课后习题(四十五) 空间直线、平面的垂直
1．D
2．ABC [∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，AB，PA 平面PAB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确．由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB．∵PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，∴AD⊥平面PBC，∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B，C正确．由BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，得BC⊥PB．∵BC与CD不平行，∴PB与CD不垂直，∴PB不与平面ADC垂直，故D错误．故选ABC．]
3．证明： 因为PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以PA⊥BC．
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE．
又PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC．
4．解： (1)证明：如图，取AP的中点M，连接MD，ME．
因为E，M，F分别是PB，PA，CD的中点，四边形ABCD是矩形，
所以ME∥AB，ME＝AB，且DF∥AB，DF＝AB，
所以ME∥DF，ME＝DF，
所以四边形EFDM为平行四边形，所以EF∥MD．
又MD 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)证明：因为PD＝AD＝1，M为AP的中点，
所以DM⊥AP，
因为PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PD⊥AB，因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又因为DM 平面PAD，所以AB⊥DM，
又因为AB∩AP＝A，AB，AP 平面ABP，
所以DM⊥平面ABP，
由(1)知EF∥MD，所以EF⊥平面PAB．
(3)因为PD⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AB，PD⊥AD，
又PD＝AD＝1，所以PA＝，
因为PB⊥平面AEF，AE 平面AEF，所以PB⊥AE，
又E是PB的中点，所以AB＝PA＝，CF＝，
所以直角梯形ABCF的面积S＝×1＝．
因为点E到平面ABCF的距离d＝PD＝，
所以VE-ABCF＝＝．
5．ABD [对于A，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，所以α⊥β不正确，A不正确；
对于B，α∥β，m α，m∥n，则n∥β或n β，故B不正确；
对于C，若m，n是两条不同的异面直线，m∥α，n∥β，m β，n α，则α∥β，C正确；
对于D，当m⊥n时，m，n与α所成的角没有关系，当α∥β时，
由面面平行的性质知n与α，β所成的角相等，m与α，β所成的角相等，
因此m与α所成的角和n与β所成的角不一定互余，D不正确．故选ABD．]
6．C
7．C [在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，
∴BC⊥AC．∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，故A正确；
在B中，∵BC⊥平面PAC，AE 平面PAC，
∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC．
∵EF 平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；
在C中，若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，
故AC与PB不垂直，故C错误；
在D中，∵AE⊥平面PBC，AE 平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选C．]
8．ABD [对于A，因为∠CAB＝∠CBA＝45°，
所以∠ACB＝90°，
即AC⊥CB，故A正确；
对于B，因为∠A1AC＝∠ACB＝90°，
∴侧面AA1C1C为矩形，故AC⊥CC1，
又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，
BC，CC1 平面CC1B1B，
所以AC⊥平面CC1B1B，
而CB1 平面CC1B1B，故AC⊥CB1，故B正确；
对于C，因为平面NPC∩平面CC1B1B＝CP，AC⊥平面CC1B1B，
所以AC不垂直于平面NPC，故C错误；
对于D，因为AC 平面ACP，AC⊥平面CC1B1B，
所以平面ACP⊥平面CC1B1B，D正确．
故选ABD．]
9．①②④ [因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是底面圆的直径，BC，AD都是母线，
又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是AE⊥BE，
而BC⊥平面ABE，AE 平面ABE，则BC⊥AE．
因为BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，则AE⊥平面BCE．
因为CE 平面BCE，因此得AE⊥CE，①正确；
同理，BE⊥DE，②正确；
点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，
若DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；
因为AE⊥平面BCE，而AE 平面ADE，于是得平面ADE⊥平面BCE，④正确．
故答案为①②④．]
10．DM⊥PC(或BM⊥PC等) [∵PA⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，
∴BD⊥PA．连接AC(图略)，
易知BD⊥AC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴BD⊥PC，
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD．]
11．证明： (1)∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA．
又∵PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB．
又∵AE 平面PAB，∴AE⊥BC．
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC．
(2)∵PC 平面PBC，AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．
又AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE 平面AEF，AF 平面AEF，
∴PC⊥平面AEF．
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PA．
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又AG 平面PAD，
∴CD⊥AG．
∵PC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
∴PC⊥AG．
又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AG⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，
∴AG⊥PD．
12．解： (1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，AD 底面ABC，
∴AD⊥侧面BB1C1C．
又CC1 侧面BB1C1C1，
∴AD⊥CC1．
(2)证明：如图，延长B1A1，与BM的延长线交于点N，
连接C1N，
则C1N 平面MBC1，
∵AM＝MA1，
∴NA1＝A1B1
∵A1B1＝A1C1，
∴A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，由已知侧面BB1C1C⊥底面ABC，
∴侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1，
又C1N 底面A1B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C．
又C1N 截面MBC1，
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
(3)成立，理由如下：
过M作ME⊥BC1于点E，连接DE．
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，根据面面垂直的性质定理，
∴ME⊥侧面BB1C1C．
又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，
∴M，E，D，A四点共面．
∵MA∥侧面BB1C1C，MA 平面AMED，
平面AMED∩平面BB1C1C＝DE，∴AM∥DE．
∴四边形AMED是平行四边形．
又AM∥CC1，∴DE∥CC1．
∵D是BC的中点，
∴E是BC1的中点，
∴DE＝CC1，∴AM＝CC1＝AA1，
∴AM＝MA1．
1/1课后习题(四十五) 空间直线、平面的垂直
1．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
[A] 若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
[B] 若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
[C] 若α⊥β，l α，则l⊥β
[D] 若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
2．(多选)(人教A版必修第二册P165习题8.6T21改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的是( )
[A] BC⊥平面PAB [B] AD⊥PC
[C] AD⊥平面PBC [D] PB⊥平面ADC
3．(人教B版必修第四册P124习题11－4BT2改编)如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作AE ⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PB[C]
4．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T8改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，E，F分别是PB，CD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)证明：EF⊥平面PAB；
(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E-ABCF的体积．
5．(多选)(2024·三门峡卢氏县期末)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是( )
[A] 若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α⊥β
[B] 若α∥β，m α，m∥n，则n∥β
[C] 若m，n是两条不同的异面直线，m∥α，n∥β，m β，n α，则α∥β
[D] 若m⊥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角互余
6．(2025·宁波模拟)已知平面α，β，γ，α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n．则“l，m，n两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
7．(2024·临沂河东区期末)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断不正确的是( )
[A] BC⊥平面PAC [B] AE⊥EF
[C] AC⊥PB [D] 平面AEF⊥平面PBC
8．(多选)(2025·玉溪模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠A1AC＝∠ACB，P为线段BB1的中点，点N为线段A1B1上靠近B1的三等分点，则( )
[A] AC⊥CB
[B] AC⊥CB1
[C] AC⊥平面NPC
[D] 平面ACP⊥平面BCC1B1
9．(2025·西安模拟)如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的序号是________．
①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE．
10．(2025·临川模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PC[D] (只要填写一个你认为正确的条件即可)
11．(2025·湛江模拟)如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
(1)求证：AE⊥平面PBC；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥P[D]
12．(2025·淮北模拟)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面AB[C]
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥侧面BB1C1C，则AM＝MA1成立吗？请说明理由．
1/1
