课后习题(四十六) 空间向量的运算及其应用
1．A
2． [∵P，A，B，C四点共面，∴＋t＝1，
∴t＝．]
3． [||2＝＝()2
＝＋＋＋2(···)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
所以||＝，所以EF的长为．]
4．证明： (1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设PA＝AD＝a(a>0)，AB＝b(b>0)，则有A(0，0，0)，P(0，0，a)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．
因为M，N分别为AB，PC的中点，所以M，N，
所以＝，
又＝(0，0，a)，＝(0，a，0)，
所以＝．
又MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)结合(1)知，M＝(b，a，－a)，＝＝(0，a，－a)．
设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝b，则x1＝2a，y1＝－b，
得n1＝(2a，－b，b)为平面PMC的一个法向量．
设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
得x2＝0，令z2＝1，则y2＝1，得n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2，
故平面PMC⊥平面PDC．
5．C
6．AD [因为a＝(2，－1，4)，b＝(－1，5，λ)，c＝(1，4，μ)三个向量共面，
所以存在实数x，y，使得a＝xb＋yc，
所以解得
故当λ＝1，μ＝5或λ＝－2，μ＝2时满足条件．故选AD．]
7．D [由于F为BE的中点，
所以＝，
又＝，
则＝①，由＝λ，得＝λ()，
即＝λ＋(1－λ)②，根据①②的对应关系得λ＝．故选D．]
8．B [··＝()·－()·
＝····
＝··＝·＝4，
所以·＝－4，
所以cos 〈〉＝＝＝－．
故选B．]
9．BD [对于A，＝＝a＋b＋c，故A错误；
对于B，＝＝＝－a＋b＋c，故B正确；
对于C，a·b＝0，b·c＝|b||c|cos 60°＝，a·c＝|a||c|cos 60°＝，
又＝＝＝－＝－＝a＋b－c，
所以||＝
＝，故C错误；
对于D，·＝(a＋b＋c)·＝a2＋b2－c2＋a·b＋a·c＝，故D正确．
故选BD．]
10． [分别取AD，BC的中点O，G，连接OP，OG，
以O为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD＝2，则B(1，－1，0)，E，P(0，0，)，设F (0，a，0)，
则＝(－1，a＋1，0)，＝，
∵BF⊥PE，∴－＋a＋1＝0，解得a＝－，
∴＝．]
11． [由已知得＝(2，1，0)，＝(5，5，0)，
∴·＝2×5＋1×5＋0＝15，
又||＝5，
∴在上的投影向量为
·＝
＝＝．
则在上的投影向量的长度为＝．]
12．证明： (1)以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
令AB＝AA1＝4，
则A(0，0，0)，E(0，4，2)，
F (2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)，
C(0，4，0)，D(2，0，2)，
所以＝(－2，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，0)，
所以＝－，又与不共线，
所以与共面，又DE 平面ABC，
故DE∥平面ABC．
(2)因为＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2，2，0)．
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，
·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，
所以⊥⊥，
即B1F⊥EF，B1F⊥AF．
又因为AF∩EF＝F，AF 平面AEF，
EF 平面AEF，
所以B1F⊥平面AEF．
1/1课后习题(四十六) 空间向量的运算及其应用
1．(苏教版选择性必修第二册P16习题6.1T5改编)在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若＝，则使G与M，N共线的x的值为( )
[A] 1 [B] 2
[C] [D]
2．(人教B版选择性必修第一册P16练习AT3改编)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
3．(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2T5改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
4．(人教A版选择性必修第一册P33练习T3改编)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面PMC⊥平面PD[C]
5．(2024·石家庄期末)已知点P(1，，－2)，Q(4，0，m)，O为坐标原点，且·＝0，则||＝( )
[A] 36 [B]
[C] 6 [D] 2
6．(多选)(2024·南宁青秀区月考)已知向量a＝(2，－1，4)，b＝(－1，5，λ)，c＝(1，4，μ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ，μ的取值可能分别为( )
[A] －2，2 [B] 2，2
[C] －5，1 [D] 1，5
7．(2024·鹤壁淇滨区期末)在四面体ABCD中，点E满足＝λ，F为BE的中点，且＝，则实数λ＝( )
[A] [B]
[C] [D]
8．(2024·枣庄三模)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，BD＝3，··＝4，则cos 〈〉＝( )
[A] [B] －
[C] [D] －
9．(多选)(2024·安徽月考)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，AB⊥AD，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，P为A1D与AD1的交点，设＝a，＝b，＝c，则( )
[A] ＝a＋b－c [B] ＝－a＋b＋c
[C] ||＝ [D] ·＝
10．(2024·邯郸广平县期末)如图，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，＝________．
11．(2024·湛江一中月考)已知点A(－1，1，0)，B(1，2，0)，C(－2，－1，0)，D(3，4，0)，则在上的投影向量的长度为________．
12．(2025·合肥模拟)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：
(1)DE∥平面ABC；
(2)B1F⊥平面AEF．
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