　[(1)a11＝a10＝a9＝a8＝…＝×…×a1＝a1＝．故选B．
(2)已知an＋1－n＝an－1(n≥2，n∈N*)，
则an＋1－an＝n－1，
即n≥3时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2
＝(n－2)＋(n－3)＋…＋1＋2＝＋2＝，
又因为当n＝2时，a2＝2满足上式，
当n＝1时，a1＝1不满足上式，
所以an＝]
反思领悟　本例(1)，an＋1＝an这一递推关系可化为＝的形式，可用累乘法：×…×＝×…×，即a11＝×a1＝， 也可用本例解答中的方法；
本例(2)，an＋1－an＝n－1这一递推关系，一般用累加法求和，但一定要注意能消去多少项，保留多少项．
巩固迁移2　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，则an＝________．
(2)若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝_______．
(1)3－　(2)　[(1)因为当n≥2时，an－an－1＝＝，
所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋…＋＋2＝3－．
当n＝1时，满足上式．故an＝3－．
3－
(2)由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，
得＝(n≥2)．
所以an＝·…··a1＝×…××1＝，
又因为a1＝1也满足上式，所以an＝．]
考点三　数列的函数特性
分类标准 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数____
无穷数列 项数____
按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1__an 其中
n∈N*
递减数列 an＋1__an
常数列 an＋1＝an
有限
无限
＞
＜
分类标准 类型 满足条件
按其他 标准分类 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
周期数列 对n∈N*，存在正整数k，使an＋k＝an
[常用结论]　在数列{an}中，若an最大，则(n≥2)，若an最小，则(n≥2)．
考向1　数列的周期性
[典例3]　(2024·海宁市月考)已知数列{an}，a1＝4，a2＝1，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 025＝(　　)
A．4 B．3
C．－3 D．－4
√
C　[因为a1＝4，a2＝1，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，
所以a3＝a2－a1＝1－4＝－3，
a4＝a3－a2＝－3－1＝－4，
a5＝a4－a3＝－4－(－3)＝－1，
a6＝a5－a4＝－1－(－4)＝3，
a7＝a6－a5＝3－(－1)＝4，
a8＝a7－a6＝4－3＝1，
……
所以数列{an}是以6为周期的数列，
所以a2 025＝a337×6＋3＝a3＝－3．故选C．]
反思领悟　本例由递推关系a1＝4，a2＝1，an＋2＝an＋1－an计算出a3，a4，a5，a6，a7，a8，观察并发现数列{an}中，a1，a2，…a6，a7，a8…每6项循环出现一次，故数列{an}的周期为6，进而可求
a2 025．由递推公式计算出一些项，观察并发现周期，是数列求周期的最实用方法．
巩固迁移3　(2024·哈尔滨南岗区月考)若数列{an}满足an＋1＝，a3＝3，则a2 025＝(　　)
A．－ B．
C． D．3
√
D　[因为an＋1＝，a3＝3，
所以a3＝＝3，解得a2＝．
又a2＝＝，解得a1＝－．
又a4＝＝－，a5＝＝，a6＝＝3，
显然，接下去a7＝－，a8＝，a9＝3，…，
所以数列{an}是以3为周期的数列，则a2 025＝a674×3＋3＝a3＝3．故选D．]
考向2　数列的单调性
[典例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
√
D　[因为an＋1－an＝＝，
由数列{an}为递减数列知，
对于任意的n∈N*，an＋1－an＝<0，所以k>3－3n对于任意的n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D．]
反思领悟　数列是特殊的函数，利用数列的单调性求参数实质是函数中的恒成立问题．如本例中，由{an}递减可得an＋1－an<0，即k>3－3n恒成立．
巩固迁移4　(2024·秦皇岛月考)已知数列{an}是递增数列，则其通项公式可以是(　　)
A．an＝n2－n B．an＝3n－9n　
C．an＝ D．an＝3n-1－2n
√
A　[对于A，an＝n2－n，
则an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－n2＋n＝2n>0，是递增数列，A正确；
对于B，an＝3n－9n，
则a1＝－6，a2＝－9，不是递增数列，故B错误；
对于C，an＝
则a5＝25，a6＝13，不是递增数列，故C错误；
对于D，an＝3n-1－2n，
则a1＝a2＝－1，不是递增数列，故D错误．故选A．]
考向3　数列的最值
[典例5]　(2024·沈阳期末)已知数列{an}的通项公式为an＝，则此数列的最大项为(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[法一：an＋1－an＝＝，
当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，
所以a1＜a2＜a3＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，
所以数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝＝．
法二：设数列{an}的第n项最大，则(n≥2)，
即
解得8≤n≤9，又n∈N*，则n＝8或n＝9，
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝．
故选D．]
反思领悟　本例法一，求出an＋1－an＝后，利用函数单调性求{an}的最大项，法二利用(n≥2)确定最大项．
巩固迁移5　(2025·锦州模拟)数列{an}的通项公式为an＝，该数列的前50项中最大项是(　　)
A．a1 B．a44
C．a45 D．a50
√
C　[an＝＝
＝1＋，
因为＞0，∈(44，45)，
当n≤44时，数列{an}递减，且an＜1，
当n≥45时，数列{an}递减，且an＞1，
当n＝45时，取得最大项．
故选C．]
随堂练习
√
1．(2024·石景山期末)在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－(n∈N*)，则a2 025的值为(　　)
A．－2 B．
C． D．
B　[由a1＝－2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝1－＝，
a3＝1－＝，a4＝1－3＝－2＝a1，
a5＝1－＝＝a2，…，
即数列{an}是周期为3的数列，
则a2 025＝a3×674＋3＝a3＝．
故选B．]
2．(2024·琼海期末)下列四个选项中，不正确的是(　　)
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列
C．数列，…的一个通项公式是an＝(n∈N*)
D．数列，…，是递减数列
√
B　[根据数列的函数特性可知，数列的图象是一群孤立的点，A正确；
根据数列的定义可知，数列的项具有一定的顺序，B错误；
数列…的一个通项公式是an＝，C正确；
根据数列单调性的定义可知，D正确．
故选B．]
3．(2024·唐山二模)已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
D　[由an＋1＝an＋a1＋2n，可得an＋1－an＝a1＋2n，
则an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋4)＋…＋(a1＋2n－2)
＝na1＋(n－1)(2＋2n－2)＝na1＋n(n－1)，
由a10＝130，可得10a1＋90＝130，解得a1＝4．故选D．]
4．(2024·鄂尔多斯期末)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a3＋a4＝________．
12　[由数列{an}的前n项和Sn＝2n，
可得a3＋a4＝S4－S2＝24－22＝12．]
12
【教用·备选题】
1．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＋an＝2，则a22＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－1
√
D　[因为数列{an}满足a1＝3，an＋1＋an＝2，
所以a1＝3，a2＝－1，a3＝3，a4＝－1，…，
故数列{an}是周期为2的数列，所以a22＝a2＝－1．
故选D．]
2．(2024·南昌月考)已知数列{an}是递增数列，且an＝则a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[根据题意，因为数列{an}是递增数列，且an＝
所以
解得则a的取值范围是．故选D．]
3．(2024·茂名一模)数列{an}满足a1＝8，an＋1＝(n∈N*)，bn＝，若数列{bn}是递减数列，则实数λ的取值范围是
(　　)
A． B．
C． D．
√
D　[由题意an＋1＝，两边取倒数可化为＝＝＋n，即＝n，
所以＝1，＝2，…，＝n－1，
由累加法可得＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
因为a1＝8，所以＝＝，
所以bn＝＝，
因为数列{bn}是递减数列，故bn＜bn－1(n≥2)，
所以<，
即λ＞＝－＋1，
因为n≥2且n∈N*，故当n＝2或n＝3时，＋1取得最大值，故λ>．故选D．]
4．(2025·房山区模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2－n，则a5＝________；数列{an}的通项公式an＝________．
8　2n－2　[由Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝n2－n，得
当n＝1时，a1＝S1＝0，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2，
当n＝1时，上式成立，所以an＝2n－2，a5＝8．]
8
2n－2
5．(2025·湘西州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋2，则S5＝________．
－62　[令n＝1，得a1＝S1＝2a1＋2，所以a1＝－2，
Sn＝2an＋2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋2，两式相减得，
Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即＝2，
所以数列{an}是首项为－2，公比为2的等比数列，
所以S5＝＝－62．]
－62
6．(2025·湖北武汉模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数．若a1＝1，且an＋1＝
则解下6个圆环所需的最少移动次数为________．
64　[因为a1＝1，所以a2＝2a1＋2＝4，a3＝2a2－1＝7，a4＝2a3＋2＝16，a5＝2a4－1＝31，a6＝2a5＋2＝64．]
64
课后习题(三十七)　数列的概念与简单表示法
1．(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n，则数列{an}的通项公式为an＝________．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6n－1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
6n－1　[由题知，Sn＝3n2＋2n，则Sn－1＝3(n－1)2＋2(n－1)＝3n2－4n＋1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝6n－1(n≥2)，又a1＝S1＝5，符合上式，所以an＝6n－1(n∈N*)．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
2．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T7改编)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn，若数列{an}是递增数列，则实数k的取值范围为___________．
(－3，＋∞)　[由数列{an}是递增数列，可得an＋1>an对于任意的n∈N*恒成立，即(n＋1)2＋k(n＋1)>n2＋kn，即2n＋1＋k>0，即k>
－2n－1对于任意的n∈N*恒成立．因为f (n)＝－2n－1(n∈N*)递减，所以f (n)max＝f (1)＝－3，所以k>－3．]
(－3，＋∞)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
3．(苏教版选择性必修第一册P139习题4.1T8改编)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则数列{an}的最大项为第________项．
4　[法一：因为an＋1－an＝＝，
所以当n≥4时，an＋1an，
即a1a5>a6>…，
故数列{an}的最大项为第4项．
4
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
法二：设数列{an}中的最大项为ak，则(k≥2)，
即解得≤k≤．
因为k∈N*，所以k＝4．
故数列{an}的最大项为第4项．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
4．(人教A版选择性必修第二册P9习题4.1T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝n2·an，bn＝．
(1)写出数列{bn}的前4项；
(2)求出数列{an}的通项公式．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
[解]　(1)因为Sn＝n2·an，①
所以Sn＋1＝(n＋1)2·an＋1，②
②－①，得an＋1＝(n＋1)2·an＋1－n2·an，
所以＝，所以bn＝，
所以b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
(2)当n≥2时，由＝，得＝＝＝，…，＝，所以·…·＝×…×，
即＝(n≥2)，
又因为a1＝，所以an＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝满足上式，故an＝．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
1
3
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2
4
6
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11
12
5．(2025·开封模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，则a5＝
(　　)
A．81 B．162
C．243 D．486
√
B　[因为Sn＝3n－1，所以a5＝S5－S4＝35－1－34＋1＝162．故选B．]
题号
1
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11
12
6．(2024·辽宁月考)在数列{an}中，若a1＝，an＋1＝2－，则下列数不是{an}中的项的是(　　)
A．－2 B．－1
C． D．3
√
题号
1
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12
B　[因为a1＝，an＋1＝2－，
所以a2＝2－＝，a3＝2－＝－2，a4＝2－＝3，
a5＝2－＝，
所以数列{an}是以4为周期的数列，故－1不是{an}中的项．故选B．]
题号
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12
7．(2024·中山市月考)已知n∈N*，下列数列是递增数列的是(　　)
A．an＝ B．an＝1－2n
C．an＝n2 D．an＝
√
题号
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12
C　[对于A，an－an－1＝＝－<0，故{an}为递减数列，故A错误；
对于B，an－an－1＝－2＜0，故{an}为递减数列，故B错误；
对于C，an－an－1＝2n－1＞0，故{an}为递增数列，故C正确；
对于D，an－an－1＝＝－<0，故{an}为递减数列，故D错误．故选C．]
题号
1
3
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7
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11
12
8．(多选)(2025·江苏常州模拟)已知数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，则下列可以作为数列{an}的通项公式的有(　　)
A．an＝ B．an＝(－1)n＋1
C．an＝2 D．an＝4
√
√
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
10
11
12
AC　[数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，
经验证，AC选项，显然可以表示，
对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；
对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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11
12
9．(2024·韩城市期末)设数列{an}满足a1＋＋…＋＝1－，则an＝(　　)
A．1－ B．
C． D．
√
题号
1
3
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2
4
6
8
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11
12
D　[∵a1＋＋…＋＝1－，①
∴当n＝1时，a1＝1－＝．
当n≥2时，a1＋＋…＋＝1－，②
∴①－②，得＝1－＝，
∴an＝．
当n＝1时也成立，∴an＝．故选D．]
题号
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11
12
10．(2024·遵义月考)下表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列．
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 13 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …
… … … … … … …
表中对角线上的一列数2，5，10，17，26，37，…构成数列{an}，则a985＝(　　)
A．9852－1 B．9852＋1
C．9862－1 D．9862＋1
√
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
B　[根据题意，数列{an}的前几项为2，5，10，17，26，37，…，
归纳可得其递推公式为an＋1－an＝2n＋1，a1＝2，
所以an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝3，
累加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
所以an－2＝＝n2－1，所以an＝n2＋1，
故a985＝9852＋1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
11．(2024·江苏启东中学月考)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．
2n－11
3
题号
1
3
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2
4
6
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9
10
11
12
2n－11　3　[∵Sn＝n2－10n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11，
当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．
∴an＝2n－11(n∈N*)．
令f (n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，
∴当n＝3时，f (n)取得最小值．
∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]
题号
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11
12
12．(2024·四川绵阳调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为
an＝
______________________．
题号
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2
4
6
8
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9
10
11
12
an＝　[因为Sn＝2an＋1，①
a1＝1，当n＝1时，S1＝a1＝2a2，所以a2＝．
当n≥2时，Sn－1＝2an，②
①－②，得an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2)．
所以当n≥2时，an＝a2·＝，
故an＝]
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