课后习题(五十四) 椭圆及其性质
1．(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是( )
[A] 长轴长为 [B] 焦距为
[C] 短轴长为 [D] 离心率为
2．(多选)(苏教版选择性必修第一册P124复习题T3改编)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是( )
[A] 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
[B] 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
[C] 若m＝n>0，则C是圆，其半径为
[D] 若m＝0，n>0，则C是两条直线
3．(多选)(苏教版选择性必修第一册P93习题3.1(2)T13改编)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
[A] 椭圆的长轴长为4
[B] 椭圆的离心率为
[C] 椭圆的方程可以为＝1
[D] 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
4．(人教A版选择性必修第一册P112练习T4(2)改编)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是________．
5．(2025·郑州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长为2，点M在椭圆上，若|MF|的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为( )
[A] 3 [B] 4
[C] 1 [D] 2
6．(2025·西安市未央区模拟)已知椭圆C：＝1(0[A] [B]
[C] 2 [D]
7．(多选)(2024·崇左市大新县期末)已知曲线＝1表示椭圆，则下列说法正确的是( )
[A] m的取值范围为(4，16)
[B] 若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(10，16)
[C] 若m＝6，则该椭圆的焦距为4
[D] 若该椭圆的离心率为，则m＝7
8．(2024·湖北孝感校联考模拟)某广场的一个椭球水景雕塑，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，F1，F2分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点F2的一条弦，且△PQF1的周长为3．若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为( )
[A] 米 [B] 米
[C] 米 [D] 米
9．(2025·长沙模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且＝2·＝0，则椭圆C的离心率为( )
[A] [B]
[C] [D]
10．(2024·上海市徐汇区月考)长轴的长是4，焦距是2，中心在原点的椭圆的标准方程是________．
11．(2024·济南质检)已知椭圆＝1(a>b>0)的右焦点为F (c，0)，上顶点为A(0，b)，若直线x＝上存在一点P满足()·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为________．
12．(2024·上海市闵行区期末)已知椭圆＋y2＝1(a＞1)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A，B的点，直线AP交直线l于点[D]
(1)若E是椭圆的上顶点，且△AEF是直角三角形，求椭圆的标准方程；
(2)若a＝2，∠PAB＝45°，求△PAF的面积；
(3)判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
1/1课后习题(五十四) 椭圆及其性质
1．D
2．AD [当m≠0，且n≠0时，由mx2＋ny2＝1，得＝1，若m>n>0，则0<<，∴C是椭圆，且焦点在y轴上，故A正确，B错误；若m＝n>0，则x2＋y2＝，故C是圆，半径为，C错误；若m＝0，n>0，则y2＝，∴y＝±，则C是两条直线，D正确．故选AD．]
3．ACD [圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝．以椭圆的中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为y轴、x轴建立平面直角坐标系(图略)，可得椭圆的方程为＝1．椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－．故选ACD．]
4．＝1或＝1 [由题意知a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．]
5．D 6．D
7．BC [由题意 m∈(4，10)∪(10，16)，A错误；
若该椭圆的焦点在y轴上，则m－4＞16－m＞0 10＜m＜16，B正确；
若m＝6，则＝1，故c＝＝2，故该椭圆的焦距为4，C正确；
若该椭圆的离心率为，则1－＝或1－＝，解得m＝7或m＝13，D错误．故选BC．]
8．B [根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面示意图如图，
根据椭圆的定义，△PQF1的周长为|PQ|＋|PF1|＋|QF1|＝4a＝3×2c，
即2a＝3c，①
由该椭球横截面的最大直径为2米，可知2b＝2，得b＝1．
又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝c2＋1，②
①②联立可得c＝，a＝，所以该椭球的高为2a＝ 米．故选B．]
9．C [连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n，|MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n，
∵·＝0，
∴MF2⊥MN，
在Rt△MNF2中，|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2，即(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2，
∴9n2＋4a2－8an＋4n2＝4a2－4an＋n2，
∴12n2＝4an，则n＝，
|＝|＝，
在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即＝4c2，
∴36c2＝20a2，即e2＝＝，
又∵e∈(0，1)，∴e＝．
故选C．]
10．＝1或＝1 [由长轴的长是2a＝4，得a＝2，由焦距是2c＝2，得c＝1，
所以b＝＝，所以椭圆的标准方程是＝1或＝1．]
11． [取AP的中点Q，则＝)，
所以()·＝2·＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a．
因为点P在直线x＝上，
所以|FP|≥－c，即a≥－c，
所以－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥或e≤．
又012．解： (1)由题意，A(－a，0)，F (c，0)(c＞0)，E(0，1)，
∵∠AEF＝90°，故·＝0，
∴ac＝1．
又a2＝c2＋1，∴a2＝，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1．
(2)当a＝2时，椭圆方程为＋y2＝1，
由对称性，不妨设点P在x轴的上方，则直线AP的方程为y＝x＋2，
代入椭圆方程，得5x2＋16x＋12＝0，解得x1＝－2(舍去)，x2＝－，∴P．
∴S△PAF＝|AF|·|yP|＝．
(3)以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明：设P(x0，y0)，则＝1，a2＝c2＋1，直线AP的方程为y＝(x＋a)，
∴D，BD的中点M，当直线PF的斜率不存在时，方程为x＝c；
当直线PF的斜率存在时，直线PF的方程为y＝(x－c)，即y0(x－c)－(x0－c)y＝0，经检验x＝c满足y0(x－c)－(x0－c)y＝0，故直线PF的方程为y0(x－c)－(x0－c)y＝0．
点M到直线PF的距离
d＝
＝·|y0|
＝·|y0|＝＝|MB|，
∴以BD为直径的圆与直线PF相切．证毕．
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