课后习题(四十七) 向量法求空间角(一)
1．(人教B版选择性必修第一册P37练习AT3改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2所成角的余弦值为( )
[A] [B] [C] [D]
2．(人教A版选择性必修第一册P41练习T3改编)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD＝1，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为( )
[A] [B]
[C] [D]
3．(人教B版选择性必修第一册P48练习B T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为________．
4．(苏教版选择性必修第二册P45习题6.3T3改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的余弦值．
5．(2024·长春绿园区期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足＝＝2＝，则直线CE与DF所成的角为( )
[A] 30° [B] 45°
[C] 60° [D] 90°
6．(2025·连云港模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3，E为B1C1的中点，则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为( )
[A] [B]
[C] [D]
7．(2024·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
[A] [B]
[C] [D]
8．(2025·汕头模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是AB，BB1的中点，则直线EF与BC1所成角的大小为________，直线EF与底面ABC所成角的大小为________．
9．(2024·榆林一模)在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，BC＝C[D]
(1)证明：AC⊥BD；
(2)若AB＝BC＝BD，平面ABD⊥平面BCD，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
10．(2025·焦作模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝1，AC＝，AA1＝2，D为CC1的中点，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)求证：A1C⊥BD；
(2)求直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值．
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1．C
2．A [因为SA⊥平面ABCD，AD，AB 平面ABCD，
所以SA⊥AD，SA⊥AB，又底面ABCD是直角梯形，且BC＝2AD＝1，∠ABC＝90°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB．
如图，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由SA＝AB＝BC＝2AD＝1，可得A(0，0，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以＝(1，1，－1)，
因为SA⊥平面ABCD，所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，设SC与平面ABCD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝＝，
即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为＝．故选A．]
3． [由题意，以点D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(2，2，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，
所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(－2，0，2)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
则
即令x＝1，得y＝－1，z＝2，则m＝(1，－1，2)为平面BDE的一个法向量．
设直线AD1与平面BDE所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝＝．]
4．解： 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则C(1，1，0)，M，N，D1(0，1，1)．
∴＝＝，
∴·＝·＝－，
又||＝，||＝，
∴|cos〈〉|＝＝＝．
∴异面直线CM与D1N所成角的余弦值为．
5．D [设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，a·c＝b·c＝2×2×＝2，
＝＝＝a－c，＝＝)－＝(a－b＋c)，
所以·＝a2－a·b－a·c＋b·c－c2＝0，
故直线CE与DF所成的角为90°．故选D．]
6．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，2，0)，E(1，2，3)，A(2，0，0)，
由题意，平面BB1D1D的法向量为＝(－2，2，0)，又＝(1，0，3)，
设直线CE与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝
＝，
则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为＝．
故选B．]
7．A [不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
∴|cos〈〉|＝＝＝．
∴直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为．]
8．60° 45° [以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，
F (0，0，1)，B(0，0，0)，
则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，
∴·＝2，∴cos 〈〉＝＝，
∴EF与BC1所成的角为60°．
∵FB⊥底面ABC，BF＝BE＝1，
∴∠FEB为直线EF与底面ABC所成的角，则∠FEB＝45°．]
9．解： (1)证明：如图，取BD的中点O，连接OA，OC．
因为AB＝AD，BC＝CD，
所以OA⊥BD，OC⊥BD，又OA∩OC＝O，OA，OC 平面OAC，
所以BD⊥平面OAC．
因为AC 平面OAC，所以AC⊥BD．
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，OA⊥BD，
所以OA⊥平面BCD．
以O为坐标原点，以OC，OD，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设BD＝2，则D(0，1，0)，B(0，－1，0)，C(，0，0)，A(0，0，)，
＝(0，－1，－)，＝(0，1，－)，
＝(，－1，0)，
设平面ACD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
取z1＝1，则y1＝，x1＝1，可得n＝(1，，1)，设直线AB与平面ACD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
10．解： (1)证明：由题意知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(0，，1)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，
可得＝(0，，－2)，＝(－1，，1)，
则·＝0×(－1)＋＋(－2)×1＝0，所以⊥，
即A1C⊥BD．
(2)设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
由(1)可得＝(0，，0)，＝(1，0，2)，
则
即令z＝1，
可得n＝(－2，0，1)，
设直线A1C与平面AB1C所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝．
所以直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值为．
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