《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)60　第六章　第4课时　数列求和(一) 课件

(共46张PPT)
第六章　数列
第4课时　数列求和(一)
[考试要求]　1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握分组求和、并项求和、倒序相加求和等几种常见的求和方法．
考点一　分组求和
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝．
2．等比数列的前n项和公式：
Sn＝
3．分组求和：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
na1＋d
[典例1]　(2025·安康模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知an≥1且2Sn＝＋n．
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)记bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n．
[解]　(1)证明：由an≥1且2Sn＝＋n，
可得2a1＝2S1＝＋1，解得a1＝1，
当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝－(n－1)，
即(an－1)2＝，
即an－an－1＝1或an＋an－1＝1(舍去)，
可得数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，即an＝n．
(2)由(1)知bn＝
则数列{bn}的前2n项和T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(2＋8＋…＋22n-1)＋(2＋4＋…＋2n)＝n(2＋2n)＝＋n＋n2．
反思领悟　本例(2)中当n为奇数时，bn＝2n为等比数列，当n为偶数时，bn＝n为等差数列，可采用分组求和法求和．一般地，通项公式
为an＝或an＝bn±cn的数列，且{bn}，{cn}可求和，
则可采用分组求和法求和．
巩固迁移1　已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn．
[解]　(1)由题意知
解得或(舍去)，
所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5．
(2)由(1)及题意知bn＝3n－5＋2n，
所以Sn＝
＝＋2n+1－2．
考点二　并项求和
[典例2]　(2025·南京模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋λ(n∈N*，λ∈R)．
(1)求λ的值，并写出数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n．
[解]　(1)由Sn＝2n＋λ，
知当n＝1时，a1＝2＋λ．
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n-1－λ＝2n-1．
因为数列{an}为等比数列，
所以a1＝2＋λ适合an＝2n-1，
所以λ＝－1，an＝2n-1．
(2)由an＝2n-1，
则bn＝(－1)nlog2a2n＋1＝(－1)n2n，
所以T2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－4n＋2＋4n)＝2n．
反思领悟　一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf (n)类型，可采用两项合并求解．
巩固迁移2　(2025·银川模拟)数列{an}的通项公式an＝n sin ，其前n项和为Sn，则S2 025＝________．
　[函数y＝sin x以6为最小正周期，
又a6m＋1＋a6m＋2＋a6m＋3＋a6m＋4＋a6m＋5＋a6m＋6＝－3，m∈N，
2 025＝337×6＋3，
所以S2 025＝－3×337＋2 023sin ＋2 024·sin ＋2 025 sin ＝． ]
考点三　倒序相加求和
[典例3]　设函数f (x)＝1＋ln ，设a1＝1，an＝f ＋f ＋f ＋…＋f (n∈N*，n≥2)．
(1)计算f (x)＋f (1－x)的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)f (x)＋f (1－x)＝1＋ln ＋1＋ln ＝2．
(2)由题知，当n≥2时，
an＝f ＋f ＋f ＋…＋f ，
又an＝f ＋f ＋…＋f ，两式相加得
2an＝＋…＋＝2(n－1)，所以an＝n－1，又a1＝1不符合an＝n－1，
所以an＝
反思领悟　如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么可用倒序相加法求这个数列的前n项和．
巩固迁移3　若f (x)＋f (1－x)＝4，an＝f (0)＋f ＋…＋f ＋
f (1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为___________．
an＝2(n＋1)　[由f (x)＋f (1－x)＝4，
可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ＋f ＝4，所以2an＝[f (0)＋f (1)]＋＋…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1)．]
an＝2(n＋1)
随堂练习
√
1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－，则其前20项和为(　　)
A．379＋ B．399＋
C．419＋ D．439＋
C　[设数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－＝420－＝419＋．]
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋
(－1)n-1·n，则S17＝________．
9　[∵Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n-1·n，
∴S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝－8＋17＝9．]
9
3．已知函数f (x)满足f (x)＝f (1－x)，f ′(x)为f (x)的导函数，g(x)＝
f ′(x)＋，x∈R．若an＝g，则数列{an}的前2 025项和为___．
675　[f (x)＝f (1－x)，
则f ′(x)＝－f ′(1－x)，即f ′(x)＋f ′(1－x)＝0，
g(x)＝f ′(x)＋，x∈R，则g(x)＋g(1－x)＝f ′(x)＋f ′(1－x)＋＝，
an＝g，
675
则a1＋a2＋…＋a2 025＝g＋g＋…＋g，
a2 025＋…＋a2＋a1＝g＋…＋g＋g，
两式相加可得，a1＋a2＋…＋a2 025＝＝675．
故答案为675．]
【教用·备选题】
1．(2025·东海县模拟)已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝(k∈N*)，若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝(　　)
A．624 B．625
C．626 D．650
√
C　[依题意，由当n＝2k－1时，an＋2＝an＋2，可得当n为奇数时，
an＋2－an＝2，∵a1＝1，∴数列{an}的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，又当n＝2k时，an＋2＝－an，即当n为偶数时，an＋2＝
－an，此时an＋4＝－an＋2＝－(－an)＝an，故数列{an}的偶数项是以2为最小正周期的周期数列，∵a2＝1，a4＝－a2＝－1，∴数列{an}的偶数项为1，－1，1，－1，…，∴S50＝a1＋a2＋…＋a50＝(a1＋a3＋…＋a49)＋(a2＋a4＋…＋a50)＝25×1＋×2＋(1－1＋1－1＋…＋1－1＋1)＝25＋25×24＋1＝626．
故选C．]
2．(2024·江门期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(－1)n＋2n+1－，设bn＝an－2n，则{bn}的前11项和为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
√
A　[由Sn＝(－1)n＋2n+1－，可得a1＝S1＝－＋4－＝1，
当n≥2时，由Sn＝(－1)n＋2n+1－，
可得Sn－1＝(－1)n-1＋2n－，
两式相减可得an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋2n，
上式对n＝1也成立，则bn＝an－2n＝(－1)n，
则{bn}的前11项和为－1＋1－1＋1－…－1＋1－1＝5×0－1＝－1．
故选A．]
课后习题(四十)　数列求和(一)
1．(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　)
A．－200 B．－100
C．200 D．100
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100．故选D．]
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(人教A版选择性必修第二册P41习题4.3T7改编)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(人教A版选择性必修第二册P18思考改编)已知函数f (x)＝x＋sin πx－3，则f＋f＋f＋…＋f＋f＝________．
－8 094
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
－8 094　[令y＝f ＋f ＋…＋f ＋f ，①
y＝f ＋f ＋…＋f ＋f ，②
①＋②，得2y＝＋…＋．
因为f (x)＋f (2－x)＝x＋sin πx－3＋(2－x)＋sin [π(2－x)]－3＝－4，
所以2y＝－4×4 047，故y＝－8 094．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．(人教B版选择性必修第三册P55习题5－5AT3改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝(－1)n·log2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解]　(1)因为an是2与Sn的等差中项，所以2an＝Sn＋2，①
当n≥2时，2an－1＝Sn－1＋2，②
①－②得2an－2an－1＝an，
所以an＝2an－1(n≥2)，
又因为a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n．
(2)bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·(2n＋1)，
当n为偶数时，
Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn－1＋bn)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2＋2＋…＋2＝2·＝n；
当n为奇数时，Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn－1＋bn)＝－3＋(－2)＋(－2)＋…＋(－2)＝－3＋(－2)·＝－n－2．
综上所述，数列{bn}的前n项和Tn＝
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·崇仁县模拟)“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数、倒序相加法、最小二乘法等．已知某数
列的通项an＝则a1＋a2＋…＋a51＝(　　)
A．48 　　 B．49　　 C．50　　 D．51
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[∵当n≠26时，an＝＝＝1＋，
∴an＋a52－n＝1＋＋1＋＝2，
∵S＝a1＋a2＋…＋a51，
S＝a51＋a50＋…＋a1，
∴2S＝(a1＋a51)＋(a2＋a50)＋…＋(a51＋a1)＝2×51，
∴S＝51．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(多选)(2025·怀仁市模拟)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1＝1，b1＝2，a2＋b2＝7，a3＋b3＝13．记cn＝
数列{cn}的前n项和为Sn，则(　　)
A．an＝2n－1 B．bn＝2n
C．S9＝1 409 D．S2n＝2n2－n＋(4n－1)
√
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q(q≠0)，
依题意，解得
所以an＝2n－1，bn＝2n，即选项A，B都正确；
因为cn＝
所以c2n－1＝a2n－1＝4n－3，c2n＝b2n＝4n，
所以数列{cn}的前2n项和S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝＝2n2－n＋(4n－1)，
所以S9＝S8＋a9＝2×42－4＋(44－1)＋17＝385，即选项C错误，D正确．故选ABD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(2025·珠海模拟)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和．大衍数列从第1项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．记大衍数列{an}的通项公式为an＝
若bn＝(－1)nan，则数列{bn}的前30项和为____．
240
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
240　[由an＝bn＝(－1)nan，
可得数列{bn}的前30项和为－a1＋a2－a3＋a4－…－a29＋a30
＝－－…－
＝＋…＋
＝(3＋7＋11＋…＋59)＋＝＝240．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·浦东模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(n2＋n)，其中n是正整数．
(1)求{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＋1＝λbn＋1，且b1＝S1，b2＝S2，求数列{bn}的前n项和Hn．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
[解]　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1，满足上式，所以an＝n．
(2)依题意，b1＝S1＝1，b2＝S2＝3，由bn＋1＝λ bn＋1，得3＝λ＋1，解得λ＝2，则bn＋1＝2bn＋1，即bn＋1＋1＝2(bn＋1)，而b1＋1＝2，
因此数列{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
则bn＋1＝2n，即bn＝2n－1，
所以数列{bn}的前n项和Hn＝－n＝2n+1－n－2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．已知函数f (x)＝(x∈R)，正项等比数列{an}满足a50＝1，求
f (ln a1)＋f (ln a2)＋…＋f (ln a99)．
[解]　因为f (x)＝，
所以f (x)＋f (－x)＝＝＝1．
因为数列{an}是等比数列，所以a1a99＝a2a98＝…＝a49a51＝＝1，
即ln a1＋ln a99＝ln a2＋ln a98＝…＝ln a49＋ln a51＝2ln a50＝0．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
所以f (ln a1)＋f (ln a99)＝f (ln a2)＋f (ln a98)＝…＝f (ln a49)＋f (ln a51)＝2f (ln a50)＝1，
设S99＝f (ln a1)＋f (ln a2)＋f (ln a3)＋…＋f (ln a99)，①
又S99＝f (ln a99)＋f (ln a98)＋f (ln a97)＋…＋f (ln a1)，②
①＋②，得2S99＝99，
所以S99＝．
谢 谢 ！