课后习题(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)由直线x－y＋4＝0上一点P向圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
[A] [B] 3
[C] 2 [D] 2－1
2．(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
[A] 1条 [B] 2条
[C] 3条 [D] 4条
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－8y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的是( )
[A] 直线AB的方程为x－2y＝0
[B] |AB|＝
[C] 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y－2＝0
[D] 若点P为圆O1上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为＋1
4．(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为______________．
5．(2025·唐山模拟)已知直线l：x－y＋2＝0，圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，若圆C上恰有三个点到直线l的距离等于，则r＝( )
[A] 2 [B] 4
[C] 2 [D] 8
6．(2024·重庆市沙坪坝区期末)过点P(－1，1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－2＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
[A] 2 [B]
[C] 4 [D] 2
7．(多选)(2025·菏泽市牡丹区模拟)已知直线l：x＋my－m＋2＝0，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，则下列说法正确的是( )
[A] 直线l恒过定点(－2，1)
[B] 直线l与圆C相交
[C] 当直线l平分圆C时，m＝－3
[D] 当点C到直线l的距离最大时，m＝
8．(多选)(2024·连云港期末)已知圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，则下列说法正确的有( )
[A] 圆C关于直线x－y＝0对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝2
[B] 直线x－y＋1＝0被圆C截得的弦长为
[C] 若圆C上有四个点到直线x－y＋m＝0的距离等于，则m的取值范围是(1，3)
[D] 若点P(x，y)是圆C上的动点，则x2＋y2的取值范围是[2－，2＋]
9．(2024·淮北一模)已知圆O：x2＋y2＝9与圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为________；△ABC的面积为________．
10．(2024·南京市雨花台区三模)已知圆O：x2＋y2＝2，过点M(1，3)的直线l交圆O于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为____________．
11．(2024·江门市新会区月考)已知圆C的方程为x2＋y2－2x－4y＋2m＝0．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求实数m的值；
(3)若圆C与圆O：x2＋y2＝1相切，求实数m的值．
12．(2024·吉林期末)已知动点P与两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离的比是2．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线l过点(2，1)，且被曲线C截得的弦长为2，求直线l的方程．
1/1课后习题(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．A 2．D
3．ACD [根据题意，由x2＋y2－2x＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心O1(1，0)，半径r＝1，由x2＋y2＋2x－8y＝0，得(x＋1)2＋(y－4)2＝17，则圆心O2(－1，4)，半径R＝．
对于A，联立得x－2y＝0，即直线AB的方程为x－2y＝0，A正确；对于B，圆心O1到直线AB的距离d＝＝，则|AB|＝2×＝，B错误；对于C，线段AB的垂直平分线即直线O1O2，由O1(1，0)，O2(－1，4)，易得直线O1O2的方程为2x＋y－2＝0，C正确；对于D，由圆心O1到直线AB的距离d＝，知点P到直线AB的距离的最大值为＋1，D正确．故选ACD．]
4．5x－12y＋45＝0或x－3＝0 [圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心O(1，2)，半径为2，
因为|OA|＝＝>2，所以点A(3，5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0；当切线斜率存在时，设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0．又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，解得k＝，此时直线方程为5x－12y＋45＝0．
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0．]
5．C [圆心C(0，0)，则点C到直线l的距离d＝＝，又因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为，所以圆心到直线l的距离d＝，即r＝2d＝2．故选C．]
6．C [圆C的标准方程为(x＋2)2＋y2＝6，圆心C(－2，0)，半径r＝，
因为(－1＋2)2＋12＜6，所以点P(－1，1)在圆C内，
设圆心C到直线l的距离为d，则|AB|＝2，
当d＝|CP|，即CP⊥l时，|AB|取得最小值，因为|CP|＝＝，
所以|AB|的最小值为2＝4．故选C．]
7．ACD [对于A，l：x＋my－m＋2＝0，即x＋2＋m(y－1)＝0，
令y－1＝0，有y＝1，x＝－2，所以直线l恒过定点P(－2，1)，故A正确；
对于B，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心C(1，2)，半径r＝，
点C(1，2)到直线l：x＋my－m＋2＝0的距离为d＝，
从而d2－r2＝－5＝＝，
取m＝2，则此时有d＝r，即圆C与直线l相切，故B错误；
对于C，当直线l平分圆C时，点C(1，2)在直线l：x＋my－m＋2＝0上，
即1＋2m－m＋2＝0成立，解得m＝－3，故C正确；
对于D，点C到直线l的距离满足d≤|PC|，当且仅当PC⊥l时，等号成立，
而PC的斜率为k＝＝，
所以当等号成立时有·＝－1，解得m＝，故D正确．故选ACD．]
8．AC [A项，圆C：x2＋y2－4y＋2＝0，即为x2＋(y－2)2＝2，圆心为(0，2)，半径为，
因为(0，2)关于直线x－y＝0对称的坐标为(2，0)，则圆C关于直线x－y＝0的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝2，故A正确；
B项，圆心C(0，2)到直线x－y＋1＝0的距离为，则所求弦长为2＝，故B错误；
C项，由题意有圆心C到直线x－y＋m＝0的距离小于r－，即<＝，
∴|m－2|＜1，∴1＜m＜3，
则m的取值范围是(1，3)，故C正确；
D项，根据圆的标准方程，可设x＝cos α，y＝sin α＋2，
x2＋y2＝2sin2α＋2sin2α＋4＋4sinα＝6＋4sin α，
则x2＋y2的取值范围是[6－4，6＋4]，故D错误．
故选AC．]
9．2x＋3y－9＝0 [两圆的方程相减得4x＋6y＝18，化简得2x＋3y－9＝0，故直线AB的方程为2x＋3y－9＝0．圆C：x2＋y2－4x－6y＋9＝0变形得到(x－2)2＋(y－3)2＝4，圆心C(2，3)，半径为2，
故圆心C(2，3)到直线AB的距离为d＝＝，则|AB|＝2×＝，故△ABC的面积为|AB|·d＝＝．]
10．x＝1或4x－3y＋5＝0 [当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，由
可得或
所以|1－(－1)|＝2＝|AB|，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x－1)，
因为|AB|＝2，所以圆心(0，0)到直线l的距离d＝，
由＋d2＝2，得k＝，所以直线l的方程为y－3＝(x－1)，
则直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0．]
11．解： (1)x2＋y2－2x－4y＋2m＝0，可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－2m，
所以5－2m>0 m<，故m的取值范围为．
(2)由(1)知，圆心C(1，2)，半径r＝，
因为圆(x－1)2＋(y－2)2＝5－2m和直线x－2y－1＝0相切，
所以＝，解得m＝．
(3)因为圆O：x2＋y2＝1与圆C相切，
所以|OC|＝1＋＝或|OC|＝|－1|＝，
解得m＝<或m＝－<，
故实数m的值是或－．
12．解： (1)设点P(x，y)，
∵动点P与两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离的比是2，
∴＝2，即|PA|＝2|PB|，
则＝2，化简得x2＋y2－10x＋21＝0，
所以动点P的轨迹C的方程为(x－5)2＋y2＝4．
(2)由(1)可知点P的轨迹C是以(5，0)为圆心，2为半径的圆，
∵直线l被曲线C截得的弦长为2，
∴圆心(5，0)到直线l的距离d＝＝1．
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时圆心到直线l的距离是3，不符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0，
所以圆心(5，0)到直线l的距离d＝＝1，
化简得9k2＋6k＋1＝k2＋1，解得k＝0或k＝－，
此时直线l的方程为y＝1或3x＋4y－10＝0．
综上，直线l的方程是y＝1或3x＋4y－10＝0．
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