《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)65　第六章　规范答题三　数列的综合应用 课件

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第六章　数列
规范答题三　数列的综合应用
[典例]　(12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
明条件，顺思路
①由{an}为等差数列及3a2＝3a1＋a3可求出a1与d的关系，进而表示出an．
②由bn＝表示出bn．
明条件，顺思路
③由S3＋T3＝21先表示出S3及T3，即可求出d，进而求得an．
④由{bn}为等差数列及bn＝建立关于a1与d的方程．
⑤对a1＝d或a1＝2d分类讨论，求bn，利用S99－T99＝99，得到关于d的方程，解方程得到d的值．
规范答，抢得分
[解]　(1)由3a2＝3a1＋a3，得3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，
所以an＝nd．………………………………………………………(1分)
因为bn＝，所以bn＝＝，……………………………(2分)
所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝．…………(3分)
规范答，抢得分
因为S3＋T3＝21，
所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝，
因为d＞1，所以d＝3．……………………………………………(4分)
所以{an}的通项公式为an＝3n．…………………………………(5分)
规范答，抢得分
(2)因为{bn}为等差数列，且bn＝，
所以b1＋b3＝2b2，
即＝2×，
解得a1＝d或a1＝2d．………………………………………………(6分)
因为S99－T99＝99，由等差数列的性质可得99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1．…………………………………………………………(8分)
规范答，抢得分
①当a1＝d时，a50＝50d，
b50＝，所以50d－＝1，化简得50d2－d－51＝0，
解得d＝或d＝－1(舍去)．……………………………………………(9分)
②当a1＝2d时，a50＝51d，b50＝，
所以51d－＝1，化简得51d2－d－50＝0，
解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．……………………………………(11分)
综上所述，d＝．……………………………………………………(12分)
点关键，防陷阱
将条件转化为基本量a1和d的方程．
{bn}是等差数列吗？为什么？
此类问题常用数列前三项建立方程求解．
(1)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，利用等差数列的性质，可以简化运算过程．
(2)S99，T99亦可直接利用求和公式代入、化简、求解．
注意d>1．
谢 谢 ！