课后习题(四十九) 空间距离及立体几何中的探索性问题
1．(人教B版选择性必修第一册P63习题1-2CT1改编)已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为( )
[A] 2 [B]
[C] [D]
2．(多选)(人教A版选择性必修第一册P35练习T1改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点，则下列结论正确的是( )
[A] B1C∥平面A1BD
[B] 平面A1BD⊥平面AA1C1C
[C] 直线B1C到平面A1BD的距离是
[D] 点A1到直线BC的距离是
3．(人教A版选择性必修第一册P35练习T3改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，设M，N，E，F分别是A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．
4．(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离．
5．(2025·天津西青区模拟)已知过坐标原点的直线l的方向向量u＝(1，1，1)，则点P(1，2，3)到直线l的距离是( )
[A] 2 [B]
[C] [D]
6．(2025·哈尔滨南岗区模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，G为AA1的中点，则直线BD与平面GB1D1的距离为( )
[A] [B]
[C] [D]
7．(多选)(2025·绥化绥棱县模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝，则下列说法正确的是( )
[A] 点A到直线BE的距离是
[B] 点O到平面ABC1D1的距离为
[C] 平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
[D] 点P到直线AB的距离为
8．(2025·湖北武汉模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为C1D1与AB的中点，则点B1到平面A1FCE的距离为________．
9．(2025·天津西青区模拟)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．
(1)求AA1的长度；
(2)求点D到平面PB1C的距离．
10．(2025·三门峡模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，AD＝DE＝4，BF＝1．
(1)求平面AEF与平面CEF夹角的余弦值；
(2)在棱DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为？若存在，求点G到平面ACF的距离；若不存在，说明理由．
1/1课后习题(四十九) 空间距离及立体几何中的探索性问题
1．D [由已知，得＝(－1，－1，－1)，因为直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，所以点P(1，2，2)到直线l的距离为＝＝．故选D．]
2．ABD [对于选项A，如图1所示，连接AB1，交A1B于点E，连接DE，因为D是AC的中点，所以DE∥B1C，又DE 平面A1BD，B1C 平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD，故A正确；
对于选项B，因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC，又AA1⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以AA1⊥BD，又AA1，AC 平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C，又BD 平面A1BD，所以平面A1BD⊥平面AA1C1C，故B正确；
对于选项C，因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离d等于点B1到平面A1BD的距离，以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B1(0，2，3)，B(0，2，0)，A1(－1，0，3)，所以＝(0，2，3)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，3)，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即得y＝0，令z＝1，则x＝3，
得n＝(3，0，1)，则d＝＝，故C错误；
对于选项D，由选项C的分析知，C(1，0，0)，＝(1，－2，0)，＝(2，0，－3)，则点A1到直线BC的距离为＝＝，故D正确．故选ABD．]
3． [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(0，2，4)，F (2，4，4)，B(4，4，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，
所以＝(2，2，0)，＝(0，2，4)，＝(0，－4，0)．
设a＝(1，m，n)是平面EFBD的一个法向量，
则即
解得所以a＝为平面EFBD的一个法向量．
因为＝(－2，0，4)，＝(0，2，4)，所以a·＝0，a·＝0，从而a⊥，a⊥，所以a⊥平面AMN，所以平面AMN∥平面EFBD，所以平面AMN与平面EFBD间的距离即点A到平面EFBD的距离，为＝．]
4．解： 以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(1，0，1)，B(1，1，1)，
C(0，1，1)，C1(0，1，0)，
E，F，
∴＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)，
＝＝，
＝＝．
(1)点B到直线AC1的距离为
＝＝．
(2)易知＝，∴FC∥EC1，
又FC 平面AEC1，EC1 平面AEC1，∴FC∥平面AEC1，则点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离．
设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取y＝2，得n＝(1，2，1)，
∴直线FC到平面AEC1的距离为＝＝．
5．D [由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为＝＝2，
所以点P(1，2，3)到直线l的距离是d＝＝，
故点P(1，2，3)到直线l的距离是．
故选D．]
6．B [由正方体性质得BD∥平面GB1D1，以D为原点，建立空间直角坐标系，G(2，0，1)，D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，
＝(0，2，1)，＝(－2，0，1)，＝(0，0，2)，
设平面B1D1G的法向量n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得n＝(1，－1，2)，
∴直线BD与平面B1D1G的距离d＝＝＝．故选B．]
7．ABC [以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，O．
选项A，＝(－1，0，0)，＝，设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，
所以sin θ＝＝，
故点A到直线BE的距离d1＝||sinθ＝1×＝，即选项A正确；
选项B，＝＝，
因为AB⊥平面ADD1A1，且A1D 平面ADD1A1，所以AB⊥A1D，
又A1D⊥AD1，AB∩AD1＝A，AB，AD1 平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1，
所以平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，
所以点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，即选项B正确；
选项C，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝，
因为BA1∥CD1，BA1 平面A1BD，CD1 平面A1BD，
所以CD1∥平面A1BD，同理可得B1C∥平面A1BD，
又B1C∩CD1＝C，B1C，CD1 平面B1CD1，
所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，即为，故选项C正确；
选项D，因为＝，
所以＝，
又＝(1，0，0)，所以＝，
所以点P到直线AB的距离d4＝
＝＝，即选项D错误．
故选ABC．]
8． [以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A1(1，0，1)，F，C(0，1，0)，E，
B1(1，1，1)，
所以＝，
＝，
设平面A1FCE的法向量为m＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝2，z＝1，所以平面A1FCE的一个法向量为m＝(1，2，1)，
又因为＝(1，0，1)，
所以点B1到平面A1FCE的距离为d＝＝＝．]
9．解： (1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
设AA1＝h，由已知可得B1(3，3，h)，C(0，3，0)，P，
所以＝＝，
因为PC⊥PB1，所以·＝9－＝0，
解得h＝6，所以AA1＝6．
(2)设平面PB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
令z＝1，可得平面PB1C的一个法向量n＝(－2，1，1)，
又＝(0，0，3)，则点D到平面PB1C的距离为＝．
10．解： (1)由四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，
可得直线DA，DC，DE两两垂直，
如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DE分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，C(0，4，0)，
E(0，0，4)，F (4，4，1)，
＝(4，4，－3)，＝(－4，0，4)，＝(0，－4，4)．
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
令x＝4，得n＝(4，－1，4)，
设平面CEF的一个法向量为m＝(a，b，c)，
则有
令b＝4，得m＝(－1，4，4)．
设平面AEF与平面CEF夹角为θ，
则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，
所以平面AEF与平面CEF夹角的余弦值为．
(2)假设存在满足条件的点G(0，0，h)(0≤h≤4)，又B(4，4，0)，
则＝(－4，－4，h)，＝(－4，0，0)，
由直线BG与AD所成角的余弦值为，
得|cos 〈〉|＝＝＝，
解得h＝2，则存在点G(0，0，2)，即点G为棱DE的中点时满足条件，
故＝(－4，0，2)，＝(－4，4，0)，＝(4，0，1)．
设平面ACF的法向量为u＝(x1，y1，z1)，由u⊥，u⊥，
则有
令x1＝1，得u＝(1，1，－4)，
所以点G到平面ACF的距离为＝＝2．
1/1
